Progressão geométrica (PG)
Soma da P.G infinita
Recomposição de Aprendizagem
O que será que aconteceria se tivéssemos uma P.G infinita, apenas com números positivos, e somássemos todos esses valores ?
Provavelmente, você pensa que esse valor sempre estará aumentando. Afinal de contas, estamos somando para sempre parcelas que são positivas.
Mas ... Não acontece isso.
O que está acontecendo aqui é que eu estou pegando 1 e somando a ele sempre metade da parcela anterior. Logo, eu estou somando infinitamente, porém cada vez menos.
Geometricamente falando...
1
A área desse quadrado equivale a 1.
O que vamos fazer agora, é somar a ele as outras parcelas.
Geometricamente falando...
1
A área desse quadrado equivale a 1.
O que vamos fazer agora, é somar a ele as outras parcelas.
1
Geometricamente falando...
1
Geometricamente falando...
1
Geometricamente falando...
1
Geometricamente falando...
1
Geometricamente falando...
Vamos dar um zoom nesse quadrado azul para repetir o processo.
Repetindo todo o processo de divisão dos quadrados
Repetindo todo o processo de divisão dos quadrados
Dando um zoom no quadrado azul que sobrou e repetindo todo o processo.
Repetindo todo o processo de divisão dos quadrados
Repetindo todo o processo de divisão dos quadrados
Esse quadrado azul nunca será preenchido por total.
Esse quadrado azul nunca será preenchido por total.
Repetindo todo o processo de divisão dos quadrados
Logo, o segundo quadrado grande nunca estará completo. Estará sempre muito próximo disso.
Esse quadrado azul nunca será preenchido por total.
Logo, o segundo quadrado grande nunca estará completo. Estará sempre muito próximo disso.
Esse quadrado azul nunca será preenchido por total.
Logo, o segundo quadrado grande nunca estará completo. Estará sempre muito próximo disso.
Esse quadrado azul nunca será preenchido por total.
Logo, o segundo quadrado grande nunca estará completo. Estará sempre muito próximo disso.
Isso acontece porque sempre sobra alguma coisa.
Dessa coisa que sobra, sempre é pego apenas a metade.
Então o processos nunca estará completo.
Logo, o segundo quadrado grande nunca estará completo. Estará sempre muito próximo disso.
Isso acontece porque sempre sobra alguma coisa.
Dessa coisa que sobra, sempre é pego apenas a metade.
Então o processos nunca estará completo.
O resultado desse somatório tem um limite, que é 2.
Nunca será dois, será sempre um valor muito próximo de 2.
Mas escrevemos como sendo 2.
Mas como poderíamos determinar isso, sem ter que fazer todo esse processo geométrico?
Através da soma dos termos da P.G infinita.
Para o exemplo anterior, temos:
É uma P.G crescente, e ela cresce muito rápido.
É uma P.G crescente, e ela cresce muito rápido.
Se aplicássemos a fórmula para o cálculo teríamos:
E isso não faz sentido nenhum, visto que os valores são crescentes.
Portanto esse somatório “explode”.
Clube de Matemática – Crede 14
Bolsista responsável:
Jonas Lima Cavalcante