Τρίγω▲α� Κεφάλαιο 3^ο�Ευκλείδεια Γεωμετρία

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με το πλέον θεμελιώδες σχήμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που είναι το τρίγωνο. Οι μαθητές έχουν διαπραγματευθεί το μεγαλύτερο μέρος του περιεχομένου στο Γυμνάσιο. Προτείνεται να δοθεί έμφαση σε κάποια νέα στοιχεία όπως:�α) Η σημασία της ισότητας των ομόλογων πλευρών στη σύγκριση τριγώνων.�β) Η διαπραγμάτευση παραδειγμάτων τριγώνων με τρία κύρια στοιχεία τους ίσα, τα οποία -τρίγωνα- δεν είναι ίσα (δυο τρίγωνα με ίσες δυο πλευρές και μια μη περιεχόμενη γωνία αντίστοιχα ίση).�γ) Ο σχεδιασμός σχημάτων με βάση τις λεκτικές διατυπώσεις των γεωμετρικών προτάσεων (ασκήσεων, θεωρημάτων) και αντίστροφα.�δ) Η διατύπωση των γεωμετρικών συλλογισμών των μαθητών.�ε) Η ισότητα τριγώνων, ως μια στρατηγική απόδειξης ισότητας ευθυγράμμων τμημάτων ή γωνιών .�στ) Ο εντοπισμός κατάλληλων τριγώνων για σύγκριση σε «σύνθετα» σχήματα.�ζ) Η σημασία της «βοηθητικής γραμμής» στην αποδεικτική διαδικασία.

Προτείνεται να διατεθούν 18 διδακτικές ώρες από τις οδηγίες διδασκαλίας του Υπουργείου Παιδείας

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

2

3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων�Ερωτήσεις

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

3

Κύρια στοιχεία τριγώνου

Περίμετρος τριγώνου και συμβολισμός

1) Οι πλευρές και οι γωνίες του τριγώνου.

2) α + β + γ = 2τ

Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου

3) Διάμεσος, διχοτόμος και ύψος

Είδη τριγώνου ως προς τις γωνίες

Είδη τριγώνου ως προς τις πλευρές

4) Οξυγώνιο, ορθογώνιο και αμβλυγώνιο

5) Σκαληνό, ισοσκελές και ισόπλευρο

Εργασία

1) Να σχεδιάσετε όλα τα είδη τριγώνων συνδυάζοντας ως προς τις πλευρές και τις γωνίες τους.

α) Πόσες είναι στο πλήθος;

β) Ποιες αντιστοιχίσεις δεν γίνονται;

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Ύψος: τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμβολίζονται αντίστοιχα με υ_α, υ_β και υ_γ. ��Σημείωση: Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία.����

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

5

Το σημείο Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ.

Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

Ερωτήσεις

1. Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο;
2. Να φέρετε τα ύψη σε όλα τα είδη τριγώνου.
3. Τα ύψη συντρέχουν; Πώς λέγεται το σημείο αυτό;
4. Το σημείο που βρίσκεται ως προς το τρίγωνο;
5. Όταν λέμε ότι το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ τότε τι εννοούμε;

Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. ��Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές α, β και γ συμβολίζονται με μ_α, μ_β και μ_γ αντίστοιχα.�

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

6

Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

Ερωτήσεις

1. Πόσες διαμέσους έχει ένα τρίγωνο;
2. Να φέρετε τις διαμέσους σε όλα τα είδη τριγώνου.
3. Οι διάμεσοι συντρέχουν; Πώς λέγεται το σημείο αυτό;
4. Το σημείο αυτό που βρίσκεται ως προς το τρίγωνο;
5. Όταν το σημείο Μ ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ τότε κατ’ ανάγκη είναι μέσο του ΒΓ;

Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. ��Οι διχοτόμοι των γωνιών A, B και Γ του τριγώνου ABΓ συμβολίζονται με δ_α, δ_β και δ_γ αντίστοιχα. ��

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

7

Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

Ερωτήσεις

1. Πόσες διχοτόμους έχει ένα τρίγωνο;
2. Να φέρετε τις διχοτόμους σε όλα τα είδη τριγώνου.
3. Οι διχοτόμοι συντρέχουν; Πώς λέγεται το σημείο αυτό;
4. Το σημείο αυτό που βρίσκεται ως προς το τρίγωνο;
5. Υπάρχουν και εξωτερικοί διχοτόμοι τριγώνου;

Ισότητα�=� Τριγώνων

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

8

Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. �

Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων: Προτάσεις που με τρία κατάλληλα πρωτεύοντα στοιχεία τριγώνου αποδεικνύουν δύο τρίγωνα ίσα

Δύο ίσα τρίγωνα σημαίνει ότι με κατάλληλη μετατόπιση, το ένα ταυτίζεται με το άλλο, άρα όλα τα στοιχεία τους είναι ίσα (πρωτεύοντα και δευτερεύοντα).

Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

9

1

3

​

2

Κριτήρια Ισότητας Ορθογωνίων Τριγώνων

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

10

1

2

Κριτήρια Ισότητας Ορθογωνίων Τριγώνων

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

11

3

4

Ισοσκελές τρίγωνο

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

12

Ιδιότητες

Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και ύψος.

H διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου, είναι διχοτόμος και ύψος. �

Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου, είναι διχοτόμος και διάμεσος. �

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές.

Η κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου ανήκει στην μεσοκάθετο της βάσης.

Σημείωση: Οι αποδείξεις να γίνουν από το μαθητή μέσα στην τμήμα.

Ισόπλευρο τρίγωνο

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

13

Ιδιότητες

Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες,�τότε είναι ισόπλευρο.

Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες.�

Τα δευτερεύοντα στοιχεία του ισόπλευρου τριγώνου ταυτίζονται από κάθε κορυφή του.

Το ισόπλευρο είναι ισοσκελές από κάθε κορυφή του.

Σημείωση: Οι αποδείξεις να γίνουν από το μαθητή μέσα στην τμήμα.

Μεσοκάθετος�Διχοτόμος

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

14

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. �

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. �

Σημείωση: Οι αποδείξεις να γίνουν από το μαθητή μέσα στην τμήμα.

Κύκλος

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

15

Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα αν, και μόνο αν, οι χορδές τους είναι ίσες �

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή

και το αντίστοιχο τόξο της. �

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Σημείωση: Οι αποδείξεις να γίνουν από το μαθητή μέσα στην τμήμα.

Βασική Άσκηση (θεωρία)

Τα ίσα τρίγωνα έχουν και τα αντίστοιχα δευτερεύοντα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα, τότε να δείξετε ότι:

α) μ_α = μ_α΄

β) υ_α = υ_α΄

β) δ_α = δ_α΄

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

16

Δραστηριότητα

1) Να βρεθεί σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές ενός τριγώνου.

2) Να βρεθεί σημείο που ισαπέχει από τις κορυφές ενός τριγώνου.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

17

Δραστηριότητα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

18

4) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχα δευτερεύοντα στοιχεία ίσα και αντιστοιχούν σε ίσες πλευρές, τότε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.

Δηλαδή, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ, Α΄Β΄Γ΄ έχουν α = α΄ και ισχύει ένα από τα παρακάτω:

α) μ_α = μ_α΄ και υ_α = υ_α΄

β) μ_α = μ_α΄ και δ_α = δ_α΄

γ) δ_α = δ_α΄ και υ_α = υ_α΄

τότε να αποδείξετε σε κάθε περίπτωση χωριστά ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.

Ασκήσεις και Εφαρμογές Σχολικού βιβλίου

• Εφαρμογή σελ. 43
• Εφαρμογή 1 και 2 σελ. 47
• Εφαρμογή 2 σελ. 53

• Ασκήσεις σελίδα 43
• Ασκήσεις σελίδα 48
• Ασκήσεις σελίδα 53 – 54

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

19

Γεωμετρικός Τόπος (γ.τ)

​

H μεσοκάθετος ενός τμήματος είναι επίσης ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. �

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

20

1

2

Ορισμός: Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. �

O κύκλος είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο.

3

4

Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ένας άλλος γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

21

Ανισοτικές σχέσεις γωνιών και πλευρών

1. Πώς θα αποδείξουμε γενικά ότι μια γωνία Β είναι μικρότερη από μια άλλη γωνία Γ;

2. Πώς θα αποδείξουμε γενικά ότι μια πλευρά β είναι μικρότερη από μια άλλη πλευρά γ;

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

22

Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

23

3.12 τριγωνική ανισότητα

Παρατηρήσεις για την

τριγωνική ανισότητα

1. Αν α < β + γ, β < α + γ και γ < α + β τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Γιατί;

2. Αν α < β + γ και α είναι η μεγαλύτερη πλευρά μεταξύ των πλευρών β και γ τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Γιατί;

Ασκήσεις & Εφαρμογές Σχολικού Βιβλίου

Εφαρμογή 1 έως 4 σελ. 61 – 62

• Ασκήσεις σελ. 63 και 64

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

24

Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

δ < ρ

25

δ = ρ

δ = OA > ρ

H xʹx δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου.

H xʹx έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο

και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι:

�Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. ��

η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία τομής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο. �

1) Τι ονομάζουμε εφαπτόμενα τμήματα;

2) Τι ορίζουμε ως διακεντρική ευθεία;

3) Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο (Ο, ρ) είναι ίσα.

Απαντήσεις

1. Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. Από το Ρ φέρονται δύο εφαπτόμενες του κύκλου. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο, τότε τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ
2. Η ευθεία ΡΟ λέγεται διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ. Δηλαδή είναι η ευθεία που ενώνει το σημείο εκτός κύκλου με το κέντρο του κύκλου.
3. Επαφίεται στον μαθητή! (εργασία)

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

26

Εφαπτόμενα τμήματα

​

Αν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου

Ο, ρ), τότε η διακεντρική ευθεία του:

​

Ιδιότητα 1^η: είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής (δηλαδή είναι μεσοκάθετος του ΑΒ).

Ιδιότητα 2^η: διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων (δηλαδή οι γωνίες Ρ₁ και Ρ₂ είναι ίσες).

Ιδιότητα 3^η: διχοτομεί τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής (δηλαδή οι γωνίες Ο₁ και Ο₂ είναι ίσες).

*Ιδιότητα 4^η: διχοτομεί το τόξο (κυρτό και μη κυρτό) που ορίζει η χορδή του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής (δηλαδή το κυρτό και μη κυρτό τόξο ΑΒ).

Απόδειξη

Εργασία για τον μαθητή

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

27

Ιδιότητες της διακεντρικής ευθείας ΡΟ

► Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία εσωτερικοί

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

28

Σχετικές θέσεις δύο άνισων κύκλων

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων και συμβολίζεται με δ.

► Εφαπτόμενοι κύκλοι εσωτερικά

► Εφαπτόμενοι κύκλοι εξωτερικά

► Τεμνόμενοι κύκλοι

► Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία εξωτερικοί

Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν και μόνο αν δ = R – ρ �

Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ = R + ρ .�

Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R – ρ < δ < R + ρ

Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρίσκεται ο ένας στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ > R + ρ �

Ασκήσεις & Εφαρμογές �Σχολικού Βιβλίου

Εφαρμογή σελ. 71

• Ασκήσεις σελ. 68, 69 και 70 – 71.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

29