Подготовила: Дедушкина О.В.,

учитель математики

МОУ «СОШ№8»,

г. Магнитогорск,

Решение задач на сплавы и растворы разными способами при подготовке к ГИА

ЕГЭ 2023 г., математика,

базовый уровень

Задание 15 –

текстовая задача на проценты.

Пример 1. Налог на доходы составляет 13 % заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 18 500 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы?

Задачу не решила треть участников экзамена

Пример 2. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10 %. Книга стоит 240 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

ЕГЭ 2023 г., математика,

базовый уровень

Задание 20 –

текстовая задача на проценты.

Пример Имеется два сплава. Первый содержит 20 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % никеля. Масса первого сплава равна 10 кг. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?

Задание выполняет седьмая часть участников экзамена. При этом треть участников даже

не берется за решение данной задачи.

Каждый из использованных для анализа вариантов ЕГЭ базового уровня

выполняли не менее 6000 участников экзамена из разных регионов.

Варианты базового экзамена полностью собраны из банка заданий .

Каждый из использованных для анализа вариантов ЕГЭ профильного

уровня выполняли не менее 8000 участников экзамена из разных

регионов

Типичные ошибки ОГЭ, ЕГЭ - 2023

• неверно составленная модель задачи (непонимание

взаимосвязи между величинами, фигурирующими в задаче);

• ошибки вычислительного характера;
• нет обоснования для составления уравнения

Комментарий

Недостаточно развиваются в школе:

• умения верно прочитать условие текстовой задачи;
• умение составить математическую модель,
• умение решить полученную задачу и проверить ответ

Из демоверсии �ЕГЭ – 2024

ЕГЭ

Задание № 20 В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Задание № 15 Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13 %. Сколько рублей Иван Кузьмич получит после уплаты этого налога?

Базовый уровень

ЕГЭ

Задание №10. Смешав 45% - ный и 97% - ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62% - ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% - ного раствора той же кислоты, то получили бы 72% - ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45% - ного раствора использовали для получения смеси?

Из демоверсии �ЕГЭ – 2024

Профильный уровень

ОГЭ

Общее количество сюжетных задач в учебниках авторов Н.Я.Виленкина, В.И. Жохова и Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсона незначительно больше и они распределены по всему изучаемому материалу. В других двух учебниках количество задач немногим меньше. Причем задач, где упоминается процентное содержание вещества, в учебнике И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика.,6кл. всего 4 !

«Решение задач на смеси и сплавы »

в школьном курсе математики

Сравнительная характеристика учебников математики 5-6 классов по количеству сюжетных задач

Названия текстовых задач берут начало:

• от способа записи (задача представлена в виде текста),
• от сюжета (описываются реальные объекты, явления, события),
• от характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями).

Текстовые (сюжетные) задачи- это математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом.

Для решения сюжетной задачи необходимо:

• знание этапов решения,
• знание методов (способов) решения,
• знание типов задач,
• обоснование выбора способа решения на основании анализа текста задачи,
• владение предметными знаниями.

1) анализ текста задачи;

2) перевод текста на язык математики;

3) установление отношений между данными и вопросом;

4) составление плана решения задачи;

5) осуществление плана решения;

6) проверка и оценка решения задачи

Этапы решения сюжетных задач:

Способы записи

решения задачи

• составление выражения по условию задачи,
• «вопрос-действие»,
• «действие с пояснением»,
• запись пункта плана с последующим выполнением действия,
• связный рассказ (применяется при решении задачи алгебраическим способом),
• таблица.

Способы проверки

решения задачи

• прикидка;
• соотнесение полученного результата с условием задачи;
• решение задачи другим способом;
• составление обратной задачи
• и др

Методы решения текстовых задач

Арифметический метод Алгебраический метод

Геометрический метод Логический метод

Практический метод

Комбинированный (смешанный) метод

• все полученные смеси, сплавы, растворы считаются однородными;
• не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа);
• смешивание различных растворов происходит мгновенно;
• объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;
• объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

​

При решении задач о смесях, сплавах, растворах используют следующие допущения:

Задания из вариантов ЕГЭ

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

2. Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

4. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

5. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

6. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси?

7. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

• решение с помощью расчетной формулы,
• решение по правилу смешения,
• решение по правилу креста,
• графический метод,
• алгебраический метод

2.Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

Основными методами решения задач на смешивание растворов являются:

1.Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m₁ и m₂ и с концентрациями в них некоторого вещества. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию

• Задачи на процентное содержание влаги.
• с помощью таблицы;
• с помощью «стаканчиков»;
• с помощью модели;
• арифметический способ;
• метод Магницкого - «метод рыбки»;
• с помощью креста (квадрат Пирсона);
• алгебраический метод или правило квадрата;
• решение задач на смеси методом прямоугольников;
• применение линейного уравнения;
• применение систем линейных уравнений;
• задачи на процентное содержание влаги.

​

Методы решения задач на смеси и сплавы

Так как подливали только воду, масса уксусной кислоты в растворе не изменилась. Составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200

16 + 0,08х = 140

0,08х = 124

х = 1550

Ответ:1,55 кг воды.

Задача 1. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

II способ

Ответ: 150 г, 450 г

Задача 2. Смешали 30 % раствор соляной кислоты с 10 % раствором этой же кислоты и получили 600 г 15 % раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

III способ

«Правило креста» или «Конверт Пирсона»

Друг под другом пишутся содержания кислот (или элементов сплавов) имеющихся растворов (сплавов), слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе (элементов в сплаве), который должен получиться после смешивания.

Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему

5+10 = 15 частей в 3 кг

3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.

На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг

На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг

Ответ: 1 сплав – 1 кг,

2 сплав – 2 кг.

​

Задача 3. Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 3 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

III способ

Решение

III способ

Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?�

III способ

Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлли 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Ответ: 6,5 литров

Метод «рыбки»

(метод Магницкого)

Необходимо правильно внести данные в шаблон, от этого зависит успех решения задачи:

IV способ

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве

содержится 35 % , а во втором – 60 % золота. В каком отношении надо

взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав,

содержащий 40 % золота?

15 * х = 5 * (600 – х);� x = 150. �Ответ: 150 г 30 % и 450 г 10 % раствора

V способ

Метод площадей равновеликих прямоугольников

Смешивают 30 % раствор азотной кислоты с 10 % раствором и получают 600 г — 15 % раствора. Какие массы растворов необходимо взять?

VI способ

Метод решения через подобие прямоугольных треугольников

Метод «чаш»

Масса лимонной кислоты в нужном растворе равна сумме масс лимонной кислоты в исходных растворах. Составляем уравнение и решаем его:

0,2х + 0,7(10 – х) = 0,4·10; 0,2х + 7 – 0,7х = 4; 0,5х = 3; х = 6 (г) – масса 20%

раствора; 1) 10 – 6 = 4 (г) – масса 70% раствора.

​

Ответ: 6 г - 20% раствора и 4 г - 70% раствора.

Для приготовления торта «Воздушный» маме требуется 10 г 40% раствора лимонной кислоты. Какова масса 20% и 70% растворов лимонной кислоты, которые она смешала, чтобы получить раствор нужной концентрации?

VII способ

Решение

1). 100%-90%=10%     – составляет сухое вещество в свежих грибах

2).  100% – 22 кг, 10% – х кг

 – масса сухого вещества в свежих грибах

3). 100%-12% =88% – составляет сухое вещество в сухих грибах

4).     88% – 2,2 кг

100% – х кг

Отсюда,  х = 2,5(кг)

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

VIII способ

Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие-12% воды. Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Метод

«отрезков»

Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие-12% воды. Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?

IX способ

Решение

1.     На сторонах угла обозначаем массу грибов в кг и сухое вещество в процентах

2.     Пересекаем стороны угла параллельными прямыми

(OA = X, OB = 22)

3.     Составим пропорцию: 

X/10=22/88

Отсюда, X=2,5 (кг)

​

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

Первый сплав содержит 70% меди, второй – 40% меди. Из этих двух сплавов и 30 кг третьего сплава, не содержащего меди, получили сплав, в котором меди оказалось 37%. Если бы к первым двум сплавам вместо третьего сплава добавили 30-килограммовый сплав, содержащий 20% меди, то получили бы сплав, в котором меди было бы 43%. Найти массу первого сплава. Ответ выразить в килограммах.

1 случай

2 случай

Приведённые схемы позволяют сразу получить систему двух линейных уравнений для определения неизвестных x и y:

Решение

20x = 600,

x = 30

Рекомендации

по оформлению решения задачи

(часть 2)

Критерии оценивания

35

www.shevkin.ru Шевкин.Ru/ Обучение решению задач в 5-6 кл.

Стр 82 В сосуд, содержащий 8 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Стр 83 Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 46 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?

Стр 85 Смешали некоторое количество 12-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Открытый банк заданий ОГЭ

1) http://fipi.ru

2) http://reshuege.ru/

3) http://урок.рф

4 ) Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы [Электронный ресурс] // ЕГЭ- Студия. — URL: https://ege-study.ru/zadachiege-na-splavy-smesi-rastvory/

ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под. ред. И. В. Ященко. — М.: Издательство «Национальное образование», 2023

Огрызко, И. В. Решение задач на смеси и сплавы методом Магницкого [Электронный ресурс] / И. В. Огрызко // Мультиурок — проект для учителей. — URL: https:// multiurok.ru/files/rieshieniie-zadachna-smiesi-i-splavy-mietodom-mag. html

В помощь учителю:

http:// mathege.ru

5) Открытый банк заданий с ответами: https://math100.ru/ogenew/

Поткина А. А. Методы решения текстовых задач на смеси и сплавы // Научно-методический электронный журнал «Калининградский вестник образования». — 2022. — № 2 (14) / июль. — С. 30-45. — URL: https:// koirojournal.ru/realises/g2022/05jul2022/kvo104/

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

(Д. Пойа)

Спасибо за �внимание!�Берегите себя!

​