1 of 19

Kalian tentu pernah melakukan perhitungan matematis dengan menggunakan kalkulator. Operasi apa sajakah yang bisa kalian lakukan? Dengan kalkulator kalian bisa melakukan operasi menjumlah, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilangan. Bahkan pada kalkulator yang lebih canggih terdapat fungsi pangkat, akar, logaritma, trigonometri, dan masih banyak lagi. Bagaimana jika yang dioperasikan adalah besaran-besaran yang tidak diketahui nilainya? Apakah permasalahan ini berkaitan dengan aljabar?

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

2 of 19

Isi Materi

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

3 of 19

Apa yang Kalian Ketahui?

Apa yang Akan Kalian Pelajari?

Kalian pernah memanfaatkan tanda kurung dalam perhitungan.

Contoh:

2 × (3 + 4) = 2 × 7

= 14

Cobalah soal berikut.

1. 3 × (5 + 7) = ... × ...

= ...

  1. 4 × (2 + 6) = ... × ...

= ...

Kalian tahu bagaimana mencari faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan.

Contoh:

FPB dari 12 dan 36 adalah 12.

Cobalah soal berikut.

1. FPB dari 45 dan 36 adalah ...

2. FPB dari 72 dan 81 adalah ...

Kalian dapat memanfaatkan sifat distributif dalam perhitungan.

2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4

= 6 + 8

= 14

Kalian dapat memanfaatkan FPB untuk menyederhanakan bentuk aljabar.

Contoh:

Sederhanakan bentuk

4x3y2z5

2x3y3z4

4x3y2z5

2x3y3z4

=

4

2

. x3

x3

. y2

y3

. z5

z4

=

2

1

. 1

1

. 1

y

. z

1

2z

y

=

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

4 of 19

Perhatikan persamaan berikut. Terdapat angka-angka dan huruf pada persamaan tersebut.

5x – 9 = 6

  • Bentuk aljabar diartikan bentuk yang di dalamnya terdapat variabel.
  • Contoh bentuk-bentuk aljabar adalah 3x + 7, x2 + 2x – 15, x – 9, dan x2 + 2x – 3.
  • Penulisan x2 adalah penyederhanaan dari x × x atau xx.
  • Angka 2 pada x2 disebut pangkat yang menyatakan berapa kali suatu nilai harus dikalikan.
  • Variabel adalah lambang atau notasi yang menyatakan suatu bilangan yang belum diketahui nilainya.
  • Konstanta adalah bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung peubah.
  • Koefisien adalah bilangan yang digunakan untuk mengalikan variabel.
  • Bentuk aljabar adalah bentuk yang di dalamnya terdapat variabel.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

5 of 19

  • Suku adalah suatu bilangan atau satu/lebih variabel atau gabungan antara bilangan dan variabel yang dikalikan bersama.
  • Suku sejenis adalah suku yang mempunyai variabel yang sama dengan pangkat yang sama.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Suku-Suku Sejenis

Pada operasi penjumlahan dapat digunakan sifat-sifat sebagai berikut.

1) Sifat komutatif: a + b = b + a

2) Sifat asosiatif: a + (b + c) = (a + b) + c

3) Sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan

ab + ac = a(b + c)

ab – ac = a(b – c)

4) Mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan (invers) b pada a. Dengan demikian,

a – b = a + (–b)

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

6 of 19

b. Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

1) ab = ba

2) p(a + b) = pa + pb

3) p(a – b) = pa – pb

4) p(a + b – c) = pa + pb – pc

5) (a + b – c)p = ap + bp – cp

6)

​

a – b + c + d

p

=

a

p

–

+

b

p

+

c

p

d

p

dengan p ≠ 0

Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian bentuk aljabar, kita dapat menggunakan sifat-sifat berikut.

7) xyz : p = x .

. z = xy .

dengan p ≠ 0

y

p

z

p

c. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Cobalah ingat kembali bentuk an = a × a × ... × a.

n faktor

Bentuk tersebut juga berlaku pada bentuk aljabar.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

7 of 19

Contoh pecahan dalam bentuk aljabar.

x

x2 – 9

x + 3

x2 – 4x

x2 – 16

x3 + 1

KPK dan FPB dari dua bentuk aljabar suku satu dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menentukan KPK dan FPB dua bilangan bulat.

Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut: 16a2b2c dan 20b2c2d

Penyelesaian:

16a2b2c = 24 × a2 × b2 × c

20b2c2d = 22 × 5 × b2 × c2 × d

KPK dari 16a2b2c dan 20b2c2d adalah

24 × 5 × a2 × b2 × c2 × d = 80a2b2c2d.

FPB dari 16a2b2c dan 20b2c2d adalah 22 × b2 × c = 4b2c.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

8 of 19

a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Hasil operasi penjumlahan atau pengurangan pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.

b. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

Hasil perkalian dua pecahan bentuk aljabar diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Untuk pembagian dua pecahan bentuk aljabar, berlaku membagi dengan suatu pecahan sama artinya mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

9 of 19

Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar, dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan semula dengan faktor persekutuan terbesar (FPB)-nya.

Sederhanakan bentuk aljabar

Penyelesaian:

6x2y3z4 = 2 × 3 × x2 × y3 × z4

2x2yz6 = 2 × x2 × y × z6

FPB dari 6x2y3z4 dan 2x2yz6 adalah 2 × x2 × y × z4 = 2x2yz4.

6x2y3z4

2x2yz6

6x2y3z4 : 2x2yz4

2x2yz6 : 2x2yz4

=

=

3y2

z2

Jadi, bentuk sederhana dari

6x2y3z4

2x2yz6

adalah

3y2

z2

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

10 of 19

Pecahan bersusun adalah pecahan yang pembilang atau penyebutnya masih berbentuk pecahan. Misalnya,

Pecahan tidak berubah nilainya jika pembilang dan penyebutnya masing-masing dikalikan dengan sembarang bilangan yang sama, misalnya m.

Langkah-langkah untuk menyederhanakan pecahan bersusun adalah sebagai berikut:

a. mengalikan pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan m, di mana m adalah KPK dari penyebut pecahan dari pembilang dan penyebut pecahan dari penyebut pecahan bersusun;

b. dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, pemfaktoran (jika mungkin) dilakukan penyederhanaan.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

11 of 19

Untuk setiap p, q, dan r bilangan real maka berlaku hukum distributif.

p(q + r) = pq + pr.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

12 of 19

Tentukan nilai berikut jika p = 3, q = –2, dan r = 7!

a. 5(p + 2q + r)

b. 6(p + q – 2r)

Penyelesaian:

a. 5(p + 2q + r) = 5(3 + 2 × (–2) + 7)

= 5(3 – 4 + 7)

= 15 – 20 + 35

= 30

b. 6(p + q – 2r) = 6(3 – 2 – 2 × 7)

= 6(3 – 2 – 14)

= 18 – 12 – 84

= –78

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

13 of 19

Uraikan bentuk aljabar (3x – 5)(2y + 3)!

Penyelesaian:

(3x – 5)(2y + 3) = 3x × 2y – 5 × 2y + 3x × 3 – 5 × 3

= 6xy – 10y + 9x – 15

Tentukan nilai (3p + 6)(3p – 6)!

Penyelesaian:

(3p + 6)(3p – 6) = (3p)2 – 62

= 9p2 – 36

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

14 of 19

Uraikan bentuk (5x + 6)2!

Penyelesaian:

(5x + 6)2 = (5x)2 + 2 × 5x × 6 + 62

= 25x2 + 60x + 36

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

15 of 19

  • Memfaktorkan bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk aljabar sebagai hasil kali dari beberapa faktor.
  • Suatu suku dua atau suku banyak dapat difaktorkan apabila suku-suku tersebut memiliki faktor persekutuan.
  • Dalam memfaktorkan, rumus-rumus perkalian istimewa sangat bermanfaat.
  • Rumus-rumus itu sangat membantu dalam mencari hasil kali atau faktor-faktor.
  • Untuk melakukan faktorisasi bentuk aljabar monomial, kalian bisa memfaktorkan berdasarkan faktor prima dari koefisien dan variabel.
  • Untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax + ay, kalian harus menentukan faktor persekutuan kedua suku, ax dan ay, yaitu a.

ax + ay = a • x + a • y

= a(x + y)

Dalam bentuk perkalian seperti ini, a dan (x + y) disebut faktor dari ax + ay.

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

16 of 19

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut!

a. x2 – 1 c. 2p4 – 32

b. 36x2 – 4y2 d. m4 – m2n2

Penyelesaian:

a. x2 – 1 = x2 – 12 = (x + 1)(x – 1)

b. 36x2 – 4y2 = (6x)2 – (2y)2 = (6x + 2y)(6x – 2y)

c. 2p4 – 32 = 2(p4 – 16) = 2((p2) – 42) = 2(p + 4)(p – 4)

d. m4 – m2n2 = m2(m2– n2) = m2(m + n)(m – n)

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

17 of 19

x2 + 2xy + y2 = (x + y)(x + y) = (x + y)2

x2 – 2xy + y2 = (x – y)(x – y) = (x – y)2

Tentukan pemfaktoran dari

a. x2+ 8xy + 16y2;

b. x2 – 10x + 25!

Penyelesaian:

a. x2 + 8xy + 16y2 = x2 + 4xy + 4xy + 16y2

= (x2 + 4xy) + (4xy + 16y2)

= x(x + 4y) + 4y(x + 4y)

= (x + 4y)(x + 4y)

  1. x2 – 10x + 25 = x2 – 5x – 5x + 25

= (x2 – 5x) – (5x – 25)

= x(x – 5) – 5(x – 5)

= (x – 5)(x – 5)

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

18 of 19

Untuk dapat menyelesaikan pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, perhatikan langkah-langkah berikut.

Misalkan bentuk kuadrat tersebut dapat difaktorkan ke dalam bentuk

x2 + bx + c = (x + p)(x + q)

= x (x + q) + p(x + q)

= x2 + qx + px + pq

= x2 + (q + p)x + pq

= x2 + (p + q)x + pq

sehingga

x2 + bx + c = x2 + (p + q)x + pq

Dari penjabaran di atas, diperoleh sebagai berikut.

x2 + bx + c = x2 + (p + q)x + pq

dengan

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT

19 of 19

Misalkan bentuk kuadrat ax2 + bx + c dapat difaktorkan ke dalam bentuk

​

ax2 + bx + c =

a2x2 + abx + ac = (ax + p)(ax + q)

= ax(ax + q) + p(ax + q)

= a2x2 + aqx + apx + pq

= a2x2 + (q + p)ax + pq

= a2x2 + (p + q)ax + pq

sehingga a2x2 + abx + ac = a2x2 + (p + q)ax + pq

Dari penjabaran di atas, diperoleh sebagai berikut.

ax2 + bx + c = ax2 + (p + q)x + pq

dengan

JUDUL

ISI MATERI

PREV

NEXT