Стереометрия

Многогранники. Куб

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а концы рёбер — вершинами многогранника.

тетраэдр, октаэдр, икосаэдр,

гексаэдр (куб), додекаэдр

​

Куб

Куб или правильный гекса́эдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Куб имеет 6 граней, 8 вершин, 12 ребер.

​

Основные формулы

Площадь грани куба с ребром а:

S_гр=a²

Площадь всей поверхности куба с ребром а: S_гр=6⋅a²

Объем куба вычисляется по формуле

V_к= а⋅S_гр= a³

Малая диагональ куба d=

Большая диагональ куба D=

​

Задачи

1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

18/6=3; а=√3; D= а√3=√3√3=3

2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. a=2; S=6a²=24

3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

6а²=S ; 6(а+1)²=S+54; 6а²+12а+6= S+54; 12а+6=54; 2а+1=9; Ответ=4

4. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

V=(3a)³ = 3³ а³=27а³ Ответ: 27

5. Объем куба равен 24√3. Найдите его диагональ.

а³=24√3;

24√3 = 8·3√3;

2³· √27 = 2³· 3^3/2

а=2√3; D= 2√3 √3 =6

6. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

а³= V

(а+1)³= V+19 = а³+3a²+3a+1= V+19;

3а(а+1)=18; а(а+1)=6; а=2

7. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза? 9

​

8. Диагональ куба равна 1. Най­дите площадь его поверхности.

а=1/√3; S=6a²=6/3=2 Ответ 2

9. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

6a²=24; а=2; V=8

10. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба? в 4

20.11. От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)? 14

​

​

​

​

​

20.12. Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 5·100=500 см кв