MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

1

23.08.2024

Ayırma Prensibi

ve Gerilme Kavramı

1.2

(Bu konu 1 nolu videoda * anlatılmıştır.)

*Videolara erişim sayfası: mehmetzor.com/Dersler/Mukavemet/Ders Eğitim Videoları

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

2

23.08.2024

• Gerilmenin İngilizcesi stress’dir. Stres kelimesi ise şu an Türkçe olarak, bir olayın veya fiilin bizde oluşturduğu endişe ve tedirginlik anlamında kullanılmaktadır.

• Dış yükler sonucu üzerinde stress oluşan katı cisimlerde de belli bir sınırdan sonra çatlama, kopma, akma (kalıcı deformasyon) gibi hasarlar oluşabilir. Bu ise katı cismin malzeme cinsiyle çok yakından ilgilidir. Aynı geometride fakat farklı malzemeden imal edilen iki cismin aynı dış yüke gösterdikleri cevaplar farklı olacaktır. Bir ipi çekerek koparsak bile, aynı kalınlıkta çelik bir teli koparamayız.

• İnsandaki stres, dışarıdaki olayların baskısıyla oluşur. Yani stres dış yüklerin (olayların, baskıların) bizde oluşturduğu etkidir. Yoksa stres dış bir yük (baskı) değildir. Stres uygulanmaz, oluşur.

• Bizdeki stres belli bir sınırı aşarsa, şok, baygınlık gibi hasarlara sebep olur. Bu sınır ise kişiden kişiye değişir. İradesine sahip, sabırlı kişilerin stres sınırı yüksektir.

• İşte benzer şekilde katı cisimler için dışarıdan uygulanan fiziksel yükler, cismin içinde stres (gerilme) oluşmasına sebep olur.

1.2.1 İnsanlarda stres - Cisimlerde Gerilme

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

• Mukavemette en önemli hedefimiz farklı durumlar için gerilmeleri hesaplayabilmektir. Bunun için öncelikle ayırma prensibinin çok iyi anlaşılması gerekmektedir ki, bu anlaşılmazsa mukavemet mantığını anlamamız mümkün olmaz.

Şekil 1.2.1

Şekil 1.2.2

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3

23.08.2024

« Dış kuvvetlerin etkisine maruz bir sistem dengede ise hayali bazda da ayırdığımız her bir parçası da ayrı ayrı dengededir.» Buna ayırma prensibi denir.

Hayali olarak ayırdığımız her bir parçasının serbest cisim diyagramında, dış kuvvetlerden başka, ayırma yüzeyinden iç kuvvetler ve iç momentler de etki ettirilir. Her bir parça iç ve dış kuvvetlerin etkisiyle statik dengedir.

gerilmeler

1.2.2 Ayırma Prensibi:

Sol parça dengede:

Tüm Sistem dengede:

• İç kuvvet ve iç momentler (F_iç , M_iç ): Ayırma yüzeyinde ortaya çıkan tepkilerdir. Sistemin o kısımda dış kuvvetlere karşı cevabıdır. Kesimin sol veya sağ kısmının statik dengesinden hesaplanırlar.

gerilmeler

• Statikte, kafes sistemlerin kesim yöntemi aslında ayırma prensibinin bir uygulamasıdır. Kesilen çubuklardaki kuvvetler, iç kuvvetlerdir.

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Sağ parça dengede:

Şekil 1.2.3.a

Şekil 1.2.3.b

Şekil 1.2.3.c

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

4

23.08.2024

• Gerilme «iç kuvvet ve iç momentlerin birim alandaki etkisi» olarak tanımlanabilir.

• Gerilme kavramının anlaşılması, mukavemet konularının kavranmasında çok önemli bir temel teşkil eder.

1.2.3. Gerilme Kavramı:

• Gerilmenin Birimi N/mm² yani MegaPascal (MPa) dır. Buna göre gerilme en basit anlamda birim alan düşen iç kuvvet olarak da tanımlanabilir.

• Gerilme noktadan noktaya değişebilir. Bir noktadaki gerilmenin hesaplanabilmesi için öncelikle ayırma prensibi yardımıyla, kesitteki iç kuvvet ve iç momentlerin statik dengeden hesaplanması gerekir.
• Gerilmeyi normal ve kayma gerilmesi olarak 2 bileşene ayırabiliriz.
• Gerilme hesaplama formülleri yükleme tipine (Çeki-Bası, burulma, eğilme vb.) göre değişiklik gösterir ve herbir yükleme tipi mukavemetin farklı bir konusunu teşkil eder.

I

F_iç

I

M_iç

S_a

σ_a

τ_a

a

b

S_b

S

Bileşke gerilme

Normal gerilme

n

Kayma gerilmesi

//n

Düzlem Normali

S: f (F_iç , M_iç , geometri)

I-I kesimi alt kısım

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.4.a

Şekil 1.2.4.b

Şekil 1.2.4.c

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5

23.08.2024

Şimdiden aklımızda olsun: Gerilme hesap formüllerinde iç kuvvet veya iç moment ve kesit geometrisine bağlı değerler mutlaka yer alır. Malzeme özellikleri gerilme formüllerinde (genelde) yer almaz. Demek ki, gerilmeler malzeme cinsine bağlı değildir. Bu ise mukavemetin aslında önemli bir püf noktasıdır.

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Normal Gerilmeler

Aşağıdaki cisimdeki ayırma yüzeyinde iç momentin oluşmadığını (M_iç =0) ve sadece iç kuvvet (F_iç) oluştuğunu ve homojen dağıldığın düşünürsek, gerilmeyi birim alana düşen iç kuvvet olarak tanımlayabiliriz:

Şekil 1.2.5.a

Şekil 1.2.5.b

Şekil 1.2.5.c

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

6

23.08.2024

1.2.4. Ayırma Prensibi - Örnek

I

I

I

I

Ayakta bekleyen bir kişinin vücut ağırlığı sebebiyle farklı bölgelerinde oluşan gerilmeleri inceleyiniz. Bölgeler için hayali olarak kesimler yapıldığına, her bir kesimde sadece iç kuvvet oluştuğuna dikkat ediniz.

II

II

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

A_gövde

Şekil 1.2.6.a

Şekil 1.2.6.b

Şekil 1.2.6.c

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7

23.08.2024

• Kesimin alt veya üst kısmını incelemek sonucu değiştirmez. Yandaki şekillerde bu durum ispat edilmiştir.

I-I kesimi Üst kısmı

I-I kesimi Alt kısmı

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

A_boyun

• Yandaki şekilde I-I kesiminin alt ve üst kısımları için ayrı ayrı inceleme yapılmıştır.
• Fakat her iki kısım için boyun bölgesinde aynı F_iç-1 iç kuvvetin ve dolayısıyla aynı σ_boyun gerilme değerinin bulunduğunu fark edin.
• Bu genel bir kural olup, kesimin herhangi bir parçasının (üst veya alt; sağ veya sol) incelenmesi yeterlidir.

Şekil 1.2.6.d

Şekil 1.2.6.e

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8

23.08.2024

1.2.5 Gerilme Çeşitleri

1.2.5.1 Normal Gerilme: Düzlem normaline paralel; başka bir ifade ile düzleme dik olan gerilmeye normal gerilme denir; σ ile gösterilir.

Hayali

ayırma Yüzeyi

Üst kısım

Alt kısım

(1.1)

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

(a)

Şekil 1.2.7

(b)

(c)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

9

23.08.2024

1.2.5.2 Kayma (Kesme) Gerilmesi: Düzlem normaline dik ; başka bir ifade ile düzleme paralel olan gerilmeye kayma gerilmesi veya kesme gerilmesi denir; τ ile gösterilir.

Sağ kısım

Bu örnekte F_iç ile F arasındaki dik uzaklık farkını ihmal ettiğimizden dolayı iç moment sıfır çıkar.

(1.2)

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.8

(a)

(b)

(c)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

10

23.08.2024

1.2.5.3 Gerilme indisleri

σ veya τ gerilmelerini 2 tane indis koyarak daha ayrıntılı ve doğru tanımlarız:

x

z

y

1.İndis : i: Gerilmenin bulunduğu düzlemin normalini gösterir.

2.İndis: j :Gerilmenin doğrultusunu gösterir.

• Yandaki kübik elemanda gerilme indislerinin bu tanımlamaya uygun koyulduğu anlamaya çalışınız. Soru işareti olan gerilmeyi indisiyle birlikte tanımlayınız.

düzlem normali

gerilme doğrultusu

?

• σ normal gerilmeleri daima düzlem normali doğrultusundadır ve her iki indisi de ayndır.

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.9

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

x-y düzleminde a.b.t boyutlarında (t:kalınlık) O gibi bir noktadaki kübik diferansiyel elemanda herbir yüzeydeki kayma gerilmelerini gösterelim:…>>>

diğer düzlemler için de benzer şekilde aynı sonuçlar bulunur:

τ _{i j} = τ _{j i}

Bu elemanın statik dengede olması gerekir. Denge denklemleri kuvvetler için yazılmalıdır.

1.2.5.4 τ Kayma gerilmelerine özel bilgiler

Bunun ispatı şu şekilde yapılabilir:

a-) İndisleri aynı, indis sırası farklı kayma gerilmeleri şiddetçe birbirine eşittir.

Kuvvet = gerilme x alan

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Bu 3 denklemden

bulunur.

Gerilmeleri indisleriyle ifade edersek:

düzlem normali

gerilme doğrultusu

Şekil 1.2.11

Şekil 1.2.10

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

İpin malzemesi değişirse taşınabilecek W yükünün de değişeceği unutulmamalıdır.

1.2.6 Hasar Gerilmesi

Şekildeki ipe asılan W yükünü göz önüne alalım. Herhangi bir anda ipteki kuvvet statik dengeden Fiç = W’dir.

Alttaki tabloda ise ipin kesit alanına göre kopma anında ortaya çıkan ipteki kuvvet (F_kopma) değerleri gösterilmiştir.

Kesit büyüdükçe yani ip kalınlaştıkça daha fazla W yükünü taşıyacağını biliyoruz.

Soru: Bu tabloya göre sabit kalan bir değer var mıdır?

(1.3)

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.12

Tablo 1.2.1

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

Çekme Test Cihazı

Sünek (şekil alabilir) malzemeler için kalıcı deformasyonun (plastik bölgenin) başladığı an hasar anı olarak değerlendirilmelidir. Zira kalıcı deformasyona maruz kalan bir eleman işlevselliğini yitirecektir. Bu sebeple hasar gerilmesi:

Not: Sünek malzemelerin çeki ve basıdaki akma mukavemetleri (akma gerilmeleri) aynıdır. Gevrek malzemelerde ise bası mukavemeti çeki mukavemetinden daha fazladır (3-4 katı olabilir.)

1.2.7 Hasar Gerilmesi tespiti

(1.4)

(1.5)

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Gerilme (σ = P/A)

Şekil 1.2.14

Şekil 1.2.13

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

1.2.8. Çeki –Bası Durumları için Hasar Şartı

Sünek malzemeler için hasar şartı:

Gevrek malzemeler için hasar şartı:

(Mutlak değer içine almamızın nedeni bası durumundaki hasar şartını da kapsaması içindir. Çeki durumunda mutlak değere almaya gerek yoktur.)

Henüz kopmamış.

Kopma anı

Biraz daha

Çek !

Tamam abi

çekiyorum

Oh be! Kopardık sonunda

Niye kopardık ki şimdi bunu???

P=270N

P=270N

P=350N

P=350N

Kesit alanı : A=10mm²

halat için

Aşağıdaki halat koparma örneğini dikkatlice inceleyerek kavramları iyice anlamaya çalışınız

SONRA

I

I

I-I kesimi

I

I

Çeki yüklemesine maruz bir malzemede normal gerilme oluşur. Kuvvet arttırıldığında gerilme de artar. Kuvvet iyice arttırılırsa gerilme hasar gerilmesine ulaşır ve malzemede hasar oluşur. O halde genel anlamda hasar şartı: o andaki gerilmenin hasar gerilmesine eşit veya daha fazla olmasıdır.

(Hasar şartı).

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.15.a

Şekil 1.2.15.b

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

1.2.9 Bazı farklı sembollerle hasar şartlarını izah edelim.

Sünek malzemeler için çekideki akma gerilmesi,

Gevrek malzemeler için çekideki kopma gerilmesi

Sünek malzemeler için basıdaki akma gerilmesi,

Gevrek malzemeler için basıdaki kopma gerilmesi

yani üstteki iki eşitsizlikten en az birisi sağlanıyorsa, o noktada, sünek malzemelerde akma, gevrek malzemelerde kırılma oluşur denir.

veya

ise,

Gevrek malzemelerin basıdaki kırılma gerilmeleri, çekidekinden şiddetçe daha büyüktür.

Sünek malzemelerin çeki ve basıdaki akma gerilmeleri şiddetçe birbirine eşittir.

Bunun sebebi gevrek malzemelerin iç yapısının gözenekli olmasıdır. Malzeme içindeki gözenekler bası durumunda kapanır, yüzey alanı genişlenir ve daha fazla bası yüküne malzeme dayanabilir.

Dikkat: Bu semboller bazı kaynaklarda kullanıldığı için öğrenmekte fayda vardır.

Bu noktada;

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.16

Şekil 1.2.17

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

1.2.10 Tecrübe ile bildiğimiz bazı şeyleri şimdi daha teknik şekilde açıklayabiliriz:

Bası veya çeki durumunda oluşan gerilme:

olduğunu öğrendik.

• Aşı veya iğne olurken şırınganın ucundaki cildimize temas eden A alanı çok küçük olduğundan, küçük bir P bası kuvvetiyle bile yeterince büyük σ gerilmesi oluşur ve bu σ değeri cildimizin hasar gerilmesinden büyük olacağından, iğne cildimizi deler.

• Bir masanın veya cismin keskin köşelerinin temas alanı iğne ucu gibi çok küçük olduğundan, keskin köşelere ufak bir çarpma sonucunda bile bir anda vücudumuzun o bölgesindeki hasar gerilmesi aşılır ve önemli yaralanmalar oluşur.

• Parmaklarımızın ucu yuvarlatılmış olmasaydı, herhalde bir yere dokununca çok büyük acılar hissederdik ve elimizi tam anlamıyla kullanmazdık.
• Benzer şekilde vücudunuzdaki diğer yuvarlatmaları görerek sadece bu açıdan bile mükemmel bir tasarım olduğunuzu farkedin..

• Bu sebeple bir ürünü tasarlarken keskin köşelere radyus (yuvarlatma) vererek temas alanını büyütürüz ve anlık gerilmenin azalmasını sağlarız.

Bebekler için koruyucu aparat..

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.18

(a)

(b)

Şekil 1.2.19

Şekil 1.2.20

(c)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

1.2.11 Kesme Durumunda Hasar Şartı

Sünek malzemeler için :

Gevrek malzemeler için:

(Kayma gerilmesinin işaretinin + veya – olması mukavemet açısından önemli değildir. Burada + olarak düşünülmüştür.)

(bu eşitliğin nedeni ileride görülecek olan mohr çemberi konusundan daha iyi anlaşılacaktır.)

Hasar şartı :

E-E kesimi üst kısmı

Levhalara çeki yükü geldiğini düşünüyoruz.

Civataya gelen kuvvetler

Civata kesitindeki iç kuvvet

Civata kesitinde oluşan gerilme

(1.6)

(1.7)

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Bir örnek : iki levhayı bağlayan çelik cıvatanın hasar kontrolünü aşağıdaki adımlarla yaparız.

Şekil 1.2.21

(a)

(b)

(c)

(d)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

1.2.12 Emniyet katsayısı ve emniyet gerilmesi

(Factor of safety and allowable stress)

• Bir mekanizmanın, yapının veya makinanın belli bir emniyet katsayısına sahip olması istenir.
• Yani sistem taşıyabileceği yükün 2 veya 3 katı yük taşıyabilecek şekilde tasarlanabilir.
• Özellikle can güvenliliğinin önemli olduğu asansör gibi mekanizmalarda bu katsayının daha fazla olması istenir.
• İşte bu durumda mukavemet hesaplamaları hasar (akma veya kırılma ) gerilmesine göre değil de emniyet gerilmesine göre yapılır.
• Yapıda oluşacak maksimum gerilme emniyet gerilmesini aşmayacak şekilde boyutlar hesaplanır veya malzeme seçimi yapılır.

Emniyet şartı :

veya

Emniyet Katsayısı Kullanma Sebepleri:

• Malzeme özelliklerindeki belirsizlikler ve değişkenlikler
• Yüklemelerdeki belirsizlikler ve değişkenlikler
• Analizlerdeki hatalar (yanılmalar) ve belirsizlikler
• Tekrarlı yükleme durumları
• Hasar tipleri
• Malzeme üzerindeki bozucu etkiler ve onarım gereklilikleri
• Can ve mal güvenliği/emniyeti
• Makinenin fonksiyonelliği

(1.8)

(1.9a,b)

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.22

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

1-) Denge halindeki bir cisim veya sistemde önce statik hesaplamalarla bilinmeyen kuvvetler bulunur.

2-) Cisimdeki maksimum gerilme hesaplanır. (Hesaplama şekli ve formülleri yükleme şekline göre ve bazen geometriye göre değişir. )

1.2.13 Mukavemet Hesaplamalarında Genel Yol Haritası

3-) Maksimum gerilme sünek malzemelerde akma, gevrek malzemelerde ise kopma (kırılma) gerilmesine eşitlenir. Bu eşitlikten,

a-) (kuvvet + malzeme belli ise) minimum boyut hesabı veya

b-) (kuvvet + boyutlar belli ise ) malzeme seçimi veya

c-) (kuvvet + boyutlar + malzeme cinsi belli ise) Mukavemet (Dayanım) kontrolü yapılır.

• Bu genel yol haritasıdır. Bazı problemlerde, cisme uygulanabilecek maksimum kuvvet sorulabilir.
• Veya gerilmelerin yanı sıra şekil değiştirmeler hesaplanabilir. Emniyet katsayısı verilebilir.
• İleride görülecek örnek problemlerle bunlar zihninizde daha belirginleşecek ve mukavemetin mantığı daha netleşecektir.

• Önemli bir Püf Noktası: Tüm mukavemet konuları için, gerilme veya şekil değiştirme formüllerinde kuvvet veya moment terimlerini göreceksiniz. Bu terimlerin daima incelenen kesitteki iç kuvvet veya iç moment olduğunu unutmayınız. İç kuvvet veya iç momentler ayırma prensibi ile önceden bulunmuş olmalıdır ki, gerilmeler hesaplanabilsin.

1.2 Ayırma Prensibi ve Gerilme Kavramı

Şekil 1.2.23