Autor: Anibal Tavares de Azevedo
CÁLCULO I + PYTHON
SEMANA 05 - AULA 01
1
© UNESP
6 Agosto 2008
APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO
Custo Marginal:
Suponha que C(x) é o custo total de produção de x unidades de um produto por uma companhia. A função C é chamada de função custo. Se o número de itens
produzidos aumenta de x1 para x2, então, o custo adicional será ΔC = C(x2) – C(x1) e a taxa média de variação do custo em relação à variação da produção será:
Quando Δx→0, obtém-se a variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos, e este custo é denominado de custo marginal. Assim:
2
© UNESP
6 Agosto 2008
Exemplo 1: Em uma fábrica a receita da
produção de x produtos é dada por:
R(x) = -0.01x2 + 2x + 2000
O custo é dado por:
C(x) = 0,08x + 1000
LIMITES E DERIVADAS
Então:
(i) A receita marginal é:
R’(x) = -0,02x + 2
Seja x = 10, então, R(10)=-0.01*(10)2 + 2*(10) + 2000 = 2019. Se x = 11, qual será o incremento em R(x)?
Basta verificar que: R’(10) = -0,02*(10) + 2 = 1,80 e
ocorrerá um aumento de 1,80 na receita se a produção
aumentar de uma unidade. De fato, R(11) = -0.01*(11) + 2*(11) + 2000 = 2020,80.
3
© UNESP
6 Agosto 2008
O custo é dado por:
C(x) = 0,08x + 1000
LIMITES E DERIVADAS
(ii)O custo marginal é:
C’(x) = 0,08
Seja x = 10, então, C(10)=0.08*(10) + 1000 = 1000,80. Se x = 11, qual será o incremento em C(x)?
Basta verificar que: C’(10) = 0,08 e ocorrerá um aumento de 0,08 no custo se a produção aumentar de uma unidade. De fato, C(11) = 0.08*(11) + 1000 = 1000,88.
4
© UNESP
6 Agosto 2008
A receita da produção de x produtos é dada por:
R(x) = -0.01x2 + 2x + 2000
O custo é dado por:
C(x) = 0,08x + 1000
LIMITES E DERIVADAS
(iii)O Lucro marginal é:
L’(x) = R’(x) - C’(x) = (-0,02x + 2) – (0,08)
= -0,02x + 1,92
Seja x = 10, então, L(10)= R(10) – C(10)= 2019 – 1000,80 = 1018,20. Se x = 11, qual será o incremento em L(x)?
Basta verificar que: L’(10) = -0,02(10) + 1,92 = 1,72 e ocorrerá um aumento de 1,72 no lucro se a produção aumentar de uma unidade. De fato, L(11) = R(11) – C(11) = 2020,80 – 1000,88 = 1019,92.
5
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
Definição:
Uma função tem máximo absoluto (global) em c se f(c) ≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio de f, e f(c) é dito valor máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em D se f(c) ≤ f(x) para todo x em D e f(c) é dito valor mínimo de f. Os valores máximo e mínimo de f são ditos valores extremos.
Máximo Global
Mínimo Global
x
y
f(x)
6
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
Definição:
Uma função f tem máximo local em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver na vizinhança de c. Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x está na vizinhança de c.
Máximo local
Mínimo local
x
y
f(x)
Vizinhança
Vizinhança
7
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
-1
0
y=x2
1
y
x
1
Exemplo 2: Seja f(x) = x2, seu gráfico é dado por:
f(0)=0 é
mínimo, pois
f(0) ≤ f(x)
para
qualquer x.
Mínimo Global em x = 0
8
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
-1
0
y=1-x2
1
y
x
1
Exemplo 3: Seja f(x) = 1-x2, seu gráfico é dado por:
f(0)=1 é
máximo, pois
f(0) ≥ f(x)
para
qualquer x.
Máximo Global em x = 0
9
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
-1
0
y=x3
1
y
x
Exemplo 4: Seja f(x) = x3, seu gráfico é dado por:
A função f
não tem ponto
de máximo
nem de
mínimo.
Não tem mínimo global !
Não tem máximo global !
10
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
Definição:
Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.
f’(c2) = 0
x
y
f(x)
c1
c2
c3
c4
no. crítico
f’(c1) = 0
f’(c3) = 0
f’(c4) = 0
11
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
Máximo Global
Mínimo Global
x
y
f(x)
Definição:
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então, c é um número crítico de f.
c1
c2
c3
c4
no. crítico
f’(c1) = 0
Máximo local
Mínimo local
12
© UNESP
6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
-1
0
y=1-x2
1
y
x
1
Exemplo 5: Para encontrar os números críticos de
f(x) = 1-x2: f’(x) = 0 → –2x = 0 → x = 0
f(0)=1 é
máximo, pois
f(0) ≥ f(x)
para
qualquer x.
Máximo Global em x = 0
13
© UNESP
6 Agosto 2008
Exemplo 6: Encontrar os pontos críticos da
função de lucro definida no Exemplo 1.
L(x) = R(x) – C(x) onde :
R(x) = -0.01x2 + 2x + 2000 e
C(x) = 0,08x + 1000
LIMITES E DERIVADAS
Para encontrar os pontos críticos usa-se L’(x)=0:
L’(x)=0→ -0,02*x + 1,92 = 0→ x* = 1,92/0,02→ x*= 96
Para este valor de produção x*=96 o lucro é dado por:
L(96) = R(96) – C(96) = 2099,84 – 1007,68 = 1092,16
Observe que L(97) = 1092,15 o que é coerente com o
valor do lucro marginal (L’(96)) em x*=96, indicando
que o incremento da produção (de 96 para 97) não
implica em aumento do lucro (L(96) ≅ L(97)).
14
© UNESP
6 Agosto 2008
OBRIGADO !!!
FIM !!!
15
© UNESP
6 Agosto 2008