Многогранники
Параллелепипед
Составные многогранники
Параллелепипед
Площадь поверхности S = 2(а1а2+а2а3+а3а1)
Объем параллелепипеда V = а1а2а3
а1
а2
а3
Задачи
1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
2
6
?
Решение: V=abc
a=2,
b=6,
c=?
c=V/(ab)
c=48/12
c=4
2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Решение: объем куба равен
объему параллелепипеда
Значит, ребро куба
Ответ: 6.
3.Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.
Решение.
Объем параллелепипеда равен
Отсюда найдем третье ребро:
Длина диагонали параллелепипеда равна
Ответ: 7.
Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его объем.
Решение.
Единичная сфера – это сфера с радиусом r=1 и с диаметром d=2r=2. Так как прямоугольный параллелепипед описан вокруг сферы, то он переходит в куб, с длиной стороны, равной диаметру сферы, то есть a=2. Объем куба равен
Ответ: 8
4.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).�
Решение. Находим объем параллелепипеда
1) V1= 2·4·5 =40
2) V2 = 2·2·1 = 4
3) V = 40 – 4 = 36
5.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).�
Решение. Находим объем параллелепипеда
1) V1= 4·3·3 =36
2) V2 = 2·1·1 = 2
3) V = 36 – 2 = 34
6.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).�
Решение. Находим объем параллелепипедов
1) V1= 4·5·3 =60
2) V2 = 2·3·3 = 18
3) V = 60 + 18 = 78
7.Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Решение.
Количество кубов 6, плюс пространство внутри креста в форме единичного куба
Значит V = 7·1 = 7
Ответ: 7
Площадь поверхности
8.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 2 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 — передней грани маленького параллелепипеда, из лишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов:
Ответ: 96.
9.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей параллелепипедов со сторонами 2, 3, 3 и 5, 4,3 уменьшенной на удвоенную площадь
прямоугольника со сторонами 3, 2:
Ответ: 124.
10.Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Пояснение. Поверхности креста составлена из поверхностей шести кубов, у каждого из которых отсутствует одна грань. Тем самым, поверхность креста состоит из 30 единичных квадратов, поэтому ее площадь равна 30.
11.Найти площадь поверхности детали
Площадь поверхности детали – есть площадь поверхности многогранника со сторонами 6, 5, 5 за вычетом площади двух «боковых прямоугольников со сторонами 3, 2 и прибавления 2 площадей «верхнего» и «нижнего» прямоугольников со сторонами 2, 5
Объем детали
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Для того чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
V=20x20x20
Ответ 8000