Задания на смекалку ЕГЭ по математике базового уровня. Задания №20
Кривошеин О.В. Учитель математики ОУ «Харламовская школа»
Спецификация контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике. Базовый уровень.�Задание 20.
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
Улитка на дереве
ДЕМО. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?
Решение. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Итого, за сутки она продвигается на 3 – 2 = 1 метр.�За 7 суток она поднимется на 7 метров. �На восьмой день она заползёт вверх еще на 3 метра и впервые окажется на высоте 7 + 3 = 10 (м), т.е. на вершине дерева.
Ответ: 8
Бензоколонки
На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и Д. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и Д —20 км, между Д и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.
Решение. Начертим окружность и расположим точки (бензоколонки)так, чтобы расстояния соответствовали условию. Заметим, что все расстояния между точками А, С и D известны. АС =20, АD=30, СD=20. Отметим точку А. От точки А по часовой стрелке отметим точку С, помним, что АС=20. Теперь будем отмечать точку D, которая лежит от А на расстоянии 30, это расстояние нельзя откладывать от А по часовой стрелке, так как тогда получится расстояние между С и D равно 10, а по условию СD=30. Значит от А до D надо двигаться против часовой стрелки, отмечаем точку D. �Так как СD=20, то длина всей окружности равна 20+30+20=70.
Так как АВ=35, то точка В диаметрально противоположна точке А. Расстояние от С до В будет равно 35-20=15.
Ответ 15.
В кинозале
Задание 20 № 506732. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
Решение. 1 способ. Просто считаем сколько мест в рядах до восьмого:
1 – 24
2 – 26
3 – 28
4 – 30
5 – 32
6 – 34
7 – 36
8 – 38.
Ответ 38.
Решение. 2 способ. Замечаем, что количество мест в рядах составляет арифметическую прогрессию с первым члено 24 и разность равной 2.
По формуле n-го члена прогрессии находим восьмой член
а8= 24 + (8 – 1)*2 = 38.
Ответ 38.
Грибы в корзине
В корзине лежат 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 27 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Решение. Из условия , что среди любых 27 грибов имеется хотя бы один рыжик следует – количество груздей не больше 26.
Из второго условия, что среди любых 25 грибов хотя бы один груздь, следует - количество рыжиков не больше 24. Так как всего грибов – 50, то рыжиков 24, а груздей – 26.
Ответ 24.
Кубики в ряд
Сколькими способами можно поставить в ряд два одинаковых красных кубика, три одинаковых зелёных кубика и один синий кубик?
Решение. Если пронумеровать все кубики числами от одного до шести (не учитывая, что имеются кубики разного цвета), то получим общее число перестановки кубиков:�Р(6)=6*5*4*3*2*1=720�Теперь вспомним, что имеются 2 кубика красного цвета и перестановка их местами (Р(2)=2*1=2) не даст нового способа, поэтому полученное произведение надо уменьшить в 2 раза.�Аналогично, вспоминаем, что у нас имеются 3 кубика зелёного цвета, поэтому придётся полученное произведение уменьшить ещё и в 6 раз (Р(3)=3*2*1=6)�Итак, получим общее число способов расстановки кубиков 60.�Ответ: 60.
На беговой дорожке
Задание 20 № 507073. Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?
Решение. 1 способ. Замечаем, что надо найти сумму арифметической прогрессии с первым членом 15 и разность равной 7. По формуле суммы n первых членов прогрессии Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2 имеем
145=(2*15+(n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+7n–7)*n, 290=(23+7n)*n, 290=23n+7n2, 7n2+23n-290=0, n=5.
Ответ 5.
Решение. 2 способ. Более трудоёмкий.
1-15-15
2-22-37
3-29-66
4-36-102
5-43-145.
Ответ 5.
Меняем монеты
Задание 20. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную; за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 100 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение. Из условия мы имеем равенства (сокращения: зм - золотые монеты, см – серебряные монеты, мм – медные монеты)
2 зм = 3 см + 1мм,
5 см = 3 зм + 1мм. Так как у Николая были только серебряные монеты, а после обмена остались серебряные и появились медные, то все золотые, которые появились в ходе обмена, были опять обменены. Из второго равенства мы видим, что за десять серебряных монет он получал 6 золотых и 2 медных.
10 см = 6 зм + 2мм. Но из первого равенства находим, что за 6 золотых монет он получает 9 серебряных и 3 медных.
6 зм = 9 см + 3мм. В итоге этих обменов у него вместо десяти серебряных монет осталось 9, но появилось 5 медных. То есть одна серебряная монета равна 5 медным. Так как у него появилось 100 медных монет, то он отдал за них 20 серебряных.
Ответ 20. http://krivoleg.blogspot.ru/2015/09/blog-post.html
Хозяин договорился
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров?
Решение.
Из условия понятно, что последовательность цен за каждый выкопанный метр является арифметической прогрессией с первым членом а1= 3700 и разностью d=1700. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sn = 0,5(2a1 + (n – 1)d)n. Подставляя исходные данные, получаем:
S10 = 0,5(2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200.
Таким образом, хозяин должен будет заплатить рабочим 77200 руб.
Ответ: 77200.
Вода в котловане
В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см?
Решение. В результате работы насоса и подтопления почвенными водами уровень воды в котловане понижается на 20-5=15 сантиметров за час. Чтобы уровень снизился на 200-80=120 сантиметров необходимо 120:15=8 часов.
Ответ 8.
Бурим скважину
Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине 3 км. В течение рабочего дня бурильщики проходят 300 метров в глубину, но за ночь скважина вновь «заиливается», то есть заполняется грунтом на 30 метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти?
Решение. Учитывая заиливание скважины, в течении суток проходят 300-30=270 метров. Значит за 10 полных суток будет пройдено 2700 метров и за 11-й рабочий день будет пройдено ещё 300 метров.
Ответ 11.
На поверхности глобуса
Задание 20 № 509645. На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Решение. Одна параллель разбивает поверхность глобуса на 2 части. Две на три части. Три на четыре части и т. д. 17 параллелей разбивают поверхность на 18 частей.
Проведём один меридиан, и получим одну целую (не разрезанную) поверхность. Проведём второй меридиан и у нас уже две части, третий меридиан разобьёт поверхность на три части и т. д. 24 меридиана разбили нашу поверхность на 24 части. Получаем 18*24=432. Все линии разделят поверхность глобуса на 432 части.
Ответ 432.
Кузнечик прыгает
Задача 1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
Решение:
Немного подумав, мы можем заметить, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, чётно. Например, если он сделает пять прыжков в одну сторону, то в обратную сторону он сделает три прыжка и окажется в точках 2 или −2.
Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает восьми. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 и 8; всего 9 точек.�Ответ 9.
Новые бактерии
Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана?
Решение. Вспомним, что 1 час = 3600 секундам. Через каждую секунду бактерий становится в два раза больше. Значит, чтобы из половины стакана бактерий получился полный стакан нужна всего 1 секунда. Поэтому стакан был заполнен на половину за 3600-1=3599 секунд.
Ответ 3599.
Делим числа
Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Решение. Задача простая, так как среди десяти подряд идущих натуральных чисел хотя бы одно делится на 7. Значит и всё произведение будет делиться на 7 без остатка. То есть остаток равен 0.
Ответ 0.
Ответ 9.
Где живёт Петя?
Задача 1. В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 50. На каком этаже живёт Петя?
Решение: Делим 50 на 6, получаем частное 8 и 2 в остатке. Это значит, что Петя живёт на 9 этаже. Ответ 9.
Задача 2. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 455 квартир?
Решение: Решение этой задачи вытекает из разложения числа 455 на простые множители. 455 = 13*7*5. Значит в доме 13 этажей, по 7 квартир на каждом этаже в подъезде, 5 подъездов.
Ответ 13.
Где живёт Петя?
Задача 3. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
Решение: Петя может подсчитать, что в двенадцатиэтажном доме в первых семи подъездах 12*7=84 площадки. Дальше, перебирая возможное количество квартир на одной площадке, можно увидеть, что их меньше шести, так как 84*6 = 504. Это больше 468. Значит на каждой из площадок 5 квартир, тогда в первых семи подъездах 84*5 =420 квартир. 468 – 420 = 48, то есть Саша живёт в 48 квартире в 8 подъезде (если бы нумерация была с единицы в каждом подъезде). 48:5 = 9 и 3 в остатке. Таким образом Сашина квартира на 10 этаже.
Ответ 10.
Что у нас на обед?
Решение. Если мы пронумеруем каждый салат, первое, второе, десерт, то:
с 1 салатом, 1 первым,1 вторым можно подать один из 4-х десертов. 4 варианта. Со вторым вторым тоже 4 варианта и т.д. Всего получим 6*3*5*4=360.
Ответ 360.
Врач прописал
Наполнить бак
Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Полезные ссылки