Το Τρίγωνο του Πασκάλ

Εργασία: Δέσποινα Σηφάκη

Ευδοκία Στάθη

• Στα μαθηματικά το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μια τριγωνική γεωμετρική διάταξη των διωνυμικών συντελεστών. Ονομάστηκε έτσι προς τιμή του μαθηματικού Μπλέζ Πασκάλ στο μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου, παρόλο που άλλοι μαθηματικοί το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, την Περσία, την Κίνα και την Ιταλία.

​

​

​

​

​

​

Κατασκευή τριγώνου

​

Μια απλή κατασκευή του τριγώνου γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Στην σειρά 0 γράφεται μόνο ο αριθμός 1. Μετά, κάθε αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται από πάνω του. Ο πρώτος και ο τελευταίος αριθμός κάθε σειράς είναι το 1.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Παρατηρούμε τα αναπτύγματα των δυνάμεων του (α+β).�

Βλέπουμε ότι οι συντελεστές κάθε αναπτύγματος σχηματίζουν την αντίστοιχη γραμμή του τριγώνου του Πασκάλ.

Δυνάμεις του 2

• Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι ίσο με μια δύναμη του 2.

Άλλες Ιδιότητες…

​

​

​

Δυνάμεις του 11

• Εκτός από τις δυνάμεις του 2, μπορούμε να διακρίνουμε και τις δυνάμεις του 11 στο τρίγωνο του Πασκάλ. Βλέπουμε δηλαδή πως αν διαβάσουμε τους αριθμούς των πέντε πρώτων γραμμών σαν ψηφία ενός ενιαίου αριθμού , ότι σχηματίζονται οι πέντε πρώτες δυνάμεις του 11. Στις επόμενες γραμμές, συνεχίζουμε να βλέπουμε τις δυνάμεις του 11 αν «απλοποιήσουμε» την κάθε γραμμή.

​

• Είναι δηλαδή:

11^ο =1 11⁵ = 161051

11¹= 11 11⁶ = 1771561

11² = 121 11⁷ = 19487171

11³ = 1331

11⁴ = 14641

​

• Οι αριθμοί που απέχουν την ίδια απόσταση από τα άκρα είναι ίσοι άρα υπάρχει συμμετρία:

1

​

1 1

​

1 2 1

​

1 3 3 1

​

1 4 6 4 1

​

1 5 10 10 5 1

​

1 6 15 20 15 6 1

​

1 7 21 35 35 21 7 1

​

1 8 28 56 70 56 28 8 1

​

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

​

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

​

Άξονας συμμετρίας

• Οι αριθμοί 1,3,6,10,15,…. λέγονται τριγωνικοί, διότι μπορούν να παρασταθούν σαν τρίγωνα (θυμίζοντας μπάλες μπιλιάρδου)

1

3

6

10

• Προκειμένου να βρούμε κι άλλους τριγωνικούς αριθμούς, πάμε στην τρίτη διαγώνιο του τριγώνου

• Για να βρούμε το άθροισμα των αριθμών μιας διαγωνίου, αρχίζοντας από το 1 μέχρι κάποιον αριθμό, απλά πρέπει να κοιτάξουμε τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς κάτω και δεξιά (όπως κοιτάμε) από τον τελευταίο αριθμό

• Οι αριθμοί 1,1,2,3,5,8,13,21..., είναι όροι μιας ακολουθίας (γνωστή με το όνομα Fibonacci) . Οι δύο πρώτοι όροι είναι ίσοι με 1 και 1. Κάθε επόμενος όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Η ακολουθία Fibonacci «κρύβεται» στο τρίγωνο του Πασκάλ.

Πληροφορίες για τον Πασκάλ

1. Ήταν Γάλλος μαθηματικός, φυσικός, συγγραφέας και φιλόσοφος.
2. Έζησε από το 1623-1662
3. Για περίπου 3 χρόνια εργάστηκε για την κατασκευή μιας αριθμομηχανής που μπορούσε να κάνει πρόσθεση και αφαίρεση, χωρίς να έχει όμως μεγάλες πωλήσεις
4. Το 1647 ανακάλυψε την Αρχή του Πασκάλ και τη χρήση του βαρομέτρου για τη μέτρηση του υψόμετρου.
5. Στα τελευταία του χρόνια, φαίνεται να μειώθηκε το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά και εστίασε περισσότερο στην προσοχή του σε συγγραφή θρησκευτικών συγγραμμάτων.
6. Από τα πιο σημαντικά του έργα είναι το τρίγωνο του Πασκάλ ή αριθμητικό τρίγωνο

Τέλος