ACLARACIONES IMPORTANTES

Este documento es una guía de estudio

No reemplaza a la bibliografía

Es orientativa de los contenidos

a abordar en los libros sugeridos

por la planificación de la cátedra

TENSIONES ALREDEDOR DEL PUNTO

GUÍA DE ESTUDIO Nro. 1

Variación de las tensiones alrededor del punto

Esfuerzo plano

ESFUERZO PLANO

Volviendo a los conceptos iniciales del tema, observemos qué ocurre en la sección transversal, con las tensiones normales cuando el plano de incidencia es rotado.

Antes de producir la rotación o cuando definimos la rotación del plano con ángulo de 0° respecto del plano y-z, las tensiones son solamente las tensiones normales s, cuyo valor ya sabemos obtener.

Si el plano de estudio se inclina respecto del plano y-z, aún las tensiones totales serán PARALELAS a la dirección del esfuerzo normal P. Pero su valor ya no es de conocimiento tan directo, ya que conceptualmente esas tensiones de la figura NO SON NORMALES al plano rotado.

La fuerza P se puede descomponer por medio de las funciones trigonométricas del ángulo θ.

De esta manera, nuevamente tenemos la incidencia de una fuerza normal (N)y otra tangencial (V) al plano de la sección inclinada considerada.

Se debe tener en cuenta también que la sección sobre la que actúan las fuerzas componentes también ha variado al inclinar el plano.

Al actuar sobre la superficie oblicua, las fuerzas N (normal) y V (tangencial) generarán las tensiones s y t, normales y tangenciales respectivamente.

El cálculo de estas tensiones son el cociente entre las fuerzas y el área oblicua.

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Recordando que: N = P/cos θ y V = P/sen θ

SISTEMA ESPACIAL COMPLETO SOBRE EL PUNTO

Cuando hablamos de un punto interior de una masa o un cuerpo, intuitivamente lo asociamos a una ESFERA.

Sobre esta esfera o punto, están actuando las fuerzas intermoleculares que transmiten y equilibran internamente al sólido solicitado por un sistema cualquiera de cargas.

La elección de los planos tangentes a la esfera es totalmente arbitraria y de hecho se puede cambiar su orientación, según el deseo de analizar la incidencia de las tensiones, además para nuestra mayor comodidad se le asigna a cada lado una valor de superficie unitario.

Si quiero analizar la situación tensional de un punto, deberé elegir un plano tangente a la esfera en una posición particular y observar que tipo, intensidad y dirección tiene esa tensión.

Para poder simplificar mi análisis, circunscribo la esfera en un cubo, cuyas caras serán tangentes a la esfera y determinarán en su punto de contacto, los puntos por los cuales pasaré mi sistema de referencia espacial x-y-z.

Este conjunto de tensiones podría ser el originado por flexión y corte.

Este otro por efecto de cargas verticales y corte directo.

Y finalmente tensiones tangenciales de torsión y cargas laterales.

La superposición de todos los estados tensionales posibles da lugar al último esquema.

Lógicamente que la orientación de los planos se hará coincidir con las direcciones de las tensiones que se originan en cada uno de los casos de las solicitaciones estudiadas por separado. Así comenzaremos a detallar cada una por separado y llegaremos a la complejidad máxima.

REDUCCIÓN A UN SISTEMA PLANO

Debe entenderse que la reducción al plano no significa transformar la pieza o estructura a una figura plana. Lo que se hace es analizar las solicitaciones como actuantes en un plano, de tal manera que se eliminan otras tensiones adicionales, SIN PERDER LA NOCIÓN ESPACIAL DEL PUNTO.

Vamos a reducir el sistema de cargas externas a un plano, en nuestro caso el plano x-y. Así se eliminarán todas las tensiones que tengan dirección en z y sus recíprocas.

QUEDANDO FINALMENTE UN SISTEMA EN EL CUAL HAY SÓLO 3 VALORES DE TENSIONES A DETERMINAR: s_x, s_y y t_xy

El sistema completo de tensiones es un sistema difícil de resolver, por lo que aplicando una serie de hipótesis y leyes específicas, vamos a ir disminuyendo su complejidad.

Este sistema posee 18 tensiones, tres por cara. Las tensiones normales s tienen su recíproca por lo que se simplifican a tres valores: s_x, s_y y s_z.

Aplicando el teorema de Cauchy de la reciprocidad de las tensiones tangenciales, podemos unificar los valores de las tensiones marcadas con el mismo color y resumir que quedarían sólo tres valores a tener en cuenta: t_xy, t_xz y t_zy.

Así, de una determinación de 18 tensiones, pasamos a un conjunto de 6 valores.

Nos queda la simplificación final, que es la reducción al plano.

Esta figura se denomina punto o cubo elemental, y sus caras tienen un área unitaria, para poder trabajar en forma simple.

Además, teniendo en cuenta que conocemos la magnitud de la profundidad en la dirección “z”, podemos dibujar la expresión más simplificada de nuestro punto.

Como expresamos anteriormente, esta representación sigue siendo la de un elemento espacial, en el cual el espesor se conoce pero se grafica de esta forma para simplificar los análisis subsiguientes.

La premisa inicial de nuestro análisis es que, a través de la proyección de planos en distintas posiciones, las tensiones irán cambiando de valor y de carácter, tal como lo hacen en la figura, cuando pasan las tensiones del plano vertical al horizontal.

Determinaremos la presencia de un par de tensiones – normal y tangencial - desconocidas:

s_x’ y t_x’y’

Las tensiones ahora actúan sobre áreas distintas. Veamos un corte espacial para su análisis.

Si a la superficie generada por el plano inclinado la llamamos DA, entonces las superficies verticales y horizontales donde actúan las tensiones dato valen lo expresado en la figura. El valor de las áreas es fundamental ya que para averiguar el valor de las tensiones incógnita deberemos recurrir a las ecuaciones de equilibrio y estas ecuaciones sólo pueden desarrollarse con fuerzas y no con tensiones.

En la figura se pueden ver las tensiones transformadas en fuerzas, es decir multiplicadas por el valor de la superficie sobre la cual actúan.

Ahora tenemos un sólido sometido a un conjunto de fuerzas CONCURRENTES Y COPLANARES, por lo que para su equilibrio sólo deben cumplirse dos ecuaciones de proyección sobre los ejes x e y

Estas ecuaciones paramétricas con variable en el ángulo de inclinación del plano de acción de las tensiones, utilizan como datos de partida las tensiones obtenidas originalmente por alguno de los métodos estudiados anteriormente.

La discusión ahora girará en torno al cálculo de las tensiones máximas mediante estas fórmulas. Interesa mucho saber bajo qué ángulo de rotación de los ejes se producirá el máximo de sus valores. Para ello utilizaremos la teoría de máximos y mínimos que nos da el Análisis Matemático.

Reemplazando al valor del ángulo en la fórmula paramétrica, obtendremos los valores máximo y mínimo de las tensiones normales.

Pero para calcular los valores de esas tensiones extremas deberemos recurrir a cierto artificio geométrico

t_xy

Asignamos catetos opuesto y adyacente con el numerador y denominador de la fracción

Por Pitágoras establecemos el valor de la hipotenusa del triángulo

En las fórmulas paramétricas necesitamos los valores del seno y coseno del ángulo doble, cuyos valores deducimos del triángulo que hemos elaborado:

Reemplacemos en las expresiones:

El numerador es el cuadrado del denominador, por lo cual se puede simplificar

t_xy

Denominador común, sumamos los numeradores

El doble signo de la raíz expresa que en la misma expresión se calculan el MÁXIMO y el MÍNIMO de esos valores de tensiones

Trabajemos ahora con t_x’y’

Expresión muy importante que nos dice que el sobre los ejes donde se producen las tensiones extremas, las tensiones tangenciales son nulas

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

La expresión de las tensiones tangenciales también puede ser derivada e igualada a cero, en busca de los valores máximo y mínimo.

La conclusión es que al encontrar los ejes de las tensiones NORMALES máxima y mínima, los ejes de las tensiones TANGENCIALES máxima y mínima, estarán desplazados a 45° de ellos.

Si observamos las expresiones, lo que es la tg para uno de los ángulos es la – cotg para el otro. En el círculo trigonométrico esto corresponde a dos ángulos separados en p/2, por lo que en el caso real, la diferencia es de 45°

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

Reemplacemos en las expresiones:

El numerador es el cuadrado del denominador, por lo cual se puede simplificar

Denominador común, sumamos los numeradores

Expresiones completas de las tensiones máximas y mínimas, tanto NORMALES como TANGENCIALES.

Calculadas a partir de los datos iniciales de las tensiones particulares de cada solicitación, e incluso con una combinación de distintas solicitaciones.

Ambas expresiones indican la validez de las expresiones paramétricas y la particularidad de que a cada eje de máxima, le corresponde un eje de mínima que se encuentra desplazado a 90°