Магия чисел

​

​

​

​

Сборник заданий участников проекта "Удивительный мир чисел"

команда: "Покорители тайн"

БОУ г. Омска "СОШ № 142"

Магические квадраты всегда интересовали математиков. Магические звезды представляют более современную форму комбинаторики. Они могут быть разных размеров и форматов, а также иметь множество решений. Математики пытаются выяснить, сколько решений существует для каждого типа магических звезд, и как эти решения связаны между собой.

​

команда: "Покорители тайн"

БОУ г. Омска "СОШ № 142"

Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рисунке, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму

​

​

4 + 6 + 7 + 9 = 26

4 + 8 + 12 + 2 = 26

9 + 5 + 10 + 2 = 26

11 + 6 + 8 + 1 = 26

11+ 7 + 5 + 3 = 26

1 + 12 + 10 + 3 =26

​

Но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды, другая:

4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.

​

​

команда: "Покорители тайн"

БОУ г. Омска "СОШ № 142"

​

​

ЗАДАЧА: усовершенствуйте эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?

​

команда: "Покорители тайн"

БОУ г. Омска "СОШ № 142"

Ответ: Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.

Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26; сумма же всех чисел звезды — 78.

Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78 — 26 = 52.

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трех сторон — получим 26 х 3 = 78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (то есть внутреннего шестиугольника) должна, мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78 — 52 = 26; однократная же сумма равна 13.

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с 1 0, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины

треугольника: 1 и 2. Подвигаясь таким путем далее,

мы наконец разыщем требуемое расположение.

Оно показано на рис.

​

команда: "Покорители тайн"

БОУ г. Омска "СОШ № 142"

Источники:

http://zagadki.pp.ru/magicheskaya-zvezda

http://www.planetseed.com/ru/node/18074

http://www.milogiya2007.ru/triang2.htm

Дьявольский магический квадрат

Команда: Лидеры_21

Населенный пункт: МОУСОШ №7 г. Волгодонск

Однако было доказано (см., например, [1]), что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

​

Дьявольский магический квадрат

Команда: Лидеры_21

Населенный пункт: МОУСОШ №7 г. Волгодонск

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

Дьявольский магический квадрат

Составьте пожалуйст Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

​

Команда: Лидеры_21

Населенный пункт: МОУСОШ №7 г. Волгодонск

Дьявольский магический квадрат

Команда: Лидеры_21

Населенный пункт: МОУСОШ №7 г. Волгодонск

Источники информации:

http://ru.math.wikia.com/wiki/Магический_квадрат

Дьявольский магический квадрат

Команда: Лидеры_21

Населенный пункт: МОУСОШ №7 г. Волгодонск

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

Команда "αβγ"

БОУ г. Омска "СОШ №118"

Задача Эйнштейна.

Девять кругов расположены так, как показано на рис. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежащих в вершинах каждого из семи изображенных на рисунке треугольников, была одна и та же.

На рисунке б, правильный ответ.

Источник:http://festival.1september.ru/articles/622285/

​

Команда "Числинки"

БОУ г. Омска "СОШ №118"

Шестиконечная магическая звезда

В шестиконечной звезде расставить числа от 1 до 12 так, чтобы все шесть рядов чисел имели одну и ту же сумму 26.

Вот правильный ответ

Источник:http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

​

Команда "ПЯТЕРОЧКА"

БОУ г. Омска "СОШ №118"

Магический шестиугольник.

На помещенном рисунке показано, как можно разместить числа от 1 до 19, чтобы суммы трех чисел вдоль каждой из 12 прямых равнялись 23. Шесть прямых совпадают, конечно, с шестью сторонами шестиугольника, а шесть остальных проходят через центр.

​

​

​

Источник: http://www.libma.ru/matematika/pjatsot_dvadcat_golovolomok/p4.php

Команда "Великолепная пятерка"

БОУ г. Омска "СОШ №118"

Попробуйте составить свой магический квадрат 5х5, сумма цифр должна быть равна как и у нас 65.

Вот как это получилось у нас,

сумма чисел равна 65.

​

Магический Квадрат

В квадрате четвёртого порядка, изображённом на рис. 4, поставлено четыре числа так, что в каждой строке и в каждом столбце известно только одно число, а в каждой диагонали – два числа. Требуется расставить остальные числа от 1 до 16 так, чтобы получился магический квадрат четвёртого порядка.

​

Команда: Юные знатоки_23

Населенный пункт: МКОУ "Москаленский лицей"

История появления магических квадратов

Команда: Юные знатоки_23

Населенный пункт: МКОУ "Москаленский лицей"

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос.

Решение задачи

Магический Квадрат

В квадраттвёртого порядка, изображённом на рис. 4, постае чевлено четыре числа так, что в каждой строке и в каждом столбце известно только одно число, а в каждой диагоали – два числа. Тыуаыуыребуется расставить остальные числа от 1 до 16 так, чтобы получился магиоаыаывый квадрат четвёртого порядка.

​

Команда: Юные знатоки_23

Населенный пункт: МКОУ "Москаленский лицей"

Источники информации:

Представляем вам магические фигуры, существующие в математике в единственном числе: квадрат размером 3 на 3 и шестиугольник 3 порядка.

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них

даже не возникало мысли о составлении аналогичных

квадратов большего размера, поэтому последние стали

появляться только три тысячелетия спустя.

​

Команда «Исследователи» БОУ г.Омска «Кадетская школа-интернат №9»

​

Магический шестиугольник 3-го порядка (на каждой его стороне по три числа), составленный из первых девятнадцати натуральных чисел. В нем пять рядов и десять диагоналей (по пять в каждом направлении), все пятнадцать сумм чисел равны 38. Клиффорд Адаме занимался решением этой задачи в свободное время на протяжении 47 лет и, наконец, решил ее. Вот пример завидного упорства в достижении поставленной цели! Потом лист с записью решения куда-то потерялся и 5 лет он пытался воспроизвести решение ещё раз, пока не отыскал потерянную бумажку. Адаме отослал решение известному популяризатору математики Мартину Гарднеру, а тот передал его для анализа специалисту по комбинаторным задачам Чарльзу Триггу. Тригг доказал, что не существует более ни одного магического шестиугольника любого порядка, т.е. это решение уникально. Есть аналогия с магическими квадратами: второго порядка не существует, а третьего порядка только единственный экземпляр, если не считать симметричные отображения. Но дальше аналогия закончилась, квадратов с увеличением порядка все больше и больше, а шестиугольников кроме одного нет вообще, хоть как увеличивай порядок. Независимо от Адамса в 1958 году такой же шестиугольник опубликовал в «Математической газете» Том Винерс.

​

​

Итак, заполните магические фигуры.

1. Заполните квадрат натуральными

числами от 1 до 9 так, чтобы сумма

чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна была 15.

2. Впишите в шестиугольник первые

девятнадцать натуральных чисел так,

чтобы в каждом из пяти рядов и десяти

диагоналей (по пять в каждом направлении), все пятнадцать сумм чисел равнялись 38.

​

Команда «Исследователи» БОУ г.Омска «Кадетская школа-интернат №9»

​

​

​

​

​

Ответы.

​

использовали источники:

​

http://yandex.ru/yandsearch?p=9&text=%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5+%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B&clid=48763&lr=66

​

​

​

​

http://vsemzagadki.narod.ru/magia_chisel/magicheskiy_shestiugolnik.html

​

Команда «Исследователи» БОУ г.Омска «Кадетская школа-интернат №9»

​

Задание:

Выполняются ли все свойства знаменитого квадрата Дюрера для данного квадрата?

Чем отличается данный квадрат от квадрата, изображённого на гравюре Дюрера "Меланхолия"?

Команда: "Квадрики" 104

МКОУ "Москаленская СОШ"

команда ШОК65, г. Омск, школа №65

В квадрате 3*3 расставить числа 360, 320, 40, 240, 280,160, так, чтобы он стал магическим.

команда ШОК65, г. Омск, школа №65

Решение:

1. Найдем сумму всех чисел

80+ 200+120+360+320+40+240+280+160=1800

2. 1800/9=200 т.е. если бы в квадрате было бы одно и тоже число, то их 9 и каждое = 200.

3. Тогда сумма будет 600, 200*3=600

​

Первый столбец вторая строка: 600 – (200+120) =280

Третья строка: 600 – (80+ 280) =240;

По диагонали верхняя правая клетка: 600- (240 +200)= 160;

Первая строка второй столбец: 600 – (80 + 160) =360;

Нижняя угловая клетка: 600 – (160 +120) =320;

Последняя ячейка вычисляется также.

Магический квадрат обладает свойствами: Сумма чисел в строках и диагоналях одна; Число, которое стоит в центре цифрового ряда - стоит в центре квадрата

​

​

​

Разъяснение по решению:

Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов. Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры – 1514. Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века.В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры.

​

Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!

​

В привычном виде этот квадрат выглядит так.

​

​

Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата:

​

Свойство 1. Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n².

Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.

Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.

Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

​

Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34

Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.

​

Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.

Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.

​

Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:

1² + 14² + 15² + 4² = 13² + 2² + 3² + 16² = 438

12² + 7² + 6² + 9² = 8² + 11² + 10² + 5² = 310

Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.

Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон, то: а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;

​

б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:

12² + 14² + 3² + 5² = 15² + 9² + 8² + 2² = 374

12³ + 14³ + 3³ + 5³ = 15³ + 9³ + 8³ + 2³ = 4624

​

Команда: "Квадрики" 104

МКОУ "Москаленская СОШ".

Использовали источники:

http://www.klassikpoez.narod.ru/dyurer.htm

Команда: "Квадрики" 104

МКОУ "Москаленская СОШ".

Команда "Математики", БОУ г.Омска "СОШ № 34"

Латинские квадраты

​

1) Наряду с магическими квадратами существуют латинские квадраты. Латинским квадратом называется квадрат, в которых написаны числа 1,2,3,…,n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Латинские квадраты находят широкое применение в алгебре, комбинаторике, статистике, криптографии, теории кодов и многих других областях. Существует ряд игр, в которых используют латинские квадраты. Наиболее известна из них судоку. В ней требуется частичный квадрат дополнить до магического квадрата 9-го порядка, обладающего свойством: все девять его подквадратов содержат по одному разу все натуральные числа от 1 до 9.

​

Команда "Математики", БОУ г.Омска "СОШ № 34"

Латинские квадраты

2) Магический квадрат: Составьте квадрат 4*4, расставив в нем числа 11 до 26 так, чтобы по всем строкам, столбцам и большим диагоналям сумма была равна 74.

​

Команда "Математики", БОУ г.Омска "СОШ № 34"

Источники:

1) http://www.nvkz.kuzbass.net/kuzma/lat.htm

2) Задача №2 составлена командой

​

​

​

​

​

Команда "Математики", БОУ г.Омска "СОШ № 34"

​

Магический треугольник

"Магические фигуры" - получили всеобщее распространение в средние века, во время очередного подъема интереса к оккультным наукам, в частности, к нумерологической магии. Цель создания подобных фигур заключалась в желании расширить и, по большей части, увеличить магическое воздействие цифр, оказываемое на материальный мир.

Магический треугольник 3-го порядка

Простейший многоугольник - это треугольник. Если первые n натуральных чисел расположить в форме треугольника так, что образуется одна и та же сумма вдоль каждой из его сторон, то такой числовой треугольник называют магическим.

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Магический треугольник

Основной недостаток магического треугольника - его внутренняя пустота, числа стоят только по сторонам, в отличие от полностью заполненного квадрата, прямоугольника, шестиугольника. Возникает желание его "уплотнить", что приводит к различным вариантам математических треугольников.

Магические треугольники одного порядка различаются не только расположением чисел, но и магической суммой

​

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Магический треугольник. Задачи

1. Расположите в кружках числа от 1 до 7 так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же.

​

2. Расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы сумма четырех чисел в 3-х треугольниках со стороной 2 была одинаковой. Какие значения может принимать сумма?

​

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Магический треугольник. Задачи

3. Расставьте числа от 1 до 15 так, чтобы по периметру каждого из четырех треугольников сумма была одинаковой.

​

4. Расставьте числа от 1 до 9 в кружочках так, чтобы сумма чисел вдоль каждой стороны большого треугольника и в вершинах трех темных, выделенных треугольников, равнялась 20.

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Магический треугольник. Ответы

1. Расположите в кружках числа от 1 до 7 так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же.

​

2. Расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы сумма четырех чисел в 3-х треугольниках со стороной 2 была одинаковой. Какие значения может принимать сумма? (Сумма может принимать подряд все значения от 17 до 23)

​

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Магический треугольник. Ответы

3. Расставьте числа от 1 до 15 так, чтобы по периметру каждого из четырех треугольников сумма была одинаковой.

​

4. Расставьте числа от 1 до 9 в кружочках так, чтобы сумма чисел вдоль каждой стороны большого треугольника и в вершинах трех темных, выделенных треугольников, равнялась 20.

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Источники информации

1. http://www.milogy.net/triang23.htm

​

2. В.В. Трошин "Магия чисел и фигур". Занимательные материалы по математике. 2007г.

​

3. http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

Команда: "Арифметика"_105

Населенный пункт: МБОУ Лицей №88 г.Екатеринбурга Свердловской области

Кросс- суммы

Магические ТРИАДЫ

Магическая реальность чисел не может не проявляться в мире, сотканном из чисел по Единому закону. И Пифагор уже тогда это понимал лучше, чем многие самые лучшие современные умы, т.к. стереотип мышления не позволяет опускаться до мистики.

К одним из таких мистических проявлений универсальных законов, отражающихся в числах относятся магические фигуры, к которым относят нагруженными числовыми комбинациями звезды и цифровые квадраты.

Команда № 87-- НЕПОСЕДЫ

Населенный пункт: БОУ СОШ 98

магические ТРИАДЫ

Эти фигуры получили всеобщее распространение в средние века, во время подъема очередного интереса к нумерологической магии, как одной из ветвей оккультной науки.

Цель создания магических фигур заключалась в желании расширить и увеличить магическое воздействие цифр, оказываемое на материальный мир.

Цифровую фигуру называют

магической, если составляющие ее числа

не повторяются и дают при определенных

сочетаниях заранее задуманный составителем

результат.

команда № 87 НЕПОСЕДЫ

БОУ СОШ 98

магические ТРИАДЫ

Так, например, фигура Триады, отражает помимо триединства, двойственность, шестеричность и двенадцатеричность Мироздания, а две Триады образуют гексаграмму

Магические свойства Триады заключаются в том, что суммы чисел на каждой из ее

сторон равны между собой (20).

На гексаграмме суммы чисел

сторон равны 26.

​

команда № 87 НЕПОСЕДЫ

БОУ СОШ 98

http://www.milogiya2007.ru/triang2.htm

Магический квадрат 5х5

​

В квадрате 5х5 расставить числа от 1 до 25 так, чтобы получился магический квадрат

​

​

​

​

Команда № 42 "Эрудиты"

Населенный пункт: МКОУ "Воскресенская СОШ"

​

​

Решение задачи

​

Для решения применим метод террас. Для этого с четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавим террасы. В полученной фигуре

расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх

​

​

продолжение решения

Числа, оказавшиеся за рамками квадрата, надо внести внутрь квадрата

​

так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Магический квадрат готов.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Этим способом можно составить магический квадрат любого нечетного порядка: 7х7; 9х9 и т.д. Попробуйте составить эти квадраты .

Команда 42 "Эрудиты" Воскресенская СОШ

Источник: Я.И.Перельман Занимательные задачи и опты. Д:ВАП 1994

Судоку

Судоку — популярная головоломка с числами. В переводе с японского «су» — «цифра», «доку» — «стоящая отдельно». Иногда судоку называют «магическим квадратом», что в общем-то не верно, так как судоку является латинским квадратом 9-го порядка. Судоку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира, сборники судоку издаются большими тиражами. Решение судоку — популярный вид досуга.

Задача: заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась.

​

3 этап_Пирамида_МКОУ Черлакская СОШ №2

​

​

​

​

Судоку

Решение:

Шаг 1

Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.

Шаг 2

Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая

клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!

Шаг 3

Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...

​

Ответ:

Ссылка: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%83

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТИКИ

Числа от 1 до17 расставить в углах квадратов так, чтобы сумма чисел, принадлежащих одному квадрату равнялась 32.

​

​

​

​

​

С.Акимова, "Занимательная математика. Нескучный учебник", Тригон, 1997г

РЕШЕНИЕ

​

​

​

​

​

​

​

МКОУ "Колосовская СОШ"

команда "Лучики"

Магические квадраты

Вот так выглядит этот квадрат в современной записи.

В нем первые 9 натуральных чисел расположены так, что сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям одна и та же. Это - основное свойство всякого магического квадрата.

​

Г.И. Глейзер, История математики в школе. М., Просвещение, 1981.

​

Магические квадраты

В одной из древних рукописей 2 тысячелетия до н.э. помещена фигура, изображенная на рисунке.

​

Рис. Старейший девятиклеточный магический квадрат.

​

​

Чёрными точками представлены чётные числа, называвшиеся в то время "женскими", кружочками - нечётные, "мужские" числа.

Задача

В центре квадрата отсутствуют четыре числа. Если вы определите их верно, то сумма чисел по вертикали будет равна 160.

47 68 33 12

69 34

23 48

21 54 19 66

​

Халамайзер А.Я., Пифагор. М., Высш. шк., 1994.

Решение

47, 68, 33, 12

​

​

​

​

​

Команда "Ракета".

БОУ "Лицей 25".

Кросс-суммы

Расставьте числа от 1 до 21 так, чтобы сумма чисел по каждой из трех окружностей была равна 60, не считая и не используя три уже поставленных числа.

​

​

​

​

​

​

​

​

Команда: "Старт" 30

Населенный пункт: МКОУ "Москаленский лицей"

​

Кросс-суммы

Кросс-суммы - это пересекающиеся ряды чисел с одинаковыми суммами.

Ввел данное понятие отечественный математик и популяризатор науки Борис Анастасьевич Кордемский по аналогии с кроссвордами (от английского cross -пересекаться )

Именно в этой области существует большое количество занимательных задач простых по условию и полезных для ума.

​

Команда : "Старт" 30

Населенный пункт: МКОУ "Москаленский лицей"

Кросс-суммы

Ответ:

​

​

​

v

v

vv

​

​

Команда : "Старт" 30

Населенный пункт: МКОУ "Москаленский лицей"

​

​

​

​

МАГИЧЕСКИЙ

КВАДРАТ ЛО ШУ

​

Родиной магических квадратов считают Китай. В Китае существует учение Фэн-шуй, согласно которому цвет, форма и физическое расположение каждого элемента в пространстве влияет на поток Ци, замедляя его, перенаправляя его или ускоряя его, что напрямую влияет на уровень энергии жителей. Для познания тайн мира боги послали императору Ю (Yu) древнейший символ, квадрат Ло Шу (Ло – река).

​

КОМАНДА: ЛЮДИ ИКС БОУ "СОШ№114"

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

В самом деле, сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям квадрата одинакова M=15 и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года.

Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти.

​

​

КОМАНДА: ЛЮДИ ИКС БОУ "СОШ№114"

​

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

​

Легенда гласит, что около четырех тысяч лет назад из бурных вод реки Ло вышла большая черепаха Шу. Люди, приносящие жертвы реке, увидели черепаху и сразу признали ее божеством. Эта черепаха на самом деле была особенной, потому что на ее панцире был нанесен странный узор из точек.

Точки были нанесены упорядоченно, это привело древних философов к мысли о том, что квадрат с числами на панцире черепахи служит моделью пространства – картой мира с оставленной мифическим основателем китайской цивилизации Хуан-ди.

​

КОМАНДА: ЛЮДИ ИКС БОУ "СОШ№114"

​

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

Четные числа (символы Земли) Ло Шу были нанесены на теле черепахи в виде черных точек, или Инь символов, а нечетные числа (символы Неба) – в виде белых точек, или Ян символов. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Не исключено, что современное изображение цифры 5, размещенной в центре композиции, обязано китайскому символу двуединственности Ян и Инь.

источники:ttp://www.devify.ru/kitai/15/h

http://rbardalzo.narod.ru/4/cze.html

​

КОМАНДА: ЛЮДИ ИКС БОУ "СОШ№114"

​

​

Магический квадрат

​

Основное свойство всякого магического квадрата состоит в том, что сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям одна и та же. В далеком прошлом суеверные люди считали все эти необычные свойства таинственными, отсюда произошло название «магические», «волшебные» квадраты.

Через посредничество арабов магические квадраты проникли из Индии в Европу. Так как они представляют известный интерес в науке о числе, ими занимались видные ученые. Среди них был и знаменитый французский математик XVII в. Пьер Ферма.

​

Команда «Ромбики» с. Бражниково. Колосовского района

Магический квадрат

В древнем магическом квадрате сумма равна 15

​

Команда «Ромбики» с. Бражниково. Колосовского района

​

Магический квадрат

Команда «Ромбики» с. Бражниково. Колосовского района

​

​

Мы заметили некоторую последовательность расположения чисел, например, в середине квадрата стоит, число, которое в ряду чисел стоит посередине. И оно является средним арифметически для крайних чисел, расположенных по диагоналям, столбцам и строкам. Поэтому мы научились составлять магические квадраты 3*3 для любого ряда чисел.

Задание: Составьте квадрат 3 * 3, расставив в нем числа от 12 до 20 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям сумма была одна и та же.

​

Магический квадрат

Команда «Ромбики» с. Бражниково. Колосовского района

​

​

Решение: Выписываем все указанные числа в ряд 12,13,14,15,16,17,18,19,20. Посередине стоит число 16 его, и ставим в середину квадрата. Далее самое маленькое и большое число размещаем в средний столбец (12+20): 2=16, числа 13 и 19 размещаем по диагонали, 14 и 18 в среднюю строку, и числа 15 и 17 по диагонали. Можно начать размещение чисел соседних с 16 по диагонали и сразу вычислить сумму чисел, которая должна получиться.

Магический квадрат

​

в нашем квадрате сумма равна 48

​

Команда «Ромбики» с. Бражниково. Колосовского района

​

​

​

Магический квадрат

​

Информационные источники:

Глейзер Г.И. История математики в школе: IV – VI кл.. Пособие для учителей. – М.: Просвещение. 1981. стр. 86-87

​

Команда «Ромбики» с. Бражниково. Колосовского района

​

​

​

"Модель А" как магическая фигура

Мы предлагаем вам пройти небольшой тест, который поможет определить ваши сильные и слабые стороны.

Результаты

От того, за какую сторону было больше ответов на голубом фоне, зависит то, какая будет первая буква вашего ТИМа. Если вы ответили за левую сторону, первая буква будет взята из синего фона, если за правую - с зеленого. Если на синем фоне больше ответов за левую сторону, будет буква Л. Если за правую - буква Э. На зеленом фоне: за левую сторону - буква С, за правую - буква И. Таким образом, если на вопросах в голубом фоне у вас было больше ответов за левую сторону, а на синем фоне - за правую, вашей первой буквой будет Э. От ответов на розовом фоне зависит последняя буква: за левую сторону - Э, за правую - И. Так у вас получится набор из трех букв, например, ИЛЭ. Последняя буква определяет их "цвет".

Значения

Расшифровка букв. Л - логика, Э - этика, С - сенсорика, И - интуиция. Вопросы голубого фона - рациональность или иррациональность, розового фона - экстраверсия или интроверсия. У четырех аспектов может быть черный или белый цвет. Какого цвета будет какая буква определяют ваши рациональность/иррациональность и экстраверсия/интроверсия. Таким образом: БС (белая сенсорика) - у иррациональных интровертов и рациональных экстравертов. ЧС (черная сенсорика) - у иррациональных экстравертов и рациональных интровертов. БИ (белая интуиция) - у иррациональных интровертов и рациональных экстравертов. ЧИ (черная интуиция) - у иррациональных экстравертов и рациональных интрвовертов. БЭ (белая этика) - у иррациональных экстравертов и рациональных интровертов. ЧЭ (черная этика) - у иррациональных интровертов и рациональных экстравертов. БЛ (белая логика) - у иррациональных экстравертов и рациональных интровертов. ЧЛ (черная логика) - у иррациональных интровертов и рациональных экстравертов. Проще говоря, у экстравертов цвет второго аспекта - белый, а у интровертов - черный.

Что значит какой аспект

Деловая логика (черная логика) Восприятие окружающего мира, людей, себя через поступки, оценка их рациональности. Способность к анализу фактов, поступков, процессов. Умение различать логичные и нелогичные поступки, оценивать их целесообразность, оптимизировать деятельность. Стремление к накоплению информации о фактах и закономерностях. Умение выбрать способ противостояния внешнему воздействию Восприятие движения и пространства.�Структурная логика (белая логика) Способность логически мыслить устанавливать логические связи, определять соотношения, анализировать. Восприятие мира через соотношения различных объектов друг с другом, их сравнение, выбор главного. Способность классифицировать всевозможные объекты, систематизация окружающего мира. Оценка любой информации по тому, насколько она укладывается в различные системы. Восприятие пространства как системы расстояний, восприятие своего места в социуме.�Этика эмоций (черная этика) Существование в мире эмоций. Восприятие и оценка окружающего мира через эмоции. Умение различать положительные и отрицательные эмоции, их оттенки, стремление к положительным эмоциям, хорошему настроению. Пребывание в эмоциональных состояниях, переживания радость или печать, драматизм или комизм. Энтузиазм, впечатлительность, эмоциональный комфорт. Восприятие звуков как характеристики различных эмоциональных состояний и интенсивности процессов.

Этика отношений (белая этика) Существование в среде чувств, отношений, симпатий и антипатий. Восприятие окружающего через те чувства которые оно вызывает. Способность различать отношения и улавливать их оттенки. Переживание различных отношений любовь-ненависть, симпатия-антипатия, расположение-неприязнь, восхищение и пр.�Волевая сенсорика (черная сенсорика) Способность концентрировать внимание на предметах, легко схватывая их внешние качества и отмечая детали. Восприятие внешних форм, оценка эстетики объекта и наслаждение его красотой. Умение искать и ставить цели в отношении объектов. Манипуляция объектами, управление ими посредством силового (иногда физического) давления. Проявление агрессивности. Ощущение власти над объектами, умение подчинить их своим целям. Состояние мобилизованности, умение мобилизовать других людей, сила воли. Физическая сила, активность, настойчивость и упорство в преодолении препятствий, иногда упрямство.

Сенсорика ощущений (белая сенсорика) Существование в среде ощущений, восприятие окружающего мира через любые ощущения своего тела осязание, обоняние, вкус, самочувствие, чистоплотность. Оценка свойств окружающих предметов через ощущения, которые от них возникают. Способность различать качества ощущений. Ощущение окружающего пространства, эстетическое удовольствие, физическое удовлетворение (телесные удовольствия), комфорт.

Интуиция возможностей (черная интуиция) пособность абстрагировать внимание от внешних проявлений предметов, схватывая их содержание и выделяя суть. Восприятие внутренних качеств и назначения объектов. Умение отделять перспективное от неперспективного, представлять результат. Оценка качеств своего характера и собственных возможностей. Изучение и сравнение характеров и способностей других людей. Способность противопоставлять и отстаивать свои идеи и взгляды.

Интуиция времени (белая интуиция) Существование в мире представлений, образов, воспоминаний и фантазий. Восприятие происходящего через отзвук реальных событий во внутреннем состоянии. Оценка окружающего мира через соответствие реальных событий внутреннему состоянию по возникающим представлениям и их гармонии. Способность проникать во внутренний мир других людей, изучение интересов и проблем, которые их занимают. Способность различать оттенки внутренних состояний. Ощущение ритма происходящего, темпа событий, ощущение степени созвучности поведения и взглядов окружающих, чувство заполненности своего и чужого времени. Представление возможных ситуаций (и невозможных тоже), своего места в них, предчувствие.

"Модель А"

Цифры и буквы

Ваша первая буква будет стоять в первом квадратике. Вторая - во втором. Так, например, если получилось ИЛЭ (интуитивно-логический экстраверт), в первом квадратике будет ЧИ (черная интуиция), а во втором - БЛ (белая логика). Первые две функции - самые сильные функции в вашем сознании.

Соционические модели. Первая квадра

Вторая квадра

Третья квадра

Четвертая квадра

Значения

Выше представлены псевдонимы соционических типов и их функции. Квадрат - логика. Круг - сенсорика. Треугольник - интуиция. И четвертая забавная фигурка - этика. Их цвет - цвет аспекта. Так, например, черный круг будет значит черную сенсорику, а белый квадрат - белую логику. Все фигуры расставлены по "Модели А", в том порядке, в котором дана схема (см. слайд 67).

Значения

Первая функция - главная, она определяет программу действий человека, его жизненные позиции. Вторая функция - творческая - определяет, каким образом человек реализует первую функцию. Третья функция - ролевая. Аспекты этой функции проявляются, в новой обстановке, например, когда человек вступает в контакт с окружающими, или если происходит что-то неожиданное. Четвертая функция - болевая. Это слабое место человека, функция комплексов, мешающих развитию личности. Первые 2 функции составляют блок ЭГО, это блок творчества, уверенности в своих знаниях и действиях. Третья и четвертая функции образуют блок СУПЕРЭГО, это блок контроля творчества, блок наибольших сомнений и переживаний, он служит для обратной связи с внешним миром. Блоки ЭГО и СУПЕР-ЭГО образуют ментальное кольцо, все его функции проявляются человеком осознанно. Пятая функция - внушаемая (суггестивная), по ней человек нуждается в поддержке либо конкретными действиями, либо дельными советами и рекомендациями. Информация по этой функции успокаивает человека, вселяет в него уверенность. Шестая функция - активационная (референтная, оценочная). С помощью этой функции человек определяет, каким должен быть внешний мир, информация по аспекту этой функции активизирует его, побуждает к действию. Седьмая функция - ограничительная (наблюдательная), она служит для отслеживания информации по ее аспекту, поступающей извне, следит за излишними проявлениями такой информации. Кроме того, ограничительная функция срабатывает, если человек чувствует давление, которое вынуждает его защищаться. Восьмая функция - демонстративная (фоновая), она работает автоматически, постоянно, не заостряя внимания. Пятая и шестая функции составляют блок СУПЕРИД, по этому блоку человек нуждается в поддержке и коррекции своих действий. Блок, образованный седьмой и восьмой функциями, носит название ИД. Его функции сильно развиты, но реализуются бессознательно. Последние 4 функции - пятая, шестая, седьмая и восьмая - составляют витальное кольцо, его проявление во многом не осознается.�Изображения и информация взяты с сайта http://www.socionika.info/model.html

​

Команда "Юные математики" БОУ г. ОМСКА "СОШ№42"

Задачи магического квадрата

Наследники Пифагора

БОУ г.Омска «СОШ № 142»

Секрет составления любого магического квадрата 3*3

Наследники Пифагора

БОУ г.Омска «СОШ № 142»

Для того,чтобы составить магический квадрат 3*3 необходимо слегка преобразить

Его, дорисовать ему « ушки», дополнительные клетки (см. рисунок)

Наследники Пифагора

БОУ г.Омска «СОШ № 142»

Расставить нужные числа по диагоналям (см. рисунок)

Затем из дополнительных клеток перемещаем числа на противоположные клетки

Наши задачи

Наследники Пифагора

БОУ г.Омска «СОШ № 142»

• Составить магический квадрат 3*3, составленные из первых нечетных чисел от 1 до 17.
• Составить магический квадрат 3*3 из чисел кратных 5.
• Составить магический квадрат 3*3 из чисел кратных 7.

​

Ответы

"Наследники Пифагора" БОУ "СОШ № 142"

​

ЗАДАНИЕ: Постройте магический квадрат 3*3 из одних лишь простых чисел?

"Дружные ребята",

МОКУ "Гимназия г. Тюкалинска", рег. номер №3

Комментарии к задаче

Можно ли построить магический квадрат из одних лишь простых чисел.

Простые числа – это непокорные упрямцы, упорно не желающие делиться ни на какое целое число, кроме единицы и самих себя

Оказывается, можно, и первым, кто сделал это, был Генри Э. Дьюдени. Его постоянная равна 111, это наименьшая из постоянных для магических квадратов, составленных из простых чисел. Однако простые числа в найденном Дьюдени квадрате – не последовательные.

​

"Дружные ребята",

МОКУ "Гимназия г. Тюкалинска", рег. номер №3

Комментарии к задаче

Возникает вопрос: можно ли построить квадрат из последовательных нечетных простых чисел? В 1913 году Дж. Н. Манси доказал, что наименьший магический квадрат из последовательных нечетных простых чисел должен иметь порядок 12. Постоянная этого магического квадрата равна 4514.

Вот это чудо!

​

Источник: Математические досуги. Мартин Гарднер. Издательство «Мир». Москва. 1972

​

"Дружные ребята",

МОКУ "Гимназия г. Тюкалинска", рег. номер №3

Магия чисел

​

Команда "Лучики"�(регистрационный номер 40)

МОУ "Прииртышская СОШ" �Таврического района

Виртуальный магический квадрат

Придуманы магические квадраты впервые китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000—5000 лет до нашей эры. В 11 веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 веке византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия I. В средние века люди верили в магическую силу этих квадратов. Они использовались для изготовления талисманов, оберегающих от различных болезней.

В наш век информатизации магические квадраты перенесенные в Интернет, вышли на новый виток развития. С помощью магических квадратов создают виртуальные фокусы, которые приводят в восторг и замешательство. И кажется, что действительно происходит волшебство. Но если попробовать разобраться, каким же образом всё это работает, всё становится предельно ясно. Хотя ощущение колдовства и ловкости, с которым этот трюк проделывается, не покидает ещё долгое время.

​

магический квадрат

А. Дюрера

первый китайский �магический квадрат

Виртуальный магический квадрат

Скорее всего, каждый видел старую загадку под названием “Магический квадрат” (”Отгадыватель мыслей”, “Волшебный квадрат”) - страницу в интернете, которая предлагает вам загадать двухзначное число, затем отнять сумму входящих в него цифр, найти в таблице символ, соответствующий получившемуся числу, после чего “Магический квадрат” отобразит его на экране. Если кто не видел, то пройдите по ссылки и попробуйте http://potrebitel.biz/angel/mk.htm

Самое интересно, что квадрат всегда показывает верный символ и задаешь себе вопрос, неужели действительно читает мысли?

​

​

Разгадка виртуального магического квадрата.

Если взглянуть на пример такой “магической” таблицы, то на первый взгляд не видно ничего особенного. Попробуем пройтись по условию загадки и придумаем произвольное двухзначное число. Пусть это будет - 87. Теперь отнимем от этого числа сумму цифр, из которых оно состоит: 87 - (8 + 7). Получилось - 72. Отыщем в таблице символ, соответствующий этому числу. И здесь, внимание! Даже если вы загадали любое другое начальное число, мы увидим тот же самый символ!

​

Откуда это может быть известно? Если внимательно присмотреться к таблице, то становится заметно, что все символы на главной диагонали одинаковы, исключая символ под номером 90. Впрочем, он никогда не будет участвовать в загадывании. По остальным номерам специально разбросано большое количество случайных букв, чтобы было труднее заметить какую-либо закономерность.

​

​

Разгадка виртуального магического квадрата.

Что интересно, какое бы начальное число, соответствующее условию, вы ни загадали, в таблице вы будете разыскивать символ только под следующими номерами: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. Закономерность видна: каждое из этих чисел делится на девять.

Вспомним признак делимости на девять: число делится на девять тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на девять. В каждом из рядов таблицы такое число только одно.

Но ведь исходное, заданное, число может быть абсолютно любым! Почему же мы, в конечном итоге, выходим на набор чисел, составляющих главную диагональ? А здесь вступает в дело удивительный математический феномен, который формулируется так:если от любого числа отнять сумму его цифр, то полученное число будет делиться на девять без остатка.

Вот и вся разгадка! Какое бы число вы ни загадали, отняв от него сумму входящих в него цифр, вы получаете число, которые делится на девять. А в каждой строке такое число встречается только один раз. Кроме самого верхнего ряда. Хотя число 90 и находится на главной диагонали, а также делится на девять без остатка - всё это не имеет совершенно никакого значения, поскольку получить его в качестве результата вычислений не получится: даже если вы загадаете максимальное двухзначное число - 99, вам ведь всё равно придётся отнять от него 18. И вы получите число 81.

​

Разгадка виртуального магического квадрата.

Подведём черту. При каждой загрузке страницы с “Магическим квадратом”, его таблица заполняется набором случайных символов. Только на главной диагонали располагается определённый символ, который будет служить “ответом”. Так что квадрат “знает” разгадку ещё до того, как вы загадаете какое-либо число или символ.

​

Ссылки на источники:

​

http://le-savchen.ucoz.ru/publ/1-1-0-16

​

http://netlor.ru/virtualnye-ugadyvateli-myslej

​

http://potrebitel.biz/angel/mk.htm

​

http://braingears.ru/entry/magic-table

Команда "Лучики"�(регистрационный номер 40)

МОУ "Прииртышская СОШ" �Таврического района

​

Комада "Сферики"

БОУ г. Омска "Лицей № 92"

Литература:

Кенгуру - 2010. Задачи, решения, итоги. - Спб. - 2010.

Команда "Сферики"

БОУ г. Омска "Лицей № 92"

Команда "Сферики"

БОУ г. Омска "Лицей № 92"

Команда «Пятерочка»

МКОУ «Большегривская СОШ»

​

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий.

​

Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом.

Европейцев с удивительными числовыми ква­дратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержа­ла примеры магических квадратов разного поряд­ка, составленных самим автором.

​

В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различ­ные мистические свойства. Поэтому не удиви­тельно, что они пользовались особой популярно­стью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защи­щает от чумы.

​

​

Команда «Пятерочка»

МКОУ «Большегривская СОШ»

​

Составьте квадрат из чисел так, чтобы по всем строкам, столбцам и большим диагоналям получилось число 50.

​

Команда «Пятерочка»

МКОУ «Большегривская СОШ»

Решение:

Команда «Пятерочка»

МКОУ «Большегривская СОШ»

​

Источники:

​

http://www.logozavr.ru/_sys/data/statics/1795/Magrec21.swf

​

http://do.gendocs.ru/docs/index-119333.html

​

​

Команда "Арифметики"

МКОУ "Уютнинская ООШ"

Магический квадрат Кубика Рубика

На рисунках показаны два варианта Кубика, на которых взаимодополнительные триады обозначены одинаковыми числами (и символами). На рисунке слева маленькие кубики пронумерованы цифрами, а на рисунке справа маленькие кубики обозначены символами.

Особенность этих двух кубиков в том, что они имеют две общие грани (белую и красную). Это различие видно из сравнения свойств их главных диагоналей. На левом кубике -это единичная диагональ, а на правом главную диагональ образуют зеленые кружочки.

​

Команда "Арифметики"

МКОУ "Уютнинская ООШ"

Исходный магический квадрат, отражаясь вокруг соответствующих ребер Кубика Рубика, сохраняют магические свойства исходного квадрата. При этом каждое отражение можно рассматривать как С-инвариантное преобразование. Но вот что интересно. Отражение белой грани на красную и последующее отражение красной грани на желтую (СР-инвариантность) оказывается полностью тождественно непосредственному отражению белой грани на желтую (C-инвариантность), т.е. и то и другое преобразование дают, вроде бы, один и тот же результат. Это несколько необычный для физики результат. Но эта иллюзия вызвана тем, что на самом деле красная и желтая грань отражаются друг на друга в соответствии с законом СРТ-инвариантности. Все дело в том, что цифры на этих гранях являются перевернутыми друг относительно друга, т.е. имеют обратный смысл.

Так, отражая друг на друга матрицы правого рисунка, мы замечаем, что здесь энеаграммы 1 и 3 отражаются друг на друга именно по закону СРТ-инвариантности. И если мы символы заменим цифрами, то мы получим тот же самый результат (СРТ-инвариантность).

Таким образом, оказывается, что не все направления в кубике равнозначны для законов отражения. Это совершенно уникальный феномен Единого закона.

Отражая грани кубика друг на друга, мы замечаем, что на этих гранях изменяются и алгоритмы формирования магической матрицы. Так, например, на левом кубике магическая матрица белого цвета формируется путем циклического сдвига базового кода вправо, а на матрице желтого цвета циклический сдвиг происходит уже в обратном направлении.

Этот пример показывает, что если грань куба представляет собой магический квадрат, то все остальные магические квадраты на кубе можно получить автоматически.

​

Источник: http://www.milogiya2007.ru/triang2.htm

​

Команда "Портал пятёрок"

БОУ г. Омска "СОШ № 79"

Магический циферблат.

Циферблат разделите на 6 частей любой формы, - так, чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке, была одна и та же.

​

Команда "Портал пятёрок"

БОУ г. Омска "СОШ № 79"

Литература:

А. Я. Котов "Вечера занимательной арифметики". М. "Просвещение", 1967г.

​

Команда "Числоведы"

МКОУ "Чебаклинская СОШ"

Задача о "кросс-суммах"

Для пересекающихся рядов чисел с одинаковыми суммами отечественный математик и популяризатор науки Борис Анастасьевич Кордемский ввел определение кросс-суммы, по аналогии с кроссвордами (от английского cross - пересекаться,скрещиваться). Таким образом, кросс-суммы - это пересекающиеся ряды чисел с одинаковыми суммами.

​

Задача 1:

Расположите числа от 1 до 12 в кружочки так, чтобы вдоль линий получилось одно и то же число.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Команда "Числоведы"

МКОУ "Чебаклинская СОШ"

Решение:

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Эта шестиконечная числовая звезда, обладает магическим свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму

4+6+7=26 11+6+8+1=26

4+8+12+2=26 11+7+5+3=26

9+5+10+2 =26 1+12+10+3=26

Но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды, другая:

4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.

Задача 2: Можно ли расставить числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?

​

​

Команда "Числоведы"

МКОУ "Чебаклинская СОШ"

Решение:

Сумма чисел на концах звезды должна быть равна 26, а сумма всех чисел звезды равна 78. Значит сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78-26=52.

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим число всех трех сторон - получим 26·3=78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (т.е. сумма чисел внутреннего шестиугольника) должна равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78-52=26; однократная же сумма равна 13.

​

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с 10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2.

Продвигаясь таким путем далее, мы, наконец, разыщем требуемое расположение.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Команда "Числоведы"

МКОУ "Чебаклинская СОШ"

Источники:

​

http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

http://vsemzagadki.narod.ru/magia_chisel/chislovye_okruzhnosti.html

Команда "Плюсики" БОУ "СОШУИОП № 99" г.Омска

Задача «Обманутый хозяин»

Хозяин устроил в своём погребе шкаф в форме квадрата с девятью

отделениями. Среднее ( внутри ) отделение он оставил свободным для пустых бутылок, а в остальных расположил 60 бутылок вина так, что в каждом угловом отделении их было по 6, а в каждых средних по 9, т. е. на каждой стороне по 21 бутылке. Слуга заметил, что хозяин проверяет число бутылок, считая только бутылки по сторонам квадрата, следя за тем, чтобы на каждой стороне квадрата было по 21 бутылке. Тогда слуга унёс сначала 4 бутылки, а остальные расставил так, что вновь получил 21 бутылку на каждой стороне квадрата. Так он повторял, пока было возможно. Сколько раз он брал бутылки и сколько всего бутылок унёс?

​

Команда "Плюсики" БОУ "СОШУИОП № 99" г.Омска

Решение

​

​

​

​

Магический квадрат -квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы

чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

　 Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно

неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. И, вероятно, самым старым из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу. Она имеет размер 3*3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной священной черепахи, всплывшей из вод реки Хуанхэ

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, а затем

и в другие страны. В начале XVI　 века　 знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия». Дата создания гравюры (1514 год) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Команда "Плюсики" БОУ "СОШУИОП № 99" г.Омска

​

Команда "Плюсики" БОУ "СОШУИОП № 99" г.Омска

В IX веке. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их

стали исследовать с помощью методов высшей алгебры. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45*45,　 содержащий числа от 1 до 2025, Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе

внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие　 значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами.

​

Команда "Плюсики" БОУ "СОШУИОП № 99" г.Омска

Источники информации:

1. Задача из О. С. Шейнина, Г. М. Соловьёва "Математика. Занятия школьного кружка", 5 – 6 классы, Москва «НЦ ЭНА», 2004.
2. История магического квадрата с сайта: www.informio.ru/piblications/idl192

​

Команда "Квадрат"

МКОУ "Глухониколаевская СОШ"

Составьте магический квадрат пятого порядка, расставив в нем числа от 1 до 25 так, чтобы по всем строкам,

столбцам и большим диагоналям сумма была равна 65.

Решение:

Поставим 1 в любую клетку квадрата 5 х 5.

​

​

​

​

​

Сделаем вертикальный ход шахматного коня (одна клетка вправо и две клетки вверх) и поставим 2. Будем делать вертикальные ходы шахматного коня, ставить числа в порядке возрастания, пока не заполним весь квадрат.

​

​

​

​

​

Команда "Квадрат"

МКОУ "Глухониколаевская СОШ"

​

Если ход коня выводит за верхний край квадрата – возвращаемся снизу.

Если ход выводит за правый край – возвращаемся слева.

Если клетка уже занята – возвращаемся к только что вписанному числу и ставим следующие прямо под ним.

​

Команда "Квадрат"

МКОУ "Глухониколаевская СОШ"

Шахматный подход

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат.

​

Ещё один пример, число 1 в центре квадрата:

http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works/Knjazeva.pdf

​

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82#.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8_.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D0.BC.D0.B0.D0.B3.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BA.D0.B2.D0.B0.D0.B4.D1.80.D0.B0.D1.82.D1.8B

​

Команда "Ритм"

БОУ города Омска "Лицей № 92"

Магические квадраты.

Магические квадраты - это таблицы чисел, в которых суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей квадрата все равны между собой. Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н.э..

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве.[5]

Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). Магические квадраты были известны еще арабам, к которым вероятно, они перешли от индусов; затем они сделались достоянием математиков восточной части Римской империи и, наконец, появились в Западной Европе, где методами получения магических квадратов заинтересовались многие ученые. В средние века люди верили в магическую силу этих квадратов. Они использовались для изготовления талисманов, оберегающих от различных болезней.

​

​

Команда "Ритм"

БОУ города Омска "Лицей № 92"

Магические квадраты.

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

​

​

​

​

Команда "Ритм"

БОУ города Омска "Лицей № 92"

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ.

Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников математики. Магические фигуры делятся на плоские и пространственные, так как существуют магические квадраты, треугольники, прямоугольники, многоугольники и круги, а также и магические кубы.

Задача Эйнштейна

Девять кругов расположены так, как показано на

рис. 3а. Расположите в них числа от 1 до 9 так,

чтобы сумма чисел, лежащих в вершинах каждого из семи

изображенных на рисунке треугольников, была одна и та

же.

​

Команда "Ритм"

БОУ города Омска "Лицей № 92"

Решение.

1). Найдем сумму всех чисел 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

2). У треугольника три вершины, поэтому разделим данную сумму на 3.

45:3=15, то есть сумма чисел в каждом треугольнике равна 15.

3). По условию задачи дано семь треугольников, значит, составляем семь

комбинаций из трех чисел, сумма которых равна 15.

1+6+8=2+4+9+3+5+7=4+5+6=5+9+1=6+7+2=8+4+3=15

4). Заполняем центральный треугольник: 4,5,6.

5). Заполняем крайние треугольники: и 4,2,9 и 5,3,7 и 6,1,8 с учетом трех

больших треугольников: 5,1,9 и 4,8,3 и 6,2,7.

​

Команда "Ритм"

БОУ города Омска "Лицей № 92"

Источники информации.

1). Обучение младших школьников ...

festival.1september.ru/articles/622285

2). Отметим основные свойства магиче ...

www.studyexperts.ru/stdds-891-3.html

​

​

Команда "Дружные ребята" БОУ г.Омска "СОШ № 106"

Задача Эйнштейна. Девять кругов расположены ,как показано на рисунке а. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежащие в вершинах каждого из семи изображённых на рисунке треугольников,была одна и та же. Ответ рис.б

Гимназисты.Гимназия № 159

1) Запишите числа от 1 до 12 так, чтобы три суммы чисел, записанных в вершинах каждого из 2 прямоугольников и 1 квадрата , были одинаковыми.

Гимназисты.Гимназия № 159

Ответ.Так как сумма всех чисел от 1 до 12 равна 78, то сумма четырех чисел, записанных в вершинах каждого из прямоугольников и вершинах квадрата, будет равна 26. Возможный вариант записи может быть такой: 12, 9, 1, 4 — в вершинах квадрата; 11, 8, 2, 5 и 10, 7, 3, 6 — в вершинах прямоугольников.

Гимназисты . Гимназия № 159

Мы не знаем страну, в которой были придуманы магические квадраты, не знаем век (и даже тысячелетие!), в котором они были впервые составлены. Известно только, что они появились задолго до эры вульгарис, и их родиной был Древний Восток. Существует китайская легенда, в которой говорится, что во времена правления императора Юй (около 2200 г. до н.э.) из вод Хуанхэ всплыла черепаха, у которой на панцире были начертаны таинственные иероглифы, эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату.

Традиционной сферой применения МК являются талисманы.

Гимназисты.Гимназия № 159

Дана “стайка девяти чисел”:3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33.

Найти закономерность размещения.

​

Гимназисты.Гимназия № 159

Ответ: 9, 11, 13-центральные точки.Их разместим по диагонали.17 и 5 находятся на одинаковом расстоянии от центра-11.Их также –на диагональ.19 и 3, 7 и 15 по токому же принципу.

​

Команда "Звездочки"

МОУ СОШ № 7

Магический квадрат

"Магическими" квадратами математики заинтересовались около 2000 лет назад. Квадрат в его традиционном виде составляется таким образом, чтобы сумма чисел по горизонталям, по вертикалям и по диагоналям была одной и той же. Мы предлагаем вам квадрат нового типа. На первый взгляд кажется, что в расположении чисел нет никакой системы. Тем не менее квадрат обладает совершенно магическим свойством, которое удивит всех.Можно предварительно запастись 5-ю монетами( по 10 копеек, по 2 копейки) и 20 бумажными марками размером с клеточку магического квадрата и пригласите вашего товарища воочию убедиться в волшебной силе квадрата.Попросите его назвать любое из чисел, записанных в клеточках квадрата. Положите монетку на это число, а затем закройте марками остальные числа, расположенные в том же ряду и в той же колонке. После этого ваш товарищ ещё раз называет любое из чисел, оставшихся незакрытыми. Снова вы закрываете это число монетой, а марками закрываете числа в том же ряду и в той же колонке. Повторите эту процедуру ещё 2 раза, и у вас останется одна незакрытая клеточка.Положите на неё вашу пятую монету. Когда вы сложите вместе все 5 чисел, на которые были положены монеты, у вас получится 57. И это не случайность! Вы можете предсказать вашему товарищу, что эта сумма обязательно будет равна 57, какие бы он числа не закрывал монетами. Хотя вы(как вам кажется) выбираете числа наобум,однако в действительности его выбор так определён поставленными условиями, что общая сумма неизбежно будет равняться 57.И это будет повторяться каждый раз, когда вы будете показывать этот математический фокус. Над разгадкой столь таинственных свойств квадрата мы предлагаем вам подумать.

​

Решение магического квадрата:

Секрет магического квадрата

Секрет магического квадрата раскрывается поразительно просто.Таблица квадрата образованна двумя рядами чисел: 12,14,18,0 и 7,0,4,9,2. Сумма всех чисел равна 57. Напишите первый ряд чисел по горизонтали над квадратом, а второй ряд-по вертикали у левой стороны квадрата. Число, записанное в первой клетке квадрата( первый ряд,первая колонка), 7+12 и т.д. Таким образом, каждое число в квадрате представляет собой сумму пары чисел из 2 исходных рядов. Эта пара исключается, когда вы кладёте монету на число. Условия фокуса составлены так, что всякий предыдущий раз монета кладётся а числа, находящиеся в разных рядах и колонках. Сумма 5 чисел, покрытых монетами, всегда будет равняться общей сумме исходных чисел. Зная секрет, вы можете сами построить волшебный квадрат. Сколько будет клеток в квадрате, какие числа будут использоваться для его построения- всё это совершенно не влияет на "магическое" свойство квадрата.

12 1 4 18 0

7

​

​

0

​

4

​

​

9

​

2

Источник: сборник "Твое свободное время" В. Н. Болховитинов, издательство "Детская литература"

"Октет"

БОУ города Омска "Лицей № 25»

​

«С XIV в. ученые стали создавать магические многоугольники, окружности, кресты, звезды, кубы, параллелепипеды, пучки и т.д. Так, магический прямоугольник, состоящий из двух панмагических квадратов, в которых совпадают суммы чисел по столбцам, строчкам, диагоналям, а также по ломаным диагоналям в обоих направлениях, построил математик древней Индии Пандит Нарайяна. (नारायण पण्डित) (1340 - 1400)

​

"Октет"

БОУ города Омска "Лицей № 25»

​

В его конструкции сумма чисел, стоящих в любой из ее строк, равна132, а в каждом столбце и на каждой из диагоналей – 66. Фигуру индусы с благоговением называли Vitana (небесный свод).

Используя конструкцию, ученый построил ряд магических фигур. Одна из них,называлась Padma (лотос).

​

ЗАДАЧА

​

Расставьте числа от 1 до 32 так, чтобы сумма чисел на четырех лепестках в квадрате и на лепестках в каждом круге была равна 132, а сумма чисел на двух лепестках - 66.

​

"Октет"

БОУ города Омска "Лицей № 25»

​

РЕШЕНИЕ

"Октет"

БОУ города Омска "Лицей № 25»

​

Источники информации

​

1. "Формирование учения о магических конструкциях до начала XVIIIстолетия"А.Е.Малых, В.И. Данилова (Вестник Пермского университета Вып.4-2012)

​

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Narayana_Pandit

"Октет"

БОУ города Омска "Лицей № 25»

​

Команда "Интеграл"

БОУ СОШ №99

​

​

Магический квадрат �

Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.�Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.�

Иллюстрация:

15

10 30

5 25 45

20 40

35

​

Иллюстрация:

10 35 30

45 25 5

20 15 40

​

​

РЕШЕНИЕ:

​

​

​

1. Добавим «крылышки» в средний столбец и в среднюю строку.�

2. Выделим по диагоналям клетки, которые мы заполним числами.�

3. Запишем в выделенные клетки заданные числа.�

�

4. Перенесем числа из «крылышек» во внутреннюю часть квадрата, как показано на рисунке.�

5. Квадрат готов

ИСТОЧНИК:

http://le-savchen.ucoz.ru/publ/1-1-0-16

Команда "Фиксики"

КОУ "Егоровская СОШ"

Задание 4: Составьте или найдите свое задание демонстрирующие свойства магических фигур, это могут быть задачи, головоломки, ребусы и т.д.

Множественный магический квадрат

.

​

​

​

Математика шахматной доски

Команда «Мистер Магистер & девчата» Мкоу «Таскатлинская СОШ»

Немного из истории

В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект.

Прежде всего, вспомним одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с арифметическим расчетом на доске. Когда индийский царь впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски — одно зерно, на второе — два, и так далее, на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал

зерен. Это число записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим.

Можно привести одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу n × n, заполненную целыми числами от 1 до n2 и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 1).

​

Рис. 1. Альмуджаннах и магический квадрат.

Математика шахматной доски

Команда «Мистер Магистер & девчата» Мкоу «Таскатлинская СОШ»

Задача: На какое максимальное число частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается (а поворачивать можно).

Решение: Максимальное число частей равно 18. На рис. 3 представлены два разреза. Решение на рис. 3,а принадлежит Лойду; особенность его состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рис. 3,б, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рис. 3,а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).

​

Рис. 3. Задача о разрезании доски.

Источник: http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/01.shtml

Команда "Эврика"

БОУ СОШ № 145 г.Омска

Магический квадрат 3х3

​

Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

​

​

Заполним квадрат по описанному алгоритму.

​

Решение

1. Добавим «крылышки» в средний столбец и в среднюю строку.

2. Выделим по диагоналям клетки, которые мы заполним числами.

3. Запишем в выделенные клетки заданные числа.

4. Перенесем числа из «крылышек» во внутреннюю часть квадрата, как показано на рисунке.

5. Квадрат готов.

​

Ответ:

​

​

Источники:

http://le-savchen.ucoz.ru/

​

​

Задание. Как самому составить волшебный квадрат из 16 клеток (4×4)?

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица n×n, заполненная n² числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Самым ранним в европейском искусстве считается Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I». Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

​

​

Команда: «Дружная семейка» (44)

Населённый пункт: г.Омск, БОУ «СОШ № 104»

​

​

Алгоритм

​

​

​

Команда: «Дружная семейка» (44)

Населённый пункт: г.Омск, БОУ «СОШ № 104»

​

Для составления волшебного квадрата, состоящего из 16 клеток (4×4) можно использовать нижеследующий алгоритм.

​

1 шаг

Расположите в шестнадцати клетках все целые числа, например от 10 до 25 по порядку, начиная с верхней, левой клетки.

2 шаг

Порядок следования чисел в строках 3 и 4 измените на обратный.

​

Алгоритм

​

​

​

Команда: «Дружная семейка» (44)

Населённый пункт: г.Омск, БОУ «СОШ № 104»

​

3 шаг

Поменяйте местами строки 2 и 3.

​

4 шаг

Порядок следования чисел во 2 и 3 столбцах измените на обратный.

​

5 шаг

Порядок следования чисел в строках 3 и 4 измените на обратный.

​

Решение

Команда: «Дружная семейка» (44)

Населённый пункт: г.Омск, БОУ «СОШ № 104»

​

Волшебный квадрат готов. Теперь осталось найти константу этого квадрата. (Ответ 70).

​

Таким образом, можно предложить задание:

Расположите в 16-ти клетках все целые числа

от 10 до 25 так, чтобы по всем строкам,

столбцам и диагоналям сумма была равна 70.

​

​

​

Источники литературы:

​

Кордемский, Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. – М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. – С. 264-265.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82

МКОУ «Бражниковская СОШ» структурное подразделение

«Аникинская ООШ»

Команда «Знатоки»

​

Кросс - сумма

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

МКОУ «Бражниковская СОШ» структурное подразделение

«Аникинская ООШ»

Команда «Знатоки»

​

Решение:

​

​

​

Борис Анастасьевич Кордемский ввел определение кросс-суммы, по ана­логии с кроссвордами (от английского сгозз - пересекаться, скрещиваться). Таким образом, кросс-суммы - это пересекаю­щиеся ряды чисел с одинаковыми суммами.

Начиная с простейшего расположения чисел в одну строчку и один столбец с пересечением, возникли задания, аналогичные кроссвордам. Есть кросс-сетка, только расставить в ней нужно не слова, а некоторые числа, чтобы получить требуемый результат. Друг от друга голо­воломки с кросс-суммами отличаются набором используемых чисел, исходной фигурой и количеством пересекающихся число­вых рядов, но имеют практически одинаковую формулировку:

расставьте числа __так, чтобы__.

​

МКОУ «Бражниковская СОШ» структурное подразделение

«Аникинская ООШ»

Команда «Знатоки»

​

​

​

​

МКОУ «Бражниковская СОШ» структурное подразделение

«Аникинская ООШ»

Команда «Знатоки»

Их красота определяется симметрией расположения. Это головоломки, которые не имеют общего правила решения, каждый раз требуется особый подход, новые размыш­ления. Задачи сгруппированы по исходной фигуре: круги, тре­угольники, квадраты, многоугольники и т. д.

Источники информации:

1. Б.А.Кордемский "Математическая смекалка"

Государственное издательство

физико-математической литературы,

Москва 1958г.

2. Магия чисел и фигур.

Автор - составитель: В.В. Трошин. М.- Глобус 2007г.

МЕТОД де ла Лубера.

Команда "ПЛЮСЫ"(83) МКОУ "Серебрянская СОШ"

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка. Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат .

Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

Источники: В.В.Трошин "Магия чисел и фигур" Глобус М. 2007

http://rudocs.exdat.com/docs/index-551371.html

​

​

Команда "ЭРУДИТЫ"

МКОУ "Большегривская СОШ"

Осознание магии чисел, которое было доступно древним, но отвергнуто затем материалистической наукой и сохранившееся лишь в оккультных науках, позволяет сделать вывод, что магические свойства чисел отражают скрытую в них реальность.

Магическая реальность чисел не может не проявляться в мире, сотканном из чисел по Единому закону. И Пифагор уже тогда это понимал лучше, чем многие самые лучшие современные умы, т.к. стереотип мышления не позволяет опускаться до мистики.

К одним из таких мистических проявлений универсальных законов, отражающихся в числах относятся магические фигуры, к которым относят нагруженными числовыми комбинациями звезды и цифровые квадраты.

Эти фигуры получили всеобщее распространение в средние века, во время подъема очередного интереса к нумерологической магии, как одной из ветвей оккультной науки.

Цель создания магических фигур заключалась в желании расширить и увеличить магическое воздействие цифр, оказываемое на материальный мир.

Цифровую фигуру называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и дают при определенных сочетаниях заранее задуманный составителем результат.

Команда "ЭРУДИТЫ"

МКОУ "Большегривская СОШ"

Задача 1

Расставьте числа от 1 до 15 так, чтобы по периметру каждого из четырех треугольников сумма была одинако-вой.

​

Решение

Источники информации:

http://vsemzagadki.narod.ru/magia_chisel/chislovye_treugolniki.html

http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

​

Команда "ЭРУДИТЫ"

МКОУ "Большегривская СОШ"

Задача 2

Расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы сумма четырех чисел в 3-х треугольниках со стороной 2 была одинаковой. Какие значения может принимать сумма?

​

​

Решение

Источники информации:

http://vsemzagadki.narod.ru/magia_chisel/chislovye_treugolniki.html

http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

​

Команда "ЭРУДИТЫ"

МКОУ "Большегривская СОШ"

Задача 3

Подберите 13 натуральных чисел, из них 11 различных, а 2 одинаковых и впишите их так, чтобы сумма трех чисел в каждом ряду вдоль линии равнялась 20.

​

​

Решение

Источники информации:

http://vsemzagadki.narod.ru/magia_chisel/chislovye_treugolniki.html

http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

​

Команда "ЭРУДИТЫ"

МКОУ "Большегривская СОШ"

Задача 4

В кружочки фигуры расставьте числа от 1 до 13 так, чтобы сумма четырех чисел, распо-ложенных в вершинах всех 11 квадратов, была постоянной.

​

​

Решение

Источники информации:

http://vsemzagadki.narod.ru/magia_chisel/chislovye_treugolniki.html

http://hypatia.magomir.ru/ariph/practica2.html

​

Команда "Омички"

БОУ г. Омска "Гимназия №26"

Магические квадраты изучены уже довольно глубоко. Существуют и другие магические числовые фигуры, например родственные квадратам, но менее известные магические звезды. Этот раздел занимательной комбинаторики неожиданным образом связан с теорией графов (графы мы изучаем на информатике).

Самая простая звезда — это всем знакомая пятиконечная. Именно эту звезду (ее называют Рождественской и помещают на макушке елки) мы учились рисовать одним непрерывным движением карандаша. Этот символ часто встречался на древнегреческих монетах. В Средние века и в эпоху Возрождения эта звезда называлась pentagram (пентаграмма) или pentalpha. Второе название «pentalpha» связано с тем, что звезда может быть получена наложением пяти заглавных букв «А».

​

​

Команда "Омички"

БОУ г. Омска "Гимназия №26"

Задача 1

Расставьте числа от 1 до 10 так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних кружках не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7.

​

Задача 2

Можно ли в кружках звезды расставить десять любых натуральных чисел так, чтобы суммы четырех чисел вдоль каждого из пяти отрезков были нечетными?

​

Команда "Омички"

БОУ г. Омска "Гимназия №26"

Решение задачи 1

​

Ответ к задаче 2

​

нельзя, так как, с одной стороны, для нечетной суммы на каждом из 4-х отрезков должно быть либо одно, либо три нечетных числа, но в эту сумму каждое из вписанных в кружочки чисел входит ровно 2 раза, а значит сумма будет четной.

​

Команда "Омички"

БОУ г. Омска "Гимназия №26"

Источник: Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике / Авт.-сост. В.В. Трошин – М.: Глобус, 2007 – 382 с.: ил. (Учение с увлечением)

​

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ПЛАНЕТАРНЫХ РАЗУМОВ

Обычно в церемониальной магии используются лишь семь квадратов Силы, которые называют Совершенной Силой, или квадратами Планетарных Разумов.

Совершенной Силой они называются потому, что сумма их горизонтальных рядов равна сумме вертикальных и равна сумме диагоналей.

Квадратами Планетарных Разумов они называются потому, что в оккультных науках эти фигуры сопоставляются с семью сферами бытия, окружающими материю.

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магический квадрат Сатурна

•

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магический квадрат Юпитера

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магический квадрат Марса

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магические квадраты Солнца

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магический квадрат Венеры

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магический квадрат Меркурия

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Магический квадрат Луны

​

«Дважды два» БОУ «СОШ №104»

•Древние Посвященные учили, что в квадратах Планетарных Разумов заложена великая сила, открыв которую, человек может вернуться к первоначальной свободе.

•А теперь посмотрите, как элегантно эти магические матрицы сворачиваются в Единую двойную спираль.

•Источник: http://www.milogiya2007.ru

​

​

​

​

​

​

​

Магия чисел

​

​

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников математики. Магические фигуры делятся на плоские и пространственные, так как существуют магические квадраты, треугольники, прямоугольники, многоугольники и круги, а также и магические кубы.

Отметим основные свойства магических квадратов.

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Свойство 3.Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрессии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило. Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сначала составить его из простейших чисел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения, деления, увеличения или же уменьшения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадратов с самыми разнообразными магическими суммами.

Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых.

Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.

​

ВДВ (Вседа Действуем Вместе)

МКОУ "Куликовская СОШ http://festival.1september.ru/articles/622285/

​

​

ВДВ (Всегда Действуем Вместе)

МКОУ "КУликовская СОШ"

Магия чисел

​

Существует очень много различных методов построения

магических квадратов:

• Индийский метод
• сиамский метод, метод Баше
• треугольники с магическим периметром
• магические круги

​

ВДВ (Всегда Действуем Вместе)

МКОУ "КУликовская СОШ"

Магия чисел

​

Капризные соседки

Ответ:

Разместите в кружках цифры с 1 по 8, но так, чтобы ни одну из цифр нельзя было соединить прямой линией - от кружка к кружку – с ее соседними цифрами в порядковом ряду (1,2,3,4,5,6,7,8). Цифры “капризные” и не хотят стоять рядом со своими соседками.

Магия чисел

ВДВ (Всегда Действуем Вместе)

МКОУ "КУликовская СОШ"

​

Разделите эту фигуру на четыре равные части так, чтобы сумма цифр в каждой одинаковой по форме части была равна одному и тому же числу.

​

​

Ответ.

Приложение к газете "первое сентября" Математика, 2000, № 2

Блус Вадим БОУ гюОмска "СОШ №83"

Магическая звезда

Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рисунке обладает магическим свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму

4 + 6 + 7 + 9 = 26 11 + 6 + 8 + 1 = 26

4 + 8 + 12 + 2 = 26 11 + 7 + 5 + 3 = 26

9 + 5 + 10 + 2 = 26 1 + 12 + 10 + 3 = 26

Но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды, другая:

4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.

Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?

​

"Живая математика" Я.И.Перельман

Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.

Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26. сумма же всех чисел звезды 78. Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78 – 26 = 52.

​

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трех сторон – получим 26 x 3 = 78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (т. е. сумма чисел внутреннего шестиугольника) должна, мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78 – 52 = 26; одно кратная же сумма = 13.

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с 10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2.

​

Разместить 16 офицеров

В каждом из четырех полков выбрано по четыре офицера разных званий (полковник, майор, капитан, лейтенант). Требуется разместить эти шестнадцать офицеров в виде квадрата так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду был офицер каждого звания и представитель каждого полка.

Решение:Обозначим для краткости звания офицеров буквами П, М, К, Л, а номера полков цифрами 1, 2, 3, 4. Очевидно, каждый офицер полностью характеризуется парой: (буква, цифра). Например, i (/С, 3)-капитан из третьего полка. Задача, следовательно, сводится к тому, чтобы в 16 клетках квадрата разместить по четыре буквы Я, М, К, Л и по четыре цифры 1, 2, 3, 4 так, чтобы в каждом горизонтальном и вертикальном ряду не было одинаковых букв и цифр. Кроме того, все пары (буква, цифра) должны быть различны.Расположим сначала буквы) так, как показано на рис 1.

рис.1

рис.2

Чтобы разместить цифры, мы сначала приставим к каждой букве соответствующую ей по порядку цифру (т.е. ко всем приставим 1, ко всем М приставим 2, ко всем К приставим 3, ко всем Л приставим 4), а затем переставим каждую цифру в клетку, симметричную относительно диагонали (П, К, Л, М). В результате получим рис. 170. Это расположение и является ответом к задаче.

"В царстве смекалки" Е.И.Игнатьев

"Геймеры" БОУ г.Омска "СОШ № 83"

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Осознание магии чисел, которое было доступно древним, но отвергнуто затем материалистической наукой и сохранившееся лишь в в оккультных науках, позволяет придти к выводу, что магические магические свойства чисел отражают скрытую в них реальность. Магическая реальность чисел не может не проявляться в мире, сотканном из чисел по Единому закону. И Пифагор уже тогда это понимал лучше, чем многие самые лучшие современные умы, т.к. стереотип мышления не позволяет опускаться до мистики. К одним из таких мистических проявлений универсальных законов, отражающихся в числах относятся магические фигуры, к которым относят нагруженными числовыми комбинациями звезды и цифровые квадраты. Эти фигуры получили всеобщее распространение в средние века, вол время подъема очередного интереса к нумерологической магии, как одной из ветвей оккультной науки. Цель создания магических фигур заключалась в желании расширить и увеличить магическое воздействие цифр, оказываемое на материальный мир. Цифровую фигуру называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и дают при определенных сочетаниях заранее задуманный составителем результат. Так, например, фигура Триады, отражает помимо триединства, двойственность, шестеричность и двенадцатеричность Мироздания, а две Триады образуют гексаграмму.

БОУ г.Омска "Средняя общеобразовательная школа №4 им.И.И.Стрельникова"

Задача №1: Заполните числами кружки так, чтобы сумма чисел в каждом ряду была равна 38 (рис. а).

​

Ответ показан на рис.б.

​

Команда "Волна"

БОУ г.Омска "Средняя общеобразовательная школа №4 им.И.И.Стрельникова"

Задача №2: Задача Эйнштейна. Девять кругов расположены так, как показано на рис. 3а. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежащих в вершинах каждого из семи изображенных на рисунке треугольников, была одна и та же.

Задача №3: Имеется три коробочки. В одной из них лежит шоколадка, в другой - яблоко, а в третьей ничего нет.

​

Ответ показан на рис.б.

​

Определи, в какой коробочке лежит шоколадка, если я подскажу тебе, что она лежит в одной из этих двух коробочек:

​

А ни в одной из этих нет яблока

​

​

​

Ответ: Шоколадка лежит в белой коробочке.

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

​

Команда "Волна"

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

БОУ г.Омска "Средняя общеобразовательная школа №4 им.И.И.Стрельникова"

Задача №4:

На столе лежат в ряд квадрат, круг и треугольник (именно в таком порядке). Одна из фигур красного цвета, другая - желтого, третья - синего. Определите цвет каждой фигуры, если известно, что квадрат не красный. И еще: с одной стороны от синей фигурки лежит желтая фигурка, а с другой стороны - красная.

Ответ: Квадрат - желтый, круг - синий, треугольник - красный.

Задача №5:

На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, ромб, круг и квадрат. Цвета этих фигур: зеленый, желтый, синий, красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зеленой и синей. Справа от желтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее треугольника и ромба, причем треугольник лежит с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой желтого цвета?

Ответ: Желтый треугольник, зеленый ромб, красный квадрат, синий круг.

​

Источник: http://www.igraza.ru/page-2-1-8.html

http://lib2.podelise.ru/docs/2/index-3593-1.html

http://www.school2100.ru/upload/iblock/d77/d77c7bf4bf795f96e14bd11f313f87e8.pdf

Команда "Волна"

​

Команда "Умники"

БОУ г.Омска СОШ №10

Команда "Пятёрка"

МКОУ "Замелетеновская СОШ"

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

​

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату.

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой.

​

Команда "Пятёрка"

МКОУ "Замелетеновская СОШ"

Зная, что все числа в этом магическом квадрате могут быть записаны в виде формулы у= 2+5х, где х варьируется от 0 до 24, найдите недостающие девять чисел.

112

7

92

107

57

52

77

17

82

37

47

42

67

87

117

27

Команда "Пятёрка"

МКОУ "Замелетеновская СОШ"

Решение:Сумма чисел в каждой строке, столбце или диагонали составляет 310.

​

112

2

7

97