Compactificación de Poincaré y Desingularización Geométrica
Rafael Marcel Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Seminario Internacional Introducción a los Sistemas Dinámicos
Sistemas no Lineales
Sistemas no Lineales
Sistemas no Lineales
Modelo Matemático de Selkov
Introducción:
Todo organismo necesita de un proceso de obtención de energía para realizar los procesos mecánicos. Esta energía se obtiene a través de los alimentos mediante procesos metabólicos, es decir, mediante reacciones químicas que degradan energía libre (ATP).
La glucólisis es un proceso mediante el que la glucosa se degrada en ADP para después transformarse en energía almacenada como ATP
Evgeni Selkov (1968) propuso un modelo para describir las oscilaciones que tienen lugar durante el proceso de la glucólisis
Modelo Matemático de Selkov
Introducción:
Clasificación de los Puntos Críticos
Ahora hallamos la matriz jacobiana del sistema y la evaluamos en el puntos crítico obtenido:
Clasificación de las Singularidades
Evaluamos la matriz en la singularidad obtenida:
Clasificación de las Singularidades
Para estudiar el comportamiento de las órbitas en torno a la singularidad, necesitamos estudiar el signo del discriminante de los autovalores
Para que sea más sencillo, consideremos las siguientes curvas:
Clasificación de las Singularidades
Dependiendo de la zona, se distinguen los siguientes casos:
Clasificación de las Singularidades
Diagramas de Fase
Fig. 01. Diagramas de fases del modelo de Selkov
Compactificación de Poincaré
Para estudiar el comportamiento de las singularidades infinitas, es necesario realizar un procedimiento denominado compactificación de Poincaré.
Esta compactificación permite analizar el comportamiento de las órbitas de un sistema de ecuaciones diferenciales polinomial en un entorno del infinito.
Su construcción se basa en la proyección estereográfica de la esfera en un plano, de forma que las singularidades en el infinito se extienden a lo
largo del ecuador de la esfera.
Compactificación de Poincaré
El Disco de Poincaré
NR
NA
Fig. 02. El disco de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Para estudiar las singularidades infinitas necesitamos de un método denominado compactificación de Poincaré, el cual permite estudiar el comportamiento de un sistema diferencial plano en una vecindad del infinito.
A continuación daremos algunas definiciones necesarias para entender el método de la compactificación de Poincaré. Esta técnica tiene la característica principal de ubicar las singularidades infinitas en el ecuador de la esfera de Poincaré.
Compactificación de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Fig. 03. Construcción de la compactificación de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Compactificación de Poincaré
Presentaremos los retratos de fase de los sistemas diferenciales polinómicos del sistema de Selkov en el disco de Poincaré
Singularidades Infinitas
Singularidades Infinitas
Singularidades Infinitas
Disco de Poincaré
Singularidades Infinitas
Los puntos de equilibrio son de este sistema son (0, 0) y (-1; 0). Ahora hallamos la matriz jacobiana del sistema:
Singularidades Infinitas
Técnica de los Blow ups
Es una técnica que consiste en realizar un cambio de coordenadas del sistema actual para obtener otro sistema equivalente en el cual las singularidades se expande o “explotan”.
Bajo condiciones genéricas, después de una secuencia finita de Blow ups se encontrará solo singularidades hiperbólicas y semihiperbólicas. Este resultado es conocido como Teorema de desingularización.
Técnica de los Blow ups
Técnica de los Blow ups
Tenemos una nueva estructura que permite dividir por un factor común. Esta división corresponde a un reajuste de tiempo
Técnica de los Blow ups
Técnica de los Blow ups
Técnica de los Blow ups
Fig. 05. Blow up polar y direccionales para un sistema planar no lineal
Técnica de los Blow ups
Técnica de los Blow ups
A continuación definiremos ambos tipos de Bow up a utilizar: polares y direccionales.
Blow up Polar
Blow up Polar y Direccional
Blow up Polar y Direccional
Blow up Polar y Direccional
Invarianza Topológica
Invarianza Topológica
Estas dos proposiciones anteriores indican que para estudiar el comportamiento de las soluciones alrededor del origen del sistema planar polinómico, es necesario estudiar los puntos singulares del sistema (1) en el divisor excepcional.
Puede suceder que algunos puntos singulares son degenerados. Si este es el caso, entonces tenemos que repetir el proceso. Se puede demostrar que esta cadena de Blow ups es finita.
Resultados
Resultados
Disco de Poincaré
Resultados
Disco de Poincaré
Fig. 13 Retrato de fases local y global del sistema
Disco de Poincaré
Disco de Poincaré
La siguiente figura muestra las simulaciones numéricas en el disco de Poincaré, usando el programa P4,
Disco de Poincaré
Fig. 15. Diagrama de fases en el disco de Poincaré
Disco de Poincaré
Disco de Poincaré
Disco de Poincaré
Disco de Poincaré
En la siguiente figura se muestra el diagrama de fases global en el disco de Poincaré
Disco de Poincaré
Fig. 16. Diagrama de fases global del sistema de Selkov
Disco de Poincaré
Disco de Poincaré
Disco de Poincaré
Las simulaciones numéricas en el disco de Poincaré se presentan a continuación
Fig. 18 Diagrama de fases en el disco de Poincaré