DETERMINANTES

2ºBACHILLERATO

​

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. CÁLCULO DE ORDEN 2 Y 3

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

CÁLCULO DE DETERMINANTES POR ELEMENTOS DE UNA FILA

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

RANGO DE UNA MATRIZ

DEFINICIÓN

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada que asocia los posibles productos de los elementos de distinta fila y columna, sumados o restados, según un criterio de signos,

VIDEOTUTORIAL

a₁₁ · a ₂₂ y a₁₂ · a ₂₁ son los dos únicos productos de elementos de fila y columna distinta.

+

-

DETERMINANTES DE ORDEN 2

1ª) El determinante así definido puede resultar un número positivo, negativo o nulo.

2ª) El determinante tiene que ser necesariamente de una matriz cuadrada.

3ª) La razón de definir así esta nueva herramienta es su enorme utilidad, fundamentalmente la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en Geometría.

CONSIDERACIONES

Regla de Sarrus

DETERMINANTES DE ORDEN 3

VIDEOTUTORIAL

Regla de Sarrus

DETERMINANTES DE ORDEN 3

Calcular el siguiente determinante:

1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta.

|A| = |A^t|

2) Si se intercambian entre sí dos líneas (filas o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo.

Intercambiemos la primera fila por la tercera

3) Si en una matriz cuadrada hay 2 líneas iguales, su determinante es 0.

4) Si se multiplican todos los elementos de una misma línea (fila o columna) por un nº k, todo el determinante queda multiplicado por dicho número.

Multipliquemos la primera fila por 2 y veamos el resultado del nuevo determinante:

5) Si todos los elementos de una línea de una matriz son ceros, su determinante será cero

6) Si en una matriz cuadrada hay dos líneas proporcionales, su determinante es 0.

Se puede sacar factor común de la constante de proporcionalidad, quedando 2 líneas iguales.

7) Si en una matriz una de las líneas es combinación lineal de otras, su determinante es 0. (Engloba las propiedades 3, 5, 6)

8) |A · B| = |A| · |B| ( | A + B | ≠ | A | + | B | )

El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes. No ocurre así con la suma de determinantes.

Según el valor del determinante A calcular razonadamente el valor del determinante de B:

Demostrar que el determinante vale 0:

(1) Cambiamos C₃ por C ₂ + C₃

​

​

(2) Sacamos factor común a+b+c de C₃

(3) Como hay dos columnas iguales, el determinante es nulo

Sin desarrollar demostrar la identidad:

(1) Extraemos factor común; a en F₁

(3) Extraemos factor común; c en F₃

(2) Extraemos factor común; b en F₂

(4) Todos los factores sacados, los multiplicamos en C₁

Trabajemos con el primer determinante

Justifica sin desarrollar:

Sol: -8

Sabiendo que

Calcula el determinante de:

SEPTIEMBRE 2013

-3

Sol:

Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento a_ij y se escribe α_ij, al determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i y la columna j.

DEFINICIÓN

VIDEOTUTORIAL

Calcular α_{12 y} α₂₃ de la siguiente matriz

DEFINICIÓN

A la matriz del mismo orden que A formada por todos los adjuntos de los elementos de A situados en el mismo lugar se le llama matriz adjunta de A y se representa por Adj A.

Calculamos el adjunto de cada elemento

Hallar la matriz adjunta de

Así pues la matriz adjunta será:

Hallar la matriz adjunta de esta matriz:

Sol: 2, 108, -16

Sea A una matriz de orden n. Entonces, su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus adjuntos respectivos, es decir:

MÉTODO DE LAPLACE

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES

VIDEOTUTORIAL

Calculemos los adjuntos de los elementos de la primera fila

Sol: -28; 0; 83

Casa: R.P. 2 y 3

Calcular los siguientes determinantes:

Combinando la proposición este último método con el método de Gauss para hacer ceros que vimos en la unidad de matrices, podemos hacer ceros en una fila o columna de la matriz antes de desarrollar y ahorrarnos bastantes cálculos

MÉTODO DE CHÍO

Sol: -142

Calcular el siguiente determinante:

Sol: -28; 0; 83

Calcular los siguientes determinantes:

Es una extensión del método de Chío consiste en triangular la matriz utilizando la misma propiedad

EJEMPLO

Hacemos ceros por debajo de la diagonal principal

MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

Sol: -28; 0; 83

Calcular los siguientes determinantes:

Una matriz cuadrada A es inversible o regular, si y solo si su determinante es distinto de cero. Además, en tal caso, la inversa de la matriz A viene dada por la expresión:

VIDEOTUTORIAL

En primer lugar comprobamos si la matriz A tiene inversa:

Calculamos la adjunta de A:

La trasponemos:

DEFINICIÓN

Se llama rango de una matriz A al orden del mayor menor no nulo de A

Si A es una matriz de dimensión m x n, su rango es menor o igual a m y menor o igual a n.

Para calcular el rango de una matriz se comienza por los menores de mayor orden posible p. Si alguno de ellos es ≠ 0, entonces rg(A) = p. Si todos son nulos, se estudian los menores de orden p-1 y se repite el proceso.

estudiaremos primero los menores de orden 3

Calcular el rango de la siguiente matriz:

Discute el rango de las siguientes matrices en función de t:

Independiente del valor de t

Por Gauss o determinantes

JUNIO 2023

Considere las siguientes matrices:

a) Determine para qué valores del parámetro a, la matriz es regular.

Para que A sea regular, se ha de cumplir:

La inversa la calcularemos como la adjunta de la traspuesta dividida

por el determinante:

Despejemos primero la incógnita:

JULIO 2024

Multiplicaremos la primera matriz por su traspuesta y comprobaremos si el

resultado es la identidad

Esta primera matriz

si es ortogonal

Veamos la segunda:

Por tanto esta segunda matriz no es ortogonal.

b) Si A es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.

Haciendo uso de la propiedad asociativa del producto de matrices, se tiene:

JUNIO 2024

Para la segunda:

Por tanto, sólo la primera es una matriz de Hadamard.

b) Si A es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente

su determinante.