Media Pembelajaran

KOORDINAT CARTESIUS

Sumber: www.shuttertock.com

Seorang anak diminta oleh orang tuanya untuk mengantarkan paket ke rumah saudaranya di sebuah kompleks perumahan. Ia belum pernah sekalipun pergi ke tempat tersebut. Agar sampai ke tujuan, tentunya ia akan meminta petunjuk arah lokasi yang dituju kepada orang tuanya atau kepada orang lain yang mengetahui lokasi tersebut.

Berdasarkan petunjuk yang diberikan orang tuanya, maka ia akan mampu sampai ke rumah tujuan sepanjang ia mengetahui arah mata angin seperti arah utara, timur, dan barat daya. Pada bab ini, kamu akan belajar untuk mengetahui arah mata angin seperti yang dijelaskan di atas.

2.1 POSISI TITIK PADA BIDANG KOORDINAT CARTESIUS

A. Tinjauan Kontekstual

Mungkin kamu pernah mendengar istilah utara, selatan, timur, dan barat. Tahukah kamu di mana letak arah mata angin tersebut?

​

Perhatikan pembagian arah delapan mata angin berikut.

Gambaran tata letak antara rumah teman Ali, yaitu Budi (B), Cahya (C), Dita (D), Eni (E) dan Fitri (F) terhadap rumah Ali (A) sebagai acuan (patokan) masing-masing adalah seperti berikut (Gambar 2.2). Coba amati.

Rumah Ali adalah suatu tempat (dalam matematika bermakna sebagai suatu titik) yang digunakan sebagai titik acuan (patokan) untuk menyatakan letak rumah teman-temannya. Artinya, dalam standar arah mata angin, rumah Ali merupakan titik pangkal acuan letak terhadap rumah teman-temannya.

B. Tinjauan Formal

Tinjauan secara formal matematika didasarkan pada sistem koordinat Cartesius, mengacu pada nama Rene Descartes (seorang filsuf Perancis di abad 17 Masehi).

Berdasarkan tinjauan kontekstual, secara matematis (formal matematika) rumah Ali dianggap sebagai titik acuan dengan satu satuan mewakili jarak sepanjang 100 m sehingga pada standar arah mata angin letak rumah Ali dan rumah teman-temannya adalah seperti berikut. Rumah Ali (A) bersesuaian dengan titik pangkal koordinat (point of origin O), yakni A = O(0, 0).

Sesuai konvensi, koordinat Cartesius terbagi menjadi 4 kuadran seperti pada gambar di samping. Tampak bahwa pembagian kuadran seperti berikut.

• Kuadran I: sumbu-X positif dan sumbu-Y positif
• Kuadran II: sumbu-X negatif dan sumbu-Y positif
• Kuadran III: sumbu-X negatif dan sumbu-Y negatif
• Kuadran IV: sumbu-X positif dan sumbu-Y negatif

Masalah

Berdasarkan aturan sistem koordinat Cartesius yang digambarkan pada Gambar 2.3, pertanyaan berikutnya adalah jika titik acuan perhitungannya adalah titik D. Tentukan posisi relatif titik-titik lainnya serta titik D terhadap dirinya sendiri.

Pemecahan Masalah

Gambaran tentang posisi relatif titik-titik D sendiri dan titik-titik lainnya terhadap titik D dapat dilihat pada gambar di samping.

Ambil salah satu contoh, misal posisi relatif titik E terhadap titik D. Karena posisi titik E dari titik acuan D adalah ke kanan 3 satuan dan ke bawah 5 satuan, maka posisi relatif titik E terhadap/dari titik D adalah E_D(3, –5). Dengan cara yang sama, selidiki bahwa D_D(0, 0).

Berdasarkan contoh perhitungan posisi relatif titik E terhadap titik D tersebut, cobalah isi selengkapnya isian pada baris dan kolom tabel berikut (Tabel 2.1). Amati pola isiannya, kemudian cobalah untuk membuat dugaan (hipotesis) secara umum generalisasi) tentang posisi relatif titik T(x, y) terhadap titik D(4, 2). Terakhir, buatlah hipotesis secara lebih umum tentang posisi relatif sembarang titik T(x₂, y₂) terhadap suatu titik acuan D(x₁, y₁).

Pola isiannya kamu dapatkan T_D(x₂ – 4, y₂ – 2), sehingga diperoleh kesimpulan bahwa posisi relatif sembarang titik T(x₂, y₂) terhadap sembarang titik acuan D(x₁, y₁) adalah T_D(x₂ – x₁, y₂ – y₁).

Bukti

Secara formal (deduktif) matematika, pembuktiannya adalah seperti berikut. Misalkan koordinat titik T dan D berturut-turut adalah T(x₂, y₂) dan D(x₁, y₁). Untuk mempermudah pemahaman, setelah menentukan letak titik D(x₁, y₁) letakkan titik T(x₂, y₂) di sebelah kanan atas titik D seperti berikut (Gambar 2.7).

Titik D(x₁, y₁) ⇒ Dari titik pangkal O ke kanan sejauh x₁ dan ke atas sejauh y₁.

Titik T(x₂, y₂) ⇒ Dari titik pangkal O ke kanan sejauh x₂ dan ke atas sejauh y₂.

​

Berdasarkan kedua hal tersebut, diketahui bahwa posisi relatif titik T(x₂, y₂) terhadap titik D(x₁, y₁) adalah ke kanan sejauh x₂ – x₁ dan ke atas sejauh y₂ – y₁ sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jawab:

Secara gambar, posisi relatif (koordinat) titik C terhadap titik acuan A adalah C_A(–6, 3).

Lanjutan contoh soal

2.2 POSISI RELATIF SUATU TITIK TERHADAP SUATU GARIS

Masalah

Perhatikan gambar di samping. Diketahui titik A dan garis g dengan titik A berada di luar garis g. Titik-titik lainnya, yakni titik B, C, dan D terletak pada garis g. Manakah di antara ketiga ruas garis AB, AC, dan AD tersebut yang panjang ruas garisnya, yakni AB, AC, dan AD menyatakan jarak titik A ke garis g?

Garis acuan merupakan garis yang digunakan sebagai patokan atau acuan untuk memperhitungkan letak suatu titik terhadap suatu garis.

Pemecahan Masalah

Jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis penghubung terpendek (minimum) dari titik A ke garis g. Dengan kata lain, “jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas garis penghubung antara titik itu dengan titik proyeksinya pada garis yang diketahui” atau “jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas garis penghubung terpendek antara titik itu dengan garis yang diketahui”. Jika jarak yang dimaksud adalah d, maka jarak titik A dan garis g dapat digambarkan seperti gambar di samping. Dari Gambar 2.9 diketahui AA′ tegak lurus terhadap garis g. Jadi, ruas garis yang menyatakan jarak titik A ke garis g adalah AC.

Jawab:

Koordinat ketujuh titik tersebut masing-masing adalah A(3, 1), B(3, 2), C(3, 3), D(3, 4), E(3, –1), F(3, –2), dan G(3, –3).