1

16.07.2026

KOMPOZİTİN

TEORİK MUKAVEMETİ VE

VERİM ALMA SINIRLARI

4

(YAPISAL YÜKLEMELER SONUCU OLUŞAN GERİLME-ŞEKİL DEĞİŞTİRME HESAPLAMA ÖRNEKLERİ)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(Videolar 4a ve 4b.)

1. Fiber ve Matrise ait mukavemet sınır değerleri (kopma gerilmeleri) ve fiber hacimsel oranı belli iken kompozitin 1 ve 2 yönlerindeki çeki ve bası mukavemetlerini teorik olarak hesaplamak,
2. Yapısal yükleme sonucu oluşan gerilme ve şekil değiştirmeleri örnekler üzerinden anlatmak,

​

2

16.07.2026

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4.1 Bu Bölümde Amaçlarımız:

3. Termal yüklemelerde mukavemet sınırlarına eriştirecek sıcaklık artışlarını örnekler üzerinde formülüze etmek,
4. Fiberlerin yük taşıyabilmesi ve kompozitten dayanım açısından verim alınabilmesi için, fiber hacimsel oranının alt sınır değerlerini belirlemektir.

3

16.07.2026

1 yönündeki çekme yükününün ne kadarını fiberler taşır? önce bu soruya cevap arıyoruz:

4.2 Kompozit Yapıda Yük Dağılım Oranı Hesabı:

1 yönü için püf noktası: Birim uzamalar eşittir:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(4.1)

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

Kompozitteki toplam kuvvet

Fiberlere düşen kuvvet

Matrise düşen kuvvet

;

Temsili hacim elemanı:

4

16.07.2026

Aşama 1 :Fiberler ve matriste elastik şekil değiştirme oluşur.

​

Aşama 2: Fiberlerde elastik şekil değiştirme oluşmaya devam ederken, matris plastik şekil değiştirmeye uğrar.

​

Aşama 3: Hem fiberlerde hem de matriste plastik şekil değiştirme oluşur.

​

Aşama 4: Önce fiberler sonra matris hasara uğrar.

• Bu aşamalardan bazıları kompozit bileşenlerinin özelliklerine (gevreklik-süneklik gibi) bağlı olarak oluşmayabilir.

4.3 Kompozit Yapının Deformasyon Aşamaları

Sürekli fiberlerle, tek yönlü takviye edilmiş kompozit bir tabaka, 1 yönünde çekiye maruz bırakıldığında yükün artmasıyla birlikte dört aşamada deforme olur.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

• Dikkat: Fiberler daha yüksek mukavemetli olsa dahi üzerine gelen gerilme daha fazla olacağından öncelikle fiberler kopar. (Doğru ve verimli tasarlanmış bir tabaka için).

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

(Fiberler koptuğu anda kompozitin de hasara uğradığı kabul edilir. )

5

16.07.2026

• Fiberler ve matris kırılgan (gevrek) bir yapıya sahip ise 4.3 maddesinde anlatılan deformasyon aşamalarında plastik bölge olmayacaktır.

• Püf Noktası 3: Fiberler kırıldığı anda kompozit hasara uğramış kabul edilir.

• Dayanım açısından verimli bir kompozitte Fiberler matristen önce kırılır.

• Dolayısıyla fiberler koptuğu anda, kompozit b, matris c noktasındadır.

• Fiberler koptuğu anda matriste kopma oluşmamıştır. Matrisin kopması için d noktasına kadar gelmesi gerekir.

• Herhangi bir anda kompozitteki gerilme :

• Fiberlerin kırılma gerilmesi:

• Fiberler kırıldığında matristeki gerilme:

• Matrisin kopma mukavemeti:

(3.5)

Gevrek bir yapıda deformasyon aşamaları

Şekil 4.1

(4.5)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(E₁'in hesaplanmasında anlatılmıştı.)

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

• kompozitin 1 yönündeki teorik çeki mukavemeti...>>

6

16.07.2026

Çünkü 2 yönünde fiber ve matristeki gerilmeler eşit olacağı için en önce daha düşük mukavemetli olan matris kopacaktır.

Endüstrideki çalışma şartlarında yüklemenin geldiği doğrultu ile kompozitteki fiber doğrultusu (1) çakıştırılmalıdır ki dayanım açısından verimli bir yapı elde edilsin. Zira kompozitin 1 doğrultusu 2 yönüne göre daha dayanıklıdır. Yük doğrultusunun fiberlere dik doğrultu (2) ile çakıştırılması tek yönlü fiber takviyeli kompozitler için yanlış bir uygulama olacaktır. Hem 1 hem 2 yönünde yükleme sözkonusu ise bu durumda çift yön fiber takviyeli (cros-ply or woven fabric) kompozitlerin kullanılması daha doğru bir çözümdür.

(4.6)

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

Tek yönlü, sürekli fiber takviyeli tabaka için,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

7

16.07.2026

4.6 Teorik Bası Mukavemetleri�

• Fiberlerin bası mukavemeti:

• Fiberlerin bası hasarı anında matristeki gerilme:

1 yönünde bası yüklemesine maruz bir tabakada fiberlerin hasara uğradığı anda kompozitin de hasara uğradığı kabul edilir. Buna göre;

​

​

(4.7)

(4.8)

(4.11.a)

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

(Kompozitte 1 yönündeki herhangi bir andaki bası gerilmesini veren 3.5 denklemi, fiberlerin bası hasarına uğradığı an için yazılır.):

• Matrisin Bası Mukavemeti:

(4.9)

(4.10)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8

16.07.2026

3.9 konusu olan G₁₂ nin teorik hesabında da belirtildiği gibi sadece kesme yüklemesi durumunda kompozit, fiber ve matriste ortaya çıkan kayma gerilmeleri eşittir.

Buna göre kesme yüklemesinden dolayı ilk hasara uğrayacak bileşen en düşük kesme mukavemetine sahip olan matris olacaktır. (Çünkü ilk mukavemet sınırına matris ulaşacaktır. )

Sonuç olarak kompozitin kesme mukavemeti:

(4.11.c)

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Herhangi bir kesme yüklemesi anında

(4.11.b)

Not: Bazı özel durumlarda fiberin kesme mukavemeti matrisinkinden daha düşük olabilir. Bu durumda kompozitin teorik kesme mukavemeti fiberin kesme mukavemeti alınmalıdır.

9

16.07.2026

Örnek 4.1

Tabloda özellikleri verilen matris ve fiber malzemelerden, tek yönlü ve sürekli fiber takviyeli bir ortotropik kompozit tabaka üretilecektir. 400mm x 400mm x 4mm boyutlarındaki bu tabakada %25 hacimsel oranında fiber kullanılacaktır. Buna göre,

a-) 1 yönünde çekme yapıldığında, kompozitin hasara uğrayacağı anda, fiberlerdeki ve matristeki gerilmeleri bulunuz.

b-) Bu tabakaya 1 ve 2 Yönlerinde aynı anda F₁=80kN, F₂ = 48kN luk çeki kuvvetleri uygulanırsa, kompozit, fiber ve matriste, 1 ve 2 yönlerinde ortaya çıkacak gerilmeleri ve toplam şekil değiştirmeleri (uzamaları) ayrı ayrı hesaplayınız.

c-) Poisson etkisini ihmal etmeseydik, c şıkkında bulduğumuz 2 yönündeki toplam uzama ne kadar değişirdi?

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

10

16.07.2026

Çözüm:

a)

(4.3) denkleminden:

Diğer şıkları çözebilmek için, önce ortotropik özellikleri hesaplamalıyız:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

11

16.07.2026

Kompozitteki gerilmeler:

b-)

1 Yönünde kompozitteki birim uzama (gerinme):

1 yönünde kompozitteki toplam uzama:

(2.17.a) denkleminden

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

2 Yönünde kompozitteki toplam uzama :

2 yönündeki kompozitteki birim uzama (gerinme):

(2.17.b) denkleminden

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

12

16.07.2026

Yani (3.3) denkleminden, fiber ve matristeki 1 yönünde birim uzamalar eşittir:

1 yönünde birim uzamalar eşittir. (P.N -1’den)

2 yönünde gerilmeler eşittir. (P.N -2’den)

Yani (3.6) denkleminden, fiber ve matristeki 2 yönünde gerilmeler eşittir:

(2.15.a) denkleminden:

İzotropik malzemeler için geçerli olan Hooke bağıntılarını fiber ve matris için ayrı ayrı uygulayabiliriz. (Çünkü fiber ve matris malzemeler izotropiktir.):

0

0

(2.15.b) denkleminden

0

0

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

Püf Noktası

13

16.07.2026

c-)

Poisson etki faktörü :

Kompozitteki 2 yönündeki birim uzama:

Poisson etkisini dikkate aldığımızda değişen değerler E₂ ve ν₂₁ dir.

Poisson etkisi ihmal edilmezse etkilenen değerlerin üstüne (*) koyuyoruz.

2 Yönünde kompozitteki toplam uzama

Poisson etkisi ihmal edilmezse:

Poisson etkisi ihmal edilirse:

olarak bulunmuştu.

(3.10b) denkleminden:

(3.13) denkleminden:

(3.10.a) denkleminden:

(2.17.b) denkleminden:

Fark:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

14

16.07.2026

Örnek Problem 4.2

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Örnek 4.1 deki tabaka, şekildeki gibi, kendi boyutlarına uygun sabit bir oyuğun içerisine yerleştiriliyor ve 1 yönünde F= 60kN luk bir bası kuvvetine maruz bırakılıyor. Buna göre; bu tabakanın 1 ve 2 doğrultularında kenar uzunluklarındaki değişimleri hesaplayınız. (Tabakanın ait, arka ve yan yüzeyleri oyukla temas halindedir.).

Çözüm:

1 yönündeki gerilme:

Sınırlamadan dolayı 2 yönündeki birim ve toplam şekil değiştirmeler sıfırdır.

1 yönündeki toplam kısalma:

Denk.(2.13.b)’ den

Denk. (2.13.a)’ dan

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

15

16.07.2026

İlk sıcaklığı 23 C olan bir alüminyum plaka şekildeki gibi iki sabit duvar arasına yerleştirilmiştir. Buna göre,

a-) Alüminyum plaka, bu sınır şartlarında 120 ^oC sıcaklıkta kullanılabilir mi? hesaplayınız.

Örnek Problem 4.3* ^{(video 9)}

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(* Dikkat: Bu örnek ısıl yüklemelerle ilgili formül çıkarmaları da içermektedir.)

Aynı alüminyum plaka, %25 oranında çelik fiberlerle tek yönlü takviye edilerek bir kompozit yapı oluşturulacak ve bu yapı yine iki sabit duvar arasına yerleştirilecektir. Buna göre bu kompozit yapı için, aşağıdaki soruları hesaplamalarla cevaplayınız.

b-)Bu kompozit yapı 120 ^oC’de kullanılabilir mi?

c-) Sağ duvar kaldırıldığında, kompozit yapı dayanım sınırları içerisinde en fazla hangi sıcaklığa kadar ısıtılabilir?

d-) Sağ duvar kaldırıldığında, izin verilebilir (emniyetli) maksimum sıcaklıkta kompozit yapının matris bileşeninde ortaya çıkacak gerilme değeri ne olur?

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

16

16.07.2026

a-) Alüminyum plaka 120 ^oC de sıcaklıkta kullanılabilir mi?

P

= 0

Alüminyum en fazla akma sınırına kadar ısıtılabilir. Sınır durumda σ = σ_akma

Süperpozisyon prensibine göre, sağ duvarı önce kaldırıp sıcaklığı arttırıyoruz, sonra duvardan gelen P tepki kuvvetini uyguluyoruz.Toplam uzama ( δ ) nın sıfır olmasından hareket ediyoruz.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

17

16.07.2026

b-) %25 oranında çelik fiberlerle tek yönlü takviye edilmesi durumunda aynı çalışma sıcaklığında (120 ^oC de) plaka kullanılabilir mi?

(4.12)

1 Yönünde Sınırlandırılmış bir ortotropik tabakada, herhangi bir andaki sıcaklık farkı :

a şıkkındaki aynı çözüm yolunu bu sefer ortotropik kompozit yapı için kullanacağız. Değişen tek şeyin Hooke bağıntılarındaki malzeme sabitleri olduğuna dikkat ediniz.

Son eşitlikten…>>

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

18

16.07.2026

O halde (4.12) formülünden:

1 Yönünde sınırlandırılmış bir ortotropik tabakaya, mukavemet sınırları içerisinde uygulanabilecek maksimum sıcaklık farkı:

(4.13)

Kompozit sınırlandırılmış durumda bu sıcaklığa kadar kullanılabilir.

Not: Sınırlandırılmış durumda şekil değiştirme tamamen engellenir. Bunun için ise her iki duvarının da olması şarttır.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Denk. 4.4’den..>>

Denk. 4.3’den..>>

(Bknz: konu 4)

Denk. 3.4’den..>>

Denk. 4.13’den..>>

Denk. 3.34’den..>>

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

19

16.07.2026

c-) Sağ duvar kaldırıldığında, kompozit yapı dayanım sınırları içerisinde en fazla hangi sıcaklığa kadar ısıtılabilir?

​

3.14 maddesinde anlatıldığı gibi kompozitin serbest olarak genleşmesine izin verilse dahi, fiber ve matriste, 1 yönünde gerilmeler oluşacaktır. Fiberler, termal uzamaya ilaveten matrisin kendisini çekmesiyle de bir miktar daha uzar.

Kompozitteki toplam uzama

Fiberdeki toplam uzama

Termal uzama

Matrisin fiberi çekmesi sebebiyle oluşan uzama

=

=

Serbest durumda herhangi bir anda sıcaklık farkı :

: Matrisin fiberleri çekmesinden kaynaklı gerilme

(4.14)

Serbest durumda izin verilebilir maksimum sıcaklık farkı:

(4.15)

Üstteki eşitlikten

İncelediğimiz örneğin bu c şıkkı için, sağ duvar kaldırıldığından sınırlandırılmamış durum sözkonusudur. 4.15 denkleminden maksimum sıcaklık farkı :

(Sağ duvar kaldırıldığında dayanım sınırları içinde çıkılabilecek maksimum çalışma sıcaklığı)

Not: Sağ veya sol duvarlardan birisi veya ikisi birden kaldırılmış olsa uzamaya izin verilmiş olur ve Serbest durum elde edilir.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

20

16.07.2026

=

Termal uzama

Fiberlerin matrisin uzamasını engellemesi sebebiyle oluşan kısalma

: Fiberlerin matrisin uzamasını engellemeye çalışmasından kaynaklı gerilme

(4.16)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Kompozitteki toplam uzama

Matristeki toplam uzama:

=

d-) Sınırlandırılmamış durumda izin verilebilir maksimum sıcaklıkta matristeki gerilmeyi hesaplayacağız:

Maksimum sıcaklık farkı c şıkkında bulunmuştu. Bu anda matristeki gerilme:

(4.17)

Veya 2nci yol

Serbest durumda ısıl yükleme için:

Denk. 3.5 den :

Dikkat edilirse maksimum sıcaklıkta matrisin akma sınırı (150MPa) aşılmamıştır ve matriste hasar oluşmaz.

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

21

16.07.2026

Örnek Problem 4.4

Demir çubukların betona yerleştirilmesiyle elde edilmiş 12cm çapında, 24cm uzunluğunda silindirik bir donatı numunesi, alt ve üst kısımlarından iki silindirik rijid levha arasına yerleştirilerek basma testine tabi tutuluyor. Test sırasında bası kuvveti P₁ =700kN iken numunenin boyunda 0,4mm lik bir çökme (kısalma) ölçülmüştür. Buna göre,

a-) Bu malzeme aniztropik malzeme tiplerinden hangi özel tipe girer?

(Cevap: Enine İzotropik Malzeme)

c-) Bu numunede 700kN luk bası kuvveti için betondaki ve demir çubuklardaki gerilmeleri hesaplayınız.

(Cevap: betondaki gerilme: -53,34MPa, demirdeki gerilme : -333.4MPa)

d-) Numunenin dayanabileceği maksimum bası kuvvetini teorik olarak hesaplayınız. (Cevap: 839,66kN)

e-) Aynı malzeme özelliklerine sahip, 1m x 0.5 m lik dikdörtgen kesitli bir kolonda, 24mm çaplı demir çubuklardan kaç tane kullanılmalıdır? (Cevap: 34 tane)

b-) Numune çapındaki daralmayı bulunuz. (Cevap: 40,56x10^-3mm)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

22

16.07.2026

• Dayanım açısından düşündüğümüzde, matrisi fiberlerle takviye etmekteki hedefimiz matristen daha dayanıklı bir yapı elde etmektir.
• Bunun için ise fiber oranının belirli sınır değerlerin üstünde kalması gerekir.
• Aksi taktirde yapılacak bir kompozit üretiminin hiçbir faydası ve anlamı olmayacaktır.

4.8 Kompozitten Verim Alma Sınırları

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

• Şimdi bu sınır değerlerin teorik olarak nasıl hesaplandığını göreceğiz:..>>

23

16.07.2026

0

Kopma Anında kompozitin mukavemeti:

(4.18)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

(Unutmayın: 4.18 denklemi fiberlerin yük taşımadığı ve hemen koptuğu durum için geçerlidir.)

24

16.07.2026

veya

(4.18)

=

(4.4)

birim uzamalar cinsinden :

(4.19a)

(4.19b)

olduğunda fiberler yük taşır denir.

4.2, 4.3 ve 4.5 denklemleri dikkate alınarak,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

25

16.07.2026

veya

birim uzamalar cinsinden

olduğunda kompozitten verim alınır.

Daima geçerlidir.

(4.20a)

(4.20b)

Üstteki eşitlikten,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

(4.4) denklemi

4.8.3 Fiber Hacim Oranı – Kompozit Mukavemeti Diyagramı

26

16.07.2026

Bu 4ncü konuda anlatılanların grafiksel özeti yanda görülmektedir.

Önemli noktalar:

1. 0 < V_f < V_fmin bölgesinde:

fiberler hemen kopar ve tüm yükü matris taşır. Kompozit mukavemeti matrisin hasara uğradığı an kabul edilir.

2. V_fmin< V_f < V_fcr bölgesinde:

fiberler yük taşır ancak kompozitten verim alınmaz.

3. V_fcr < V_f <1 bölgesinde:

fiberler yük taşır ve kompozitten verim alınır.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

Diyagramı farklı durumlar için yorumlamaya çalışın.

27

16.07.2026

Örnek 4.5

Her ikisi de gevrek karekter gösteren matris ve fiber malzemelerden tek yönlü takviyeli bir ortotropik tabakada üretilmiştir. Tabakanın boyutları 400mm x 400mm x 8mm olup, malzeme özellikleri üstteki tabloda verilmiştir. Yapıda %25 oranında fiber kullanılmıştır. Buna göre;

a) Fiberlerin yük taşıyıp taşıyamayacağını,

b) Kompozitten verim alınıp alınamayacağını belirleyiniz.

c-) Bu yapının 1 ve 2 yönlerinde taşıyabileceği maksimum çeki kuvvetlerini hesaplayınız.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

28

16.07.2026

Çözüm:

b) Kritik fiber oranı

a) Minimum fiber oranı

(4.19b) denkleminden:

(4.20b) denkleminden

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları

29

16.07.2026

Fiber mukavemeti:

c-)

= 55,575 x 400 x 8

4.5 konusunda açıklandığı gibi, 2 yönünde kompozitin mukavemeti matrisin mukavemetine eşit olur.

Matris mukavemeti:

Fiberlerin kopma anında matristeki gerilme:

1 yönünde Kompozit Mukavemeti:

1 Yönünde uygulanabilecek maksimum çeki kuvveti :

2 Yönünde uygulanabilecek maksimum çeki kuvveti :

2 yönünde Kompozit Mukavemeti:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

4. Kompozitin Teorik Mukavemeti ve Verim Alma Sınırları