UNIDAD # 3.3 : Distribuciones continuas
La distribución continua de probabilidad más importante es la distribución normal.
Es una curva con forma de campana, la cual describe muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y en la investigación
Características de calidad
Todas las características de calidad de algún producto que surgen de un proceso de manufactura (densidad, longitud, tiempo de vida, resistencia a la compresión del hormigón), deben seguir una distribución normal.
Si así no lo hicieran, se debe investigar la causa que produce esta anomalía
Función de distribución de probabilidad
Gráfico de la función de distribución de probabilidad
Propiedades de la curva normal
Propiedades de la curva normal
Si tomamos el área comprendida alrededor de una desviación estándar a la derecha de la media y una desviación estándar a la izquierda de la media, encontramos el 68,27 % de todos los valores.
Si la resistencia a la compresión de un cemento tiene una media es 2000 psi y la desviación estándar es 100 psi, entre 1900 y 2100 psi, encontramos el 68,27% de todas las probetas.
Propiedades de la curva normal
Si tomamos el área comprendida alrededor de dos desviaciones estándar a la derecha de la media y dos desviaciones estándar a la izquierda de la media, encontramos el 95,45 % de todos los valores.
Si la media es 2000 psi y la desviación estándar es 100 psi, entre 1800 y 2200 psi, encontramos el 95,45 % de todas las probetas.
Propiedades de la curva normal
Si tomamos el área comprendida alrededor de tres desviaciones estándar a la derecha de la media y tres desviaciones estándar a la izquierda de la media, encontramos el 99,73 % de todos los valores.
Si la media es 2000 psi y la desviación estándar es 100 psi, entre 1700 y 2300 psi, encontramos el 99,73 % de todas las probetas.
Propiedades de la curva normal
Distribución Normal Estándar
Dado que la integración de la función densidad de probabilidad de una variable aleatoria es una tarea difícil por los mecanismos habituales, se plantea una transformación de la variable
Distribución Normal Estándar
Aplicación
Una pintura especial para aeronaves tiene un tiempo de secado que se distribuye normalmente con media = 20 minutos y una desviación estándar de 0,8 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo de secado de la pintura sea de más de 21,5 minutos? ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo de secado este entre 19 y 20,5 minutos?
Aplicación
Distribución normal estándar acumulada
Aproximación normal a la binomial
Una variable aleatoria binomial puede aproximarse con la distribución normal cuando p no se halla cercano a cero ó a uno, con n grande (n≥ 30).
Si n no es suficientemente grande pero p está cercano a 0,5 la aproximación también es buena.
Aproximación normal a la binomial
Aproximación normal a la binomial�
Aproximación por continuidad
Consiste en aumentar el intervalo considerado en 0,5 a la izquierda y a la derecha del valor de X
Aplicación
Suponga que un proceso de producción de botellas trabaja con el 11 % de elementos defectuosos. Se extraen 100 botellas de la población, ¿cuál es la probabilidad de encontrar mas de 3 pero menos de 15 botellas defectuosas?
Aplicación
Distribución Exponencial
La distribución exponencial es un caso especial de la distribución Gamma.
En ciertas situaciones, la distribución exponencial encuentra aplicaciones para modelar el tiempo de respuesta de computadoras y cantidad de kilómetros entre dos baches a reparar en un carretera.
Función de distribución de probabilidad
Distribución Exponencial
Media y varianza
Aplicación
Distribución Gamma
Distribución muy utilizada para modelar problemas de confiabilidad de sistemas y consumo de agua y de energía en grandes ciudades.
La variable aleatoria X tiene una distribución gamma con parámetros α y β, si su función de densidad está dada por
Gráficos de la función gamma
Media y Varianza
Distribución ji cuadrada
Distribución ji cuadrada
Aplicaciones
Gráficos de la distribución ji cuadrada
Distribución de Weibull
Es una distribución de probabilidad que se usa fundamentalmente para modelar problemas ingenieriles sobre confiabilidad de sistemas complejos, formados por una gran cantidad de subsistemas, cada uno con una probabilidad de sobrevivencia.
Distribución de Weibull
Graficas de la distribución Weibull con α = 1
Grafico para velocidad de automóviles en una avenida en distintos puntos