Physique 3 �Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°6 :

Systèmes soumis à une force sinusoïdale

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale

• Equation du mouvement :

​

​

• Solution de l’équation homogène :

​

​

• La solution particulière est de la forme :

​

​

• En substituant dans l’équation du mouvement, on obtient :

​

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

• La solution complète de notre équation est donc :

​

​

​

• Avec les conditions initiales habituelles, nous avons :

​

​

​

• La solution complète peut se réécrire :

​

​

​

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

• L’amplitude X de la solution particulière peut s’exprimer de la manière suivante :

​

​

​

où est la déflection statique de la masse m sous la force F₀.

​

X/δ_st s’appelle le facteur d’amplification car il est le rapport des amplitudes dynamiques et statiques du mouvement.

​

• Le rapport des amplitudes montre qu’il y’a trois type de réponses.

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

Le facteur d’ amplification dans un système non-amorti soumis à une force sinusoïdale qui montre trois types de réponses.

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

Cas n°1 : le dénominateur du rapport est positif et la réponse x_p(t) du système est en phase avec la force extérieure appliquée.

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

Cas n°2 : le dénominateur du facteur d’amplification est négatif x_p(t) et F(t) ont des signes opposés, la réponse du système a un déphasage de 180° avec la force extérieure, de plus lorsque . La réponse d’un système soumis à une force de très haute fréquence est donc nulle.

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

Cas n°3 : l’amplitude est infinie, cette condition est appelée résonance.

​

En supposant

​

​

​

​

​

​

​

en utilisant ω≈ω_n et sin εt≈ εt , on trouve

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

Cas n°3 (suite) :

montre x(t) croit indéfiniment et linéairement avec le temps

​

Réponse d’un système non-amorti soumis à une force sinusoïdale à la résonance

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

• Supposons pour simplifier notre discussion que , la réponse se réduit à

​

​

​

• Puisque ε est petit, sin εt varie lentement avec le temps, sa période est grande.
• La courbe sin ωt effectuera plusieurs cycles pendant que celle correspondant à sin(εt) en effectue un seul ; l’amplitude augmentera et s’étendra de manière continue, des battements ont donc lieu avec une période τ_b.

​

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

En général, l’équation du mouvement peut aussi s’écrire :

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​

​

​

​

​

​

​

Ainsi le mouvement peut être présenté comme la somme de deux courbes en cosinus.

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

Mouvement d’un système non-amorti soumis à une force sinusoïdale lorsque

​

Exemple 1 : Pompe supportée par un plateau

Une pompe à eau pesant 68 kg est montée au milieu d’un plateau en acier d’épaisseur e=1,3 cm, largeur ℓ=50 cm et longueur L=2,5 mètres comme le montre la figure. En fonctionnement de la pompe, le plateau subit une force harmonique F(t)=222cos(62,832t) N. Trouver l’amplitude de vibration du plateau.

Des calculs mécaniques montrent que le plateau en son milieu est assimilé à un ressort de raideur où E est le module d’Young ;

pour l’acier E=20,62x10¹⁰N/m² , I est le moment d’inertie de surface où ℓ est la largeur et e l’épaisseur du plateau.

​

​

​

L’amplitude de la réponse du plateau est données par :

​

​

​

Le signe négatif montre le déphasage de 180° entre l’excitation et la réponse.

Exemple 2 : Réponse d’un ensemble masse-ressort soumis à une force harmonique

Soit un système masse-ressort avec k=4000N/m et m=10 kg, la masse subit une force F(t)=400 cos(30t)N. Trouver la réponse totale du système avec les conditions initiales suivantes :

a- b- c-

​

Solution :

​

​

​

a-

​

b-

​

c-

​

Exemple 3 : Système masse-ressort attachés à une barre rigide en rotation

Trouver l’équation du mouvement et la réponse stable du système de la figure en rotation autour du pont O pour les valeurs suivantes : k₁=k₂=5000 N/m, a=0,25 m, b=0,5 m, ℓ=1 m, M=50 kg, m=10 kg, F₀=500 N, ω104,72 rad/s [1000 rpm (rotations par minute)]

Solution :

​

​

​

​

​

les équations de cours nous donnent :

où

Réponse d’un système amorti soumis �à une force sinusoïdale

• L’équation du mouvement est :

​

​

• La solution particulière est de forme harmonique, on la suppose de la forme :

​

​

où X et φ dénotent l’amplitude et l’angle de phase de la réponse.

​

en substituant x_p(t) dans l’équation du mouvement, on trouve :

​

Réponse d’un système amorti soumis �à une force sinusoïdale (suite)

en utilisant les relations trigonométriques :

​

​

​

en égalant les coefficients des fonctions cos ωt et sin ωt :

​

​

​

on trouve :

Réponse d’un système amorti �soumis à une force sinusoïdale (suite)

Représentations graphique et vectorielle de la force sinusoïdale extérieure

et de la réponse du système

(a) Représentation graphique b- Représentation vectorielle

Réponse d’un système amorti �soumis à une force sinusoïdale (suite)

• En opérant les changements de variables :

​

​

• Le facteur d’amplification et la phase s’écrivent :

​

​

​

Réponse d’un système amorti soumis �à une force sinusoïdale (suite)

Variation de X et de φ avec le rapport des fréquences r

Réponse d’un système amorti soumis �à une force sinusoïdale (suite)

Les observations suivantes peuvent être faites :

​

1. Pour ζ=0, il y’a discontinuité à la valeur r=1.

2. L’amortissement réduit le rapport d’amplitude quelque soit la fréquence de la force extérieure.

3. La réduction du rapport d’amplitude est très rapide aux alentours de la résonance.

4. Le rapport d’amplitude maximum a lieu quand

​

​

qui est inférieur à la fréquence naturelle du système et à la fréquence des oscillations amorties

Réponse d’un système amorti soumis �à une force sinusoïdale (suite)

5. La valeur maximale de X et sa valeur quand ω=ω_n

sont données par :

​

​

Ces équations sont importantes pour la détermination expérimentale de l’amortissement du système. Si le rapport d’amplitude maximum est mesuré, on peut trouver l’amortissement. De même, si on connaît l’amortissement, on peut estimer l’amplitude maximale de vibration.

​

6. Pour quand r=0. Pour la valeur le graphe n’a plus de

maximum. Les courbes décroissent de manière monotone avec les valeurs croissantes de r.

Réponse d’un système amorti soumis �à une force sinusoïdale (suite)

7. Pour un système non-amorti, nous retrouvons les équations développées précédemment avec φ=0 pour r<1 et φ=180° pour r>1.

​

8. L’angle de phase φ dépend des paramètres du systèmes m, α, k et de la fréquence de la force d’excitation ω. φ ne dépend pas de l’amplitude F₀ de la force d’excitation.

​

9. Quelque soit l’amortissement, l’angle de phase tend vers zéro pour r<<1, est égal à 90° pour r=1 à la résonance, et tend vers 180° pour r >>1.

​

10. En dessous de la résonance, l’angle de phase croit avec l’accroissement de l’amortissement. Au dessus de la résonance, l’angle de phase décroît avec l’accroissement de l’amortissement.

​

11. Pour 0<r<1, nous avons 0<φ<90°.

La réponse et en retard par rapport

à l’excitation. Pour r>1, 90°<φ<180°,

la réponse est en avance sur l’excitation.

Réponse d’un système amorti soumis à une force sinusoïdale, la solution complète

La solution complète est donnée par x(t)=x_h(t)+x_p(t), c’est à dire :

​

​

​

où

​

• X₀ et φ₀ sont déterminés à partir des conditions initiales et de la solution complète.

​

​

​

• X et φ ont été calculées :

​

Exemple 4 : Réponse totale d’un système

Trouver la réponse totale d’un système à un degré de liberté avec m=10 kg, α=20 N-s/m, k=4000 N/m, x₀=0,01 m et sous les conditions suivantes :

​

1. Une force extérieure F(t)=F₀cosωt agit sur le système avec F₀=100 N et ω=10 rad/s.
2. Les oscillations sont libres F(t)=0.

​

Solution :

1. A partir de données, on obtient :

​

​

Exemple 4 : Réponse totale d’un système (suite 1)

(a)

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​

​

Exemple 4 : Réponse totale d’un système (suite 2)

(b)

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​

​

​

X₀ et φ₀ dans les cas (a) et (b) sont très différents.

​

Exemple 5 : Moteur à quatre cylindres de voiture

Un moteur de voiture à quatre cylindres a pour support un système antichoc composé de trois parties, comme le montre la figure, chacune formée d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur visqueux de constante α. Le bloc d’assemblage du moteur pèse 225 kg. Si la force de déséquilibre générée par le moteur est donnée par 900 sin(πt) N, concevoir le système antichoc pour que l’amplitude des vibrations soit moins que 0,25 cm. On prendra le rapport d’amortissement :

Exemple 5 : Moteur à quatre cylindres de voiture (suite)

M = 225 kg, F(t) = 900 sin(πt) N, ζ=0,01

On va prendre X_max=0,125<0,25 cm (valeur maximale autorisée)

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​

​

​

​

ressorts en parallèle ⇒ k=12,006 × 10⁶ N/m

Exemple 6 : Amortissement d’une tige mince

Une tige mince de masse m peut être soutenue d’une des deux manières montrées sur la figure. Déterminer l’arrangement qui résultera en une réponse permanente réduite de la barre sous l’effet d’une force harmonique F(t)=F₀sinωt, appliquée au milieu de la barre. On prendra k=5000N/m, ℓ = 1m, α = 1000 N.s/m, m = 10kg, F₀=100N, ω=1000 rpm=104,72 rad/s ;

Exemple 6 : Amortissement d’une tige mince (suite)

Pour une équation du mouvement linéaire :

Nous avions

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​

Pour un système en rotation, nous avons le même type de solution.

1. On prendra autour de O : ∑M₀=0

​

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​

​

​

​

​

​

αℓ²ω ~ 10⁵ ; kℓ² ~ 5 × 10³ ; Iω² ~ 10⁴

; l’arrangement (a) est le plus désirable.

Bande passante, gain

• Pour des faibles valeurs de l’amortissement, ζ<0,05, on peut prendre

​

​

​

ce rapport est appelé « facteur de qualité » ou « coefficient de surtension » du système par analogie avec les circuits électriques.

​

• Les points R₁ et R₂ qui correspondent à une amplification de sont appelés « points de demi-puissance ». A ces points, l’amplitude maximale a diminué d’un facteur 2^1/2. Le carré de l’amplitude, donc la puissance a diminué de moitié.

Bande passante, gain (suite)

• Pour trouver les positions de R₁ et R₂ :

​

​

​

Solution :

• Pour les petites valeur de ζ :

​

​

​

​

Bande passante, gain (suite)

Courbe d’une réponse harmonique montrant les points

de demi-puissance et la bande passante

Bande passante, gain (Suite)

• La différence entre les pulsations associées aux points R₁ et R₂ est appelées bande passante du système.

​

• Pour trouver les valeurs de R₁ et R₂, on prend pour obtenir :

​

La détermination des points de demi-puissance R₁ et R₂ donc des pulsations ω₁ et ω₂ permet de trouver le coefficient de surtension Q.

​

• En général lorsque l’on injecte à l’entrée d’un système une puissance P_e et que l’on récupère une puissance P_s, on caractérise le gain par .

​

​

On utilise en général le décibel (dB) et l’on écrit comme la puissance est

proportionnelle au carré de l’amplitude, on peut écrire

​

la bande passante de la figure est

On l’appelle aussi la bande passante à 3 dB.

La notation complexe, réponse d’un système amorti avec F(t)=F₀e^jωt

• En notation complexe

​

• Dans la réalité puisque F(t) = F₀ cosωt est la partie réelle de F₀e^iωt, on prendra la partie réelle de x(t).
• On suppose x_p(t)=Xe^iωt, en substituant :

​

​

​

• En utilisant

​

​

​

• La solution permanente est :

​

Représentation vectorielle complexe d’un mouvement harmonique

Etude des oscillations par analogie électromécanique

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​

Etude des oscillations par analogie électromécanique

Pour des systèmes mécaniques et électriques amortis-forcés :

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Exemple 7 : Oscillations libre d’un circuit électrique

Soit un circuit électrique composé d’un générateur de f e m constante E, d’une résistance fixe r = 50Ω, d’un condensateur de capacité C = 1425 nF, d’une résistance variable R, d’une bobine de self L et d’un inverseur. Les bornes du condensateur sont reliées à l’entrée d’un oscilloscope.

1. Montrez que Γ=rC a la dimension d’un temps. Calculez Γ.
2. L’inverseur est fermé sur la position 1, on charge le condensateur. Quelles est par rapport à sa valeur maximale q_M, la charge q au bout d’un temps t= Γ, puis au bout de t=10 Γ ?
3. Le condensateur est ainsi chargé, on place l’inverseur sur ma position 2 après avoir réglé la résistance R de façon que sur l’écran de l’oscilloscope, la courbe se présente sous la forme d’une sinusoïdale amortie telle que donnée sur la figure. En faisant l’approximation que les périodes T_n et T_a sont de valeur pratiquement égales, déterminer à partir du graphe les valeurs de l’inductance et du décrément logarithmique δ. En déduire la valeur de R. Quelle valeur R_c et R permet d’avoir le régime critique?
4. Déterminer la constante de temps τ (pour l’amplitude). Que représente l’inverse du décrément logarithmique δ.

​

Exemple 7 : Oscillations libre d’un circuit électrique (suite)

Solution :

​

1.

​

[rI²t] et [q²/c] sont des énergies donc Γ a la dimension d’un temps :

Γ=50×1425.10^-9 ≈ 71,25μs

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​

2.

​

​

3.

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​

Exemple 7 : Oscillations libre d’un circuit électrique (suite)

Solution :

​

​

​

à partir du graphe :

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​

​

Régime critique pour

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​

4.

​

Périodes pour que l’amplitude décroit de 1/e de sa valeur initiale.

Exemple 8 : Circuit RLC série soumis à une tension sinusoïdale

Un circuit RLC en série est soumis à une tension sinusoïdale E(t)=E₀sin ωt. en faisant varier la pulsation ω, on note qu’il se produit une résonance pour la tension aux bornes de la capacité inconnue C. Sachant que : V_CMax=60V ; E₀=3V ; R=75Ω ; L=0,8 mH

​

1. Déterminez le coefficient de surtension Q
2. Evaluez la capacité C et la fréquence propre f_n du circuit
3. Donnez la bande passante Δf (à -3 dB) et ses limites f₁ et f₂
4. Donnez approximativement en dB, l’atténuation par rapport au courant I(f_n) lorsque la fréquence de la source diffère de f₀ de 4 kHz.
5. Trouvez la puissance que la source doit fournir au circuit pour y entretenir des oscillations dont l’amplitude maximale de l’intensité du courant est de I₀=30 mA.

Exemple 8 : Circuit RLC série soumis à une tension sinusoïdale (suite)

Solution : V_CMax=60V ; E₀=3V ; R=75Ω ; L=0,8 mH

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​

​

​

​

• f = f _n±(Δf)’, nous sommes dans une bande à l’intérieur de la bande à -3 DB.

​

​

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Exemple 9 : Réponse totale d’un système forcé non amorti

En utilisant MATLAB, faire le graphe de la réponse d’un système masse-ressort soumis à une force harmonique pour les données suivantes :

​

​

Solution :

​

La réponse du système est donnée par l’équation :

​

​

que l’on réécrit sous la forme :

Exemple 9 : Réponse totale d’un système forcé non amorti (suite 1)

Programme MATLAB donnant la réponse :

% Ex3.11

F0 = 100 ;

wn = 20 ;

m = 5 ;

w = 30 ;

x0 = 0.1 ;

x0_dot = 0.1;

f_0 = FO/m;

for i = 1: 101

t(i) = 2 * (i-1)/100;

x(i) = x0_dot*«in(wn*t(i))/wn + (x0 - f_0/(wn^2 – w^2)) * cos

(wn*t(i)).. + f_0/ (wn^2 - w^2)*cos(w*t(i)));

end

plot (t, x);

xlabel ( ‘t’);

ylabel (‘x(t)');

title (‘Ex3.11’)

​

​

Exemple 9 : Réponse totale d’un système forcé non amorti (suite 2)

Exemple 10 : Réponse permanente d’un système forcé �avec amortissement visqueux

Développer un programme à utilisation générale pour trouver la solution particulière d’un système avec amortissement visqueux soumis à une force harmonique F₀cosω ou F₀sinωt. utiliser le graphe de la réponse avec les données suivantes :

m=5 kg , α=20 N-s/m, k=500 N/m, F₀=250N, ω=40 rad/, n=40 et ic=0

​

Données :

xm = masse

Xc = constante d’amortissement

Xk = raideur du ressort

F0 = amplitude

Om = fréquence de la force extérieure

N = nombre de pas dans un cycle où la réponse est calculée

I c = 1 pour une fonction de la force de type cosinus ; 0 pour une fonction de la force type sinus.

​

Le programme donne les résultats suivant : et donne les graphes de

en fonction du temps.

​

Exemple 10 : Réponse permanente d’un système forcé �avec amortissement visqueux (suite 1)

Programme

Exemple 10 : Réponse permanente d’un système forcé �avec amortissement visqueux (suite 2)