Autor: Anibal Tavares de Azevedo

CÁLCULO I + Python

​

SEMANA 04 - AULA 01

1

© UNESP

6 Agosto 2008

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

As funções encontradas até agora podem descritas expressando-se uma variável em termos da outra, ou seja, por exemplo, y pode ser expressa como uma função f(x) de x.

Exemplo 1:

​

y³ - x³ = 1 → y = (x³ + 1)^1/3

​

Ou ainda:

​

y - x² = 5x → y = x² + 5x

2

© UNESP

6 Agosto 2008

Em alguns casos não é possível obter y = f(x). Por exemplo, seja x² + y² = 25, então, para expressar y como uma função f(x) de x é necessário empregar duas definições de y = f(x):

​

​

x² + y² = 25 → y = f₁(x) = +(25 - x²)^1/2

​

e

y = f₂(x) = -(25 - x²)^1/2

​

Deve-se proceder desta forma, pois a definição de função diz que um dado valor x deve corresponder a um único valor de f(x), caso contrário, y = f(x) não é uma função.

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

3

© UNESP

6 Agosto 2008

Exemplo 2: Seja x² + y² = 25, seu gráfico é dado por:

y

x

0

5

5

-5

-5

y

x

0

5

5

-5

y=±(25-x²) ^1/2

y=+(25-x²) ^1/2

y

x

0

5

-5

-5

y=-(25-x²) ^1/2

y

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

f₁(x)

f₂(x)

x

4

© UNESP

6 Agosto 2008

Em alguns casos não é possível isolar a equação fornecida em y. Um exemplo é: x³ + y³ = 6xy.

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Exemplo 3: Seja x³ + y³ = 6xy, seu gráfico é dado por:

y

x

0

y

x

x³+y³=6xy

0

y

x

0

y

x

0

f₁(x)

f₂(x)

f₃(x)

5

© UNESP

6 Agosto 2008

Felizmente para encontrar a derivada não é necessário escrever y em termos de x. Pode-se usar a derivação implícita que consiste em derivar por x ambos os lados de uma equação e depois isolar y’ na equação resultante. Uma observação importante ao se derivar ambos os lados da equação é que y é uma função de x, embora não seja possível obter sua função explícita. Assim, suponha a seguinte função 3y². Para obter sua derivada, usa-se a regra da cadeia:

​

f(y) = 3y²

y = f(x)

​

Tal que:

​

d(3y²)/dx = d(f)/dx = d(f)/dy * dy/dx = (6y)*y’

= 6yy’

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

6

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Exemplo 4:

(A)Encontrar dy/dx para x² + y² = 25.

​

(B)Determinar a equação da reta tangente ao círculo

x² + y² = 25 no ponto (3,4).

Item (A): Derivação Implícita: d(x² + y²)/dx = d(25)/dx

​

d(x²)/dx + d(y²)/dx = 0

​

2x + 2y(dy/dx) = 0

​

2x + 2yy’ = 0

​

x + yy’ = 0

​

y’ = -y/x (1)

7

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (B): Para obter a equação da reta ao círculo em (3,4) deve ser observado que a inclinação da reta tangente à curva é dada pela derivada y’ da equação do círculo. Isto é, seja a eq. da reta dada por:

​

y = a x + b, então, a é dado por: a = dy/dx = usando a eq. (1) = -x/y = no ponto (3,4) = -3/4 e a = -3/4.

​

Se a reta passa em (3,4), então:

​

y = a x + b → 4 = (-3/4)*3 + b → b = 4 + 9/4 = 25/4

​

Logo, a equação da reta é dada por:

​

y = (-3/4) x + 25/4

8

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Exemplo 5:

(A)Encontrar y’ se x³ + y³ = 6xy (fólio de Descartes).

(B)Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no

ponto (3,3).

(C)Em quais pontos a reta tangente é horizontal?

Item (A): Derivação Implícita: d(x³ + y³)/dx = d(6xy)/dx

​

d(3x²)/dx + d(3y²)/dx = d(6xy)/dx

​

3x² + 3y²(dy/dx) = (6xy’) + (6y)

​

x² + y²y’ = 2xy’ + 2y

​

Isolando y’: y²y’ - 2xy’ = 2y - x²

​

y’(y² - 2x) = 2y - x² → y’ = (2y - x²)/(y² - 2x) (1)

Regra do produto

+

Regra da Cadeia

9

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (B): Para obter a equação da reta ao círculo em (3,3) deve ser observado que a inclinação da reta tangente à curva é dada pela derivada y’ da equação do círculo. Isto é, seja a eq. da reta dada por:

​

y = a x + b, então, a é dado por: a = dy/dx =

usando a eq. (1) = (2y - x²)/(y² - 2x) = no ponto (3,3) =

(2*3 - 9)/(9 – 2*3) = (6 - 9)/(9 - 6) = -3/3 = -1 e

a = -1.

​

Se a reta passa em (3,3), então:

​

y = a x + b → 3 = (-1)*3 + b → b = 3 + 3 = 6

​

Logo, a equação da reta é dada por:

​

y = -x + 6

10

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (C): A reta tangente é horizontal se y’ = 0:

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

y

x

0

y’ corresponde à inclinação

da reta tangente. Se y’ = 0,

então, a inclinação é zero e

a reta tangente é horizontal.

11

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (C): Para obter a equação da reta tangente horizontal deve-se empregar duas equações para determinar as coordenadas (x,y) por onde a reta é tangente ao Fólio de Descartes. Ou seja:

​

Passo 1: Empregar as equações:

​

y’=0 → (2y - x²)/(y² - 2x) = 0(reta tangente horizontal)

​

x³ + y³ = 6xy (reta tangente ao Fólio de Descartes)

​

Passo 2: Usando as equações anteriores, encontrar o ponto (x,y) por onde a reta passa.

​

12

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (C):

Passo 1:

(2y - x²)/(y² - 2x) = 0 → se (2y - x²) = 0→ y = x²/2 (1)

​

x³ + y³ = 6xy (2)

​

Passo 2: Aplicando (1) em (2):

​

x³ + (x²/2)³ = 6x(x²/2)

​

x³ + x⁶/8 = 3x³

​

x⁶/8 = 2x³ → x³ = 16 → x = 2^4/3 (3)

​

Aplicando (3) em (1): y = (2^4/3)²/(2) = (2^8/3)*(2^-1) = 2^5/3

​

Assim, a reta tangente é horizontal em (2^4/3, 2^5/3) = (2,5198; 3,1748).

13

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Exemplo 6: Encontrar y’’ se x⁴ + y⁴ = 16.

Derivando implicitamente em relação a x:

​

d(x⁴ + y⁴)/dx = d(16)/dx

​

d(x⁴)/dx + d(y⁴)/dx = d(16)/dx

​

4x³ + 4y³y’ = 0 → y³y’ = -x³ → y’ = -x³/y³ (1)

​

Para encontrar y’’, usa-se a regra do quociente e de que y é uma função de x:

​

A regra do quociente: (f/g)’ = (gf’ – fg’)/g²

​

Então:

y’’ = d(-x³/y³)/dx = (-y³(d(x³)/dx) + x³(d(y³)/dx))/(y³)²

= (-y³3x² + x³3y²y’)/y⁶ = (-3x²y³ + 3x³y²y’)/y⁶ (2)

14

© UNESP

6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Aplicando (1) em (2):

​

y’’ = (-3x²y³ + 3x³y²y’)/y⁶

​

= (-3x²y³ + 3x³y²(-x³/y³))/y⁶

​

= (-3x²y³ - 3x⁶y^-1)/y⁶

= (-3x²y⁴ - 3x⁶)/y⁷

​

= -3x²(y⁴ + x⁴)/y⁷

​

Mas, de acordo com a equação original x⁴ + y⁴ = 16, tal que:

​

y’’ = -3x²(16)/y⁷ = -48x²/y⁷

15

© UNESP

6 Agosto 2008

OBRIGADO !!!

FIM !!!

16

© UNESP

6 Agosto 2008