04.05.2025

Сьогодні

Урок

№ 61

Геометрія

Розділ 4. Коло і круг

Систематизація знань

та підготовка до тематичного оцінювання.

Тематична (діагностувальна) контрольна робота №4

Усім, усім добрий день!

04.05.2025

Сьогодні

Організація класу

Геть з дороги, наша лінь!

Хай не заважає працювати

Гарним хлопцям та дівчатам.

04.05.2025

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо

домашнє

завдання

04.05.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної

діяльності учнів

Мета уроку:�узагальнити і систематизувати знання з теми «Коло і круг»; закріпити практичні навички на побудову

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Теорема. Серединний перпендикуляр відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка.

Пряма теорема. Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від його кінців.

Обернена теорема.

Якщо точка рівновіддалена

від кінців відрізка, то вона належить серединному

перпендикуляру цього відрізка.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Теорема. Бісектриса кута є геометричним місцем точок, які належать куту й рівновіддалені

від його сторін.

Пряма теорема.

Кожна точка бісектриси кута

рівновіддалена від його сторін.

Обернена теорема.

Якщо точка, що належить

куту, рівновіддалена від його сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Колом називають геометричне місце точок, відстані від яких до заданої точки дорівнюють даному додатному числу.

Кругом називають геометричне місце точок, відстані від яких до заданої точки не більші за дане додатне число

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Коло та його елементи

Відрізок, що сполучає дві точки кола,

називають хордою. Хорду, що проходить

через центр кола, називають діаметром

Теореми. 1. Діаметр є найбільшою з хорд.

2. Діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим кутом.

3. Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

4. Діаметр кола, що проходить через середину хорди, яка

не є діаметром, перпендикулярний до цієї хорди.

​

Діаметр кола зазвичай позначають буквою d. Отже, d = 2г.

Крім того, центр кола є серединою будь-якого діаметра.

Властивості

елементів

кола

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Взаємне розміщення кола й прямої

1. Пряма й коло не мають спільних точок (мал. 1).

2. Пряма й коло мають дві спільні точки (мал. 2). Така пряма називається січною.

3. Пряма й коло мають одну спільну точку (мал. 3). Така пряма називається дотичною, а її спільна точка з колом — точкою дотику.

мал. 1

мал. 2

мал. 3

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Властивість дотичної

Справді, якщо пряма ВС дотикається до кола в точці А (мал.), то будь-яка інша точка К цієї прямої лежатиме поза колом і ОК > ОА. Тому радіус ОА — найменший з відрізків, які сполучають точку О з точками прямої ВС. Таким відрізком є перпендикуляр, проведений з точки О до прямої ВС, тобто ВС ⊥ ОА.

Дотична до кола перпендикулярна до радіуса цього кола, проведеного в точку дотику.

О

К

А

С

В

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Властивість бісектриси кута

Теорема 1. (властивість бісектриси кута).

Будь-яка точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін цього кута.

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін цього трикутника.

Коло вписане в трикутник

Теорема 2. (про коло, вписане в трикутник).

У будь-який трикутник можна вписати коло.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Наслідок 1. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Наслідок 2. Центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника.

Точку перетину бісектрис трикутника називають інцентром

Радіус кола вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо нього.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Серединним перпендикуляром до відрізка називають пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього

Теорема. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.

Доведення. Нехай пряма І - серединний перпендикуляр до відрізка АВ, К - середина цього відрізка (мал.). Розглянемо довільну точку Р серединного перпендикуляра і доведемо, що РА = РВ. Якщо точка Р збігається з К, то рівність РА = РВ очевидна. Якщо точка Р відмінна від К, то прямокутні трикутники РКА і РКВ рівні між собою за двома катетами. Тому РА = РВ.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно

проходить через усі вершини цього трикутника.

Теорема. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.

Для доведення достатньо показати, що для будь-якого трикутника ABC існує точка O, рівновіддалена від усіх його вершин. Тоді точка O буде центром описаного кола, а відрізки OA, OB і OC — його радіусами.

На рисунку зображено довільний трикутник ABC. Проведемо серединні перпендикуляри k і l сторін AB і AC відповідно. Нехай O — точка перетину цих прямих. Оскільки точка O належить серединному перпендикуляру k, то OA =OB . Оскільки точка O належить серединному перпендикуляру l, то OA= OC . Отже, OA =OB= OC , тобто точка O рівновіддалена від усіх вершин трикутника.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Н а с л і д о к 1. Три серединних перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Н а с л і д о к 2. Центр кола, описаного навколо трикутника, — це точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника.

У гострокутному трикутнику центр кола розташований у трикутнику.

У прямокутному трикутнику - на середині гіпотенузи.

У тупокутному трикутнику лежить поза трикутником.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

• Якщо на колі позначити дві точки, вони поділять коло на дві дуги.
• У кожної дуги є градусна міра. Сума градусних мір двох дуг зі спільними кінцями дорівнює 360°.
• Якщо відрізок, що з'єднує кінці дуги, є діаметром кола, то дугу називають півколом.
• Градусна міра півкола дорівнює 180°.

На малюнку АОВ – центральний кут, сторони якого перетинають коло в точках А і В. Точки А і В розбивають коло на дві дуги. Частину кола, яка лежить усередині кута, називають дугою кола - n, що відповідає цьому центральному куту.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кут із вершиною в центрі кола називається центральним кутом.

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі відповідної дуги кола:

∠AOB= ∪ AB

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Якщо центральний

кут менший від

розгорнутого

Якщо центральний кут більший

за розгорнутий

Розгорнутому

куту

то дуга, що йому

відповідає, є меншою за півколо

(її виділено кольором на мал. ).

то дуга, що йому

відповідає,

є більшою за

півколо.

відповідає дуга,

то є півколом.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називається вписаним кутом.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні.

2. Вписаний кут, що спирається на півколо, дорівнює 90°.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Взаємне розміщення двох кіл

1. Кола не мають спільної точки. Такі кола лежать одне поза одним (мал. 1) або одне коло лежить всередині іншого (мал. 2).
2. Кола мають дві спільні точки (мал. 3). Тоді вони перетинаються в цих точках.

1

2

3

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Взаємне розміщення двох кіл

4. Кола мають одну спільну точку. Такі кола називаються дотичними. Дотик двох кіл може бути зовнішнім (мал. 4 або внутрішнім мал.5).

Точка дотику лежить на прямій, яка проходить через центри даних кіл.

Ця пряма називається лінією центрів.

4

5

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кола, які не перетинаються

На малюнку відстань між центрами кіл більша за суму радіусів:

O₁О₂ = O₁А₁+ А₁А₂ + А₂О₂ = r₁ + A₁A₂ + r₂

O₁О₂ > r₁ + r₂

На малюнку відстань між центрами кіл менша від різниці радіусів:

O₁A₁ = O₁O₂+ О₂А₂ + А₂А₁ ; r₁ = O₁O₂+ r₂ + А₂А₁

Тому O₁О₂= (r₁ - r₂ ) - А₂А₁ < r₁ - r₂

Отже O₁О₂< r₁ - r₂ , де r₁ > r₂

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розв’язати задачу на побудову — означає:

• знайти послідовність елементарних побудов, після виконання яких шукана фігура вважається побудованою;
• довести, що саме ця фігура задовольняє умову задачі.

Розв’язування задач на побудову складається з чотирьох етапів :

• аналіз( визначення плану побудови шуканої фігури );
• побудова ( здійснення плану , розробленого в ході аналізу );
• доведення (встановити, що побудована фігура дійсно задовольняє умові

задачі);

• дослідження (встановлення кількості розв’язків , або обґрунтування

неможливості побудови шуканої фігури ).

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова відрізка, що дорівнює даному

A

B

A₁

В₁

АВ=А₁В₁

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова трикутника за трьома сторонами

1. Провести пряму.

2. На прямій від вибраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a, і позначити інший кінець відрізка B.

3. Провести коло з центром A і радіусом, що дорівнює відрізку в.

4. Провести коло з центром B і радіусом, що дорівнює відрізку c.

5. Точка перетину кіл є третьою вершиною шуканого трикутника.

A

a

в

с

В

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова кута, що дорівнює даному

A

B

O

1. Будуємо два кола з центрами у точках О і О′ та рівними радіусами і позначаємо точки перетину, одного кола з сторонами кута, (відповідно точки А i В) та другого кола з променем, на якому будемо відкладати кут – точка А′.

В′

А′

O′

2. Будуємо коло з центром у точці A′ і радіусом, що дорівнює АВ і відмічаємо точку перетину двох кіл – точку B′.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова бісектриси кута

A

B

O

M

N

P

Q

1. Будуємо коло з центром у точці О та довільним радіусом і позначаємо точки перетину цього кола з сторонами кута – точки M i N.

2. З точок M I N як із центрів проводимо два кола з довільним радіусом, але так, щоб вони перетиналися в середині кута, в точках P I Q.

3. З вершини кута через точки P і Q проводимо промінь, який і буде бісектрисою кута.

OK - бісектриса кута

К

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Поділ даного відрізка на дві рівні частини

A

B

O

M

N

1. З кінців відрізка, точок А і В, як із центрів – будуємо два кола рівними радіусами але такими, щоб вони перетнулися в довільних точках M i N.

2. Через точки M I N проводимо пряму.

3. Точка О – точка перетину відрізка АВ і прямої MN і є середина відрізка АВ, а також

.

АO=ОВ

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова перпендикуляра до прямої через точку, що не лежить на прямій

A

B

M

N

1. З точки N як із центра, будуємо коло з довільним радіусом але так, щоб воно перетнуло дану пряму в двох довільних точках А і В.

3. Пряма MN (відрізок MN) і буде перпендикулярною (перпендикулярним) до прямої АВ.

2. З точок А і В, як із центрів – будуємо два кола але так, щоб вони пройшли через точку N.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У трикутник KLM вписано коло з центром О і радіусом r, яке дотикається до сторони KL у точці А, сторони LM — у точці В і сторони КМ — у точці С.

Яке із співвідношень правильне?

A.KL = r. Б. ∠КСО < ∠МСО. B.MB = BL. Г. ∠ОАК = 90°

Систематизація знань

та підготовка до тематичного оцінювання.

Тематична (діагностувальна) контрольна робота №4

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У трикутник KLM вписано коло з центром О і радіусом r, яке дотикається до сторони KL у точці А, сторони LM — у точці В і сторони КМ — у точці С.

Яке із співвідношень правильне?

A.KL = r. Б. ∠КСО < ∠МСО. B.MB = BL. Г. ∠ОАК = 90°

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано три точки, які не лежать на одній прямій. Скільки точок містить геометричне місце точок, рівновіддалених від даних?

А) безліч; Б) дві; В) одну; Г ) жодної.

Завдання №1

Перевірте себе…

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано три точки, що лежать на одній прямій. Скільки точок містить геометричне місце точок, рівновіддалених від даних?

А) одну; Б) дві; В) безліч; Г ) жодної.

Завдання №2

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

 Скільки точок містить геометричне місце точок, які належать куту й рівновіддалені від його сторін та вершини?

А) одну; Б) дві; В) безліч; Г ) жодної.

Завдання №3

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Точка X належить колу радіуса R із центром O. Яке з поданих тверджень є неправильним?

А) OX ≤ R; Б) OX ≥ R; В) OX < R; Г) OX = R.

Завдання №4

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Пряма має дві спільні точки з  колом радіуса R із центром O. Яку фігуру утворюють усі точки X даної прямої такі, що OX ≥ R?

А) відрізок; В) промінь; Б) два промені; Г) пряму.

Завдання №5

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

На рисунку зображено пряму a, яка дотикається до кола із центром O в точці A. На колі позначено точку B, X — довільна точка прямої a. Яке з поданих тверджень є неправильним?

​

А) OX > OB; Б) OX ≥ OA; В) OX ≥ OB; Г) OA = OB?

Завдання №6

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Яке твердження є правильним?

А) Якщо дві хорди перпендикулярні, то одна з  них є діаметром.

Б) Якщо дві хорди точкою перетину діляться навпіл, то вони перпендикулярні.

В) Якщо дотична, проведена через кінець хорди, перпендикулярна до неї, то ця хорда — діаметр.

Г) Якщо одна з  хорд ділить другу навпіл, то ця хорда — діаметр.

Завдання №7

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Центр описаного кола трикутника — це точка перетину:

А) висот трикутника;

Б) медіан трикутника;

В) серединних перпендикулярів сторін трикутника;

Г) бісектрис трикутника.

Завдання №8

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Центр вписаного кола трикутника — це точка перетину:

А) висот трикутника;

Б) медіан трикутника;

В) серединних перпендикулярів сторін трикутника;

Г) бісектрис трикутника.

Завдання №9

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються:

А) у рівнобедреному трикутнику;

Б) у рівносторонньому трикутнику;

В) у прямокутному трикутнику;

Г) у різносторонньому трикутнику.

Завдання №10

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розв’язуючи задачі на побудову, використовують інструменти:

А) циркуль, транспортир, лінійку;

Б) лінійку, косинець;

В) лінійку, косинець, циркуль, транспортир;

Г) циркуль, лінійку.

Завдання №11

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

На малюнку точка О - центр кола, ∠СОА = 32°. Знайдіть ∠СВА.

Завдання

3

рівень

Розв’язання:

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано коло радіусом 5 см.

1) Проведіть у ньому хорду 6 см завдовжки. Скільки таких хорд можна провести?

2) Точка А належить даному колу. Скільки хорд 6 см завдовжки можна провести з даної точки?

Завдання

3

рівень

Розв’язання:

1) Безліч хорд;

2) Дві такі хорди.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У колі на малюнку АВ - діаметр, ∠АВМ = 60°, ВМ = 5 см. Знайдіть діаметр кола.

Завдання

3

рівень

Розв’язання:

1) Оскільки AB — діаметр, то ∠AMB = 90°;

2) В ∆AMB: ∠A = 180° – (90° + 60°) = 30°.

3) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо

AB = 2 ∙ MB = 25 = 10 (см). Відповідь: 10 см.

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Хорда кола перетинає його діаметр під кутом 30° і ділиться діаметром на відрізки 4 см і 7 см завдовжки. Знайдіть відстань від кінців хорди до прямої, що містить діаметр кола.

Завдання

4

рівень

04.05.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розв’язання:

4

рівень

04.05.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

04.05.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Рівнобедрений трикутник ABC описаний навколо кола, центр О якого лежить на медіані BD.

Чому дорівнює кут CBD, якщо ∠DAO = 25°?

​

А. 25°. Б. 40°. В. 50°. Г. 80°.

Відповідь:

Б

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

Якщо у трикутник вписано коло, то відрізок АО - бісектриса кута BAD. Тому кут BAD = 25 + 25 = 50°.

Трикутник АВС - рівнобедрений, тому кут BCD теж 50 °

А кут ABC = 180 – 50 – 50 = 80.

Кут CBD = 80 : 2 = 40 (бо BD - бісектриса).

04.05.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Прямокутник поділено на дев’ять прямокутників (див. мал.). Периметри трьох з них відомі, і їх вказано на малюнку. Знайдіть периметр зафарбованого прямокутника.

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

04.05.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

2(a + b) = 12; a + b = 6; (1)�2(a + c) = 13; a + c = 6,5; (2)�2(b + d) = 16; b + d = 8. (3)�Отримаємо: c – b = 0,5.

Додамо отримане рівняння з третім рівнянням,�отримаємо c + d = 0,5 + 8 = 8,5.�Отже, периметр зафарбованого прямокутника дорівнює 2 ∙ 8,5 = 17 (см).

​

Відповідь: 17 см.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

Розв’язання:

04.05.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Чим відрізняється круг від кола?

2. Що таке геометричне місце точок?

3. Яке коло називається описаним навколо трикутника; вписаним у трикутник?

4. Які властивості кола, описаного навколо трикутника; вписаного в трикутник?

5. Як побудувати трикутник за трьома сторонами?

9. Як побудувати кут, що дорівнює даному?

04.05.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацюй сторінки підручника 184-232.

​

Підготуйся до контрольної роботи.

04.05.2025

Сьогодні

Вправа «ПОПС»

• Я вважаю, що …
• Тому що …

• Я можу довести це на прикладі …
• Зважаючи на це, я роблю висновок про те, що …

П

О

П

С

позиція

обґрунтування

приклад

судження