TEMA 6
CINEMÁTICA
Primera Parte
La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen
¿QUÉ ES LA CINEMÁTICA?
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Decimos que un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar.
Para saber si un cuerpo se encuentra en movimiento, es necesario fijar su posición en un instante determinado respecto al P.R.. Si su posición varía con el tiempo, decimos que, respecto a ese punto, el objeto está en movimiento.
La localización de un punto en el espacio respecto de otro punto que tomamos como referencia (P.R.) recibe el nombre de posición.
¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO?
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EL OBJETO QUE SE MUEVE: UN PUNTO MATERIAL
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DEL MOVIMIENTO
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EL SISTEMA DE REFERENCIA
TRAYECTORIA DESCRITA POR UN MÓVIL
A
B
C
Para simplificar el estudio del movimiento prescindiremos de todos los componentes del cuerpo y de sus dimensiones y lo trataremos como si fuera un punto material.
EL OBJETO QUE SE MUEVE: UN PUNTO MATERIAL
A
Para determinar la posición de un punto en cualquier instante es necesario fijar otro punto en el espacio como referencia, es decir, el punto de referencia (P.R.)
EL SISTEMA DE REFERENCIA
B
EJEMPLO
Caso 1
Tomamos como P.R. el origen del eje x:
El objeto A se encuentra a 2 m del P.R. en la parte derecha o positiva
Caso 2
Tomamos como P.R. el semáforo
El objeto A se encuentra a 4 m del P.R. en la parte izquierda o negativa
¡Observa que además es necesario establecer un criterio de signos!
Sistema cartesiano de referencia
En el espacio
En el plano
Este sistema está formado por un punto en el espacio y tres ejes concurrentes
El punto P(x,y,z) estará en reposo respecto a O si sus coordenadas permanecen constantes con el tiempo. Cuando el punto P se mueve, sus coordenadas van tomando distintos valores con el tiempo.
TRAYECTORIA DESCRITA POR EL MÓVIL
Ejemplos: rastro que deja un caracol, un avión,…
C
La trayectoria es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio
Las magnitudes necesarias para el estudio del movimiento pueden ser:
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
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Conocimientos Previos
Para ser definidas sólo necesitamos conocer su valor numérico y la unidad correspondiente
Ejemplo: El autobús recorrió 72 Km en 55 minutos
Se representan por vectores (segmentos orientados)
Para ser correctamente definidas necesitamos conocer su:
Elementos de un vector
PUNTO DE APLICACIÓN
DIRECCIÓN
SENTIDO
MÓDULO
VECTOR DE POSICIÓN
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
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ESPACIO RECORRIDO
VELOCIDAD
A
C
D
ACELERACIÓN
E
VECTOR DESPLAZAMIENTO
B
VECTOR DE POSICIÓN
A
Existen dos formas de localizar un punto (P) en el espacio:
origen del S.R. con el punto P. El origen de este vector
se halla siempre en el origen de coordenadas y su
extremo coincide en cada instante con la posición
del punto móvil.
VECTOR DE POSICIÓN
0
y
z
x
j
k
P(x,y,z)
i
r
Ejemplos
En una dimensión
En el plano
x
P(3,0,0)
x
y
P(3,2,0)
Donde son vectores
unitarios que tienen la dirección
de los ejes , x, y, z, respectivamente
y sentidos positivos
El módulo del vector de posición se calcula
Vector de posición
Módulo o valor
numérico
Si en un instante determinado un móvil se encuentra en la posición Po (xo, yo, zo) y al cabo de cierto tiempo su posición es P1 (x1, y1, z1) diremos que el móvil se ha desplazado desde el punto Po al P1. Este cambio de posición viene definido por el vector desplazamiento,
VECTOR DESPLAZAMIENTO
A
z
o
y
Po(xo,yo,zo)
x
P1(x1,y1,z1)
El vector desplazamiento es un vector que tiene su origen en la posición inicial del móvil y su extremo en la posición final.
El vector desplazamiento es la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial, o, lo que es lo mismo el incremento del vector de posición.
Observa que el vector de desplazamiento sólo interviene en las posiciones inicial y final del móvil, es independiente de la trayectoria seguida para pasar de una posición a otra.
El módulo del vector desplazamiento proporciona la distancia que el objeto se desplaza en línea recta. En general esa distancia no coincide con la distancia recorrida por el cuerpo, a no ser que lleve movimiento rectilíneo y que no varíe de sentido
ESPACIO RECORRIDO
C
TRAYECTORIA
ESPACIO RECORRIDO
P1
P2
VECTOR DESPLAZAMIENTO
VELOCIDAD
D
Para determinar el movimiento de una partícula es necesario conocer como varía su posición en el transcurso del tiempo. La velocidad es la magnitud que relaciona el desplazamiento con el tiempo. La velocidad es una magnitud vectorial, primero estudiaremos el concepto de velocidad media
Suponemos que la posición del objeto en el instante inicial (to) viene determinada por el vector
, y en instante t, ocupa la posición determinada por el vector , así tenemos que la velocidad media es:
VECTOR VELOCIDAD MEDIA
z
o
y
to
x
t
Para calcular la velocidad con la que se mueve el objeto en cualquier instante, podemos ir reduciendo el intervalo de tiempo considerado en el cálculo de la velocidad media hasta conseguir que sea prácticamente nulo.
VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA
y
x
z
Así observamos que:
Matemáticamente, el proceso anterior es el siguiente:
La velocidad instantánea es el valor al que tiende la velocidad media al ir aproximando a cero el intervalo de tiempo
Este proceso es lo que se llama cálculo de la derivada del vector de posición respecto del tiempo
Si conocemos la ecuación de posición podemos obtener con facilidad la velocidad en cada instante derivando respecto del tiempo:
Vector de posición
Derivamos respecto
del tiempo
Obtenemos la
Velocidad Instantánea
El Módulo de la
velocidad instantánea
o rapidez
RESUMEN DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA
FUNCIÓN | DERIVADA DE LA FUNCIÓN |
| |
| |
POPIEDADES DE LA DERIVADA | |
Derivada de la suma de dos funciones | |
Derivada del producto de dos funciones | |
Algo básico para que puedas derivar
ACELERACIÓN
E
La aceleración es la variación de la velocidad con el tiempo. Como la velocidad es un magnitud vectorial puede variar en módulo (aumentando o disminuyendo), sentido y en dirección.
Ejemplos de movimientos en los que hay aceleración
Caso 1: Velocidad cambia de sentido
Un coche se mueve con una velocidad de 30 km/h acelera hasta alcanzar una velocidad de 100 km/h
Caso 2: El módulo de la Velocidad aumenta
Lanzamos una pelota horizontalmente con una velocidad de 10 m/s sobre una pared. La pelota rebota con la misma velocidad
Vo=30 km/h
Vf=100 km/h
Caso 3: El módulo de la velocidad disminuye
Un coche que se mueve con una velocidad de 50 km/h frena ante un obstáculo hasta pararse
Caso 4: La dirección de la velocidad cambia constantemente
Un coche toma una curva con rapidez constante de 45 km/h
ACELERACIÓN MEDIA
La velocidad de un móvil no pueden pasar instantáneamente de un valor a otro, siempre cambia gradualmente a lo largo del tiempo. El intervalo de tiempo puede ser largo o corto, es decir el cambio de la velocidad puede ser lento o brusco.
La aceleración informa cómo varía la velocidad con relación al tiempo (cambio brusco o lento de la velocidad).
En el S.I. el módulo de la aceleración media se expresa en metros por segundo en cada segundo (m/s2).
La aceleración media es:
Ejemplo:
Como el incremento del tiempo es un escalar siempre positivo, la aceleración media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el incremento de velocidad
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Si el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño, hablamos de aceleración instantánea.
La expresión anterior se corresponde con la derivada del vector velocidad con respecto del tiempo:
En forma desarrollada:
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
La aceleración es la magnitud que mide la variación del vector velocidad por unidad de tiempo, esta variación puede ser debida a:
Sabemos que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria. Por tanto, en cada punto se conoce bien su dirección. Pero ¿cuál es la dirección de la aceleración instantánea? ¿Es tangente a la trayectoria?
Dirección de la velocidad instantánea
Como el incremento del tiempo es un escalar siempre positivo, la aceleración media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el incremento de velocidad
La variación de velocidad se obtiene gráficamente uniendo los extremos de
Las velocidades inicial y final
Si en lugar de utilizar las coordenada cartesianas, elegimos un sistema de referencia ligado a la propia trayectoria podemos facilitar el estudio del movimiento.
Este nuevo sistema de referencia lo llamamos “Sistema de referencia intrínseco a la trayectoria” y está formado por un punto de la trayectoria y dos vectores unitarios , uno con la dirección tangente a la trayectoria y otro con la dirección normal o perpendicular a la tangente en ese punto.
Dirección perpendicular
Dirección tangente
Sistema de referencia
intrínseco a la trayectoria
Relación entre la aceleración total y las dos componentes : aceleración tangencial y normal
Suponemos un móvil puntual que se desplaza en un instante determinado con una velocidad
. Este vector puede expresarse como el producto de su módulo por un vector unitario en la dirección y sentido de la velocidad, (por tanto, tangente a la trayectoria y sentido del movimiento), al que llamaremos
Por tanto la aceleración instantánea será:
Aceleración
tangencial
El segundo sumando representa la variación de la dirección de la velocidad y es la componente que llamamos aceleración normal.
El primer sumando representa la variación de la rapidez o módulo de la velocidad y es por tanto la componente que llamamos aceleración tangencial
Así tenemos:
Aceleración
normal
Módulo :
La aceleración tangencial at , mide el cambios en el módulo de la velocidad, es un vector con las siguientes características
Sentido: el mismo que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta y contrario al movimiento si el módulo de la velocidad disminuye.
Dirección: tangente a la trayectoria en todo punto, coincide la dirección del vector velocidad).
La aceleración normal o centrípeta, an , mide el cambio en la dirección de la velocidad, aparece en movimientos curvilíneos, las características del vector aceleración normal son:
Módulo , depende del radio y de la rapidez del movimiento
Dirección, radial (perpendicular a la tangente a la trayectoria )
Sentido, siempre hacia el centro de la curvatura
Como las dos aceleraciones son perpendiculares entre sí, su composición vectorial permite obtener la aceleración total:
El módulo de la aceleración será: