�Université Sultan Moulay Slimane Année universitaire 2020/2021�Département de Physique�FST Béni-Mellal

Module :

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ELECTRICITE

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BCG –Section B

(Semestre 1)

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Pr. Saadia BENTACHFINE

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Université Sultan Moulay Slimane Année universitaire 2020/2021�Département de Physique�FST Béni-Mellal

Chapitre 1 : �ANALYSE VECTORIELLE

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I. GRANDEUR SCALAIRE ET GRANDEUR VECTORIELLE.

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.

III. CIRCULATION D’UN CHAMP VECTORIEL.

IV. FLUX D’UN CHAMP VECTORIEL.

V. THEOREME DE STOCKES.

VI. THEOREME DE GREEN-OSTROGRADSKI.

�INTRODUCTION :�

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les grandeurs scalaires et vectorielles. Elle est très utilisée en physique.

Objectif :

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• Différence entre les grandeurs scalaires et les grandeurs vectorielles,

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• Nécessité d’utiliser un vecteur pour modéliser certaines grandeurs,

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• Différentes opérations entre vecteur et scalaire.

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I. GRANDEUR SCALAIRE ET GRANDEUR VECTORIELLE.�

Les grandeurs physiques peuvent être de nature scalaire ou vectorielle. 

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• Grandeurs scalaires :

On appelle grandeur scalaire une grandeur physique qui peut se résumer à un simple nombre lié à une unité de mesure.

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Exemple: le temps, la masse, la longueur, la température, l'énergie,...

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• Grandeurs vectorielles :

 Une grandeur vectorielle est une grandeur physique qui ne peut pas se résumer à une seule valeur. On parle alors de "Vecteur".

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 Exemple: la force, la vitesse, l’accélération, la quantité de mouvement ou certains champs (électrique, magnétique…).

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•   Vecteurs  :

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Un vecteur est segment [MN] de droite, ayant une origine M et une extrémité N. On le note symboliquement par et on le représente graphiquement par une flèche.

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•  Origine (point d’application) : M
• Direction : la droite (Δ).
• Sens : de M vers N.
• Norme (module) :

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•   Opérations sur les vecteurs  :

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• Composantes d’un vecteur :

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• Dans une base orthonormée directe

On montre que tout vecteur se décompose de manière unique sous la forme :

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Les réels x, y et z sont les composantes de

Il existe deux représentations pour un vecteur :

NB : Base directe si :

•   Opérations sur les vecteurs  :

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• Addition vectorielle :

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•   Opérations sur les vecteurs  :

​

• Addition vectorielle :

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Propriétés :

• Multiplication vectorielle :

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•   Opérations sur les vecteurs  :

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​

• Multiplication vectorielle :

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Propriétés :

• Egalité de vecteurs :

•   Opérations sur les vecteurs  :

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• Produit scalaire :

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•   Opérations sur les vecteurs  :

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• Produit vectoriel :

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•   Opérations sur les vecteurs  :

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• Produit vectoriel :

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Méthode de calcul du produit vectoriel

•   Opérations sur les vecteurs  :

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• Produit mixte :

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II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

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• Coordonnées cartésiennes :

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​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cartésiennes :

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​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cartésiennes :

• Déplacement élémentaire :

​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cartésiennes :

• Surface élémentaire :

​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cartésiennes :

• Volume élémentaire :

​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cylindriques :

• Définition :

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• Coordonnées cylindriques :

• Coordonnées cylindriques :

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cylindriques :

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cylindriques :

• Déplacement élémentaire :

​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées cylindriques :

• Surface élémentaire :

​

• Volume élémentaire :

​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées sphériques :

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées sphériques :

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées sphériques :

Dans les plans (zOm) et (xOy) on a :

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées sphériques :

Les vecteurs unitaires et orthogonaux entre eux ont pour expressions :

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées sphériques :

• Déplacement élémentaire :

​

II. SYSTEMES DE COORDONNEES.�

• Coordonnées sphériques :

• Surface élémentaire :

​

• Volume élémentaire :

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III. OPERATEURS DIFFERENTIELS.

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La plupart des phénomènes physiques sont décrits par des équations différentielles qui impliquent des opérateurs différentielles à savoir : le gradient, la divergence, le rotationnel et le Laplacien. Ces opérateurs sont des combinaisons de dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’espace. Nous allons établir leurs expressions dans divers systèmes de coordonnées.

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• Divergence :

• Rotationnel :

• Laplacien

• Gradient :

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• Expressions en systèmes de coordonnées :

• Relations utiles entre opérateurs :

IV. CIRCULATION D’UN CHAMP VECTORIEL  :

V. FLUX D’UN CHAMP VECTORIEL :

V. THEOREME DE STOCKES (DU ROTATIONNEL) :

VI. THEOREME DE GREEN-OSTROGRADSKI (DE LA DIVERGENCE) :

Résumé :

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• Propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel.

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• Systèmes de coordonnées

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• Relations entre coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.

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• Opérateurs différentiels.

Systèmes de coordonnées, déplacement, surface et volume élémentaires.

Relations entre coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.

Opérateurs différentiels