ПРЕЗЕНТАЦІЯ
Тема уроку
“Елементи комбінаторики. Перестановки, розміщення, комбінації”
МЕТА УРОКУ:
*УМІННЯ ВЧИТИСЯ ВПРОДОВЖ ЖИТТЯ;��*МАТЕМАТИЧНУ КОМПЕТЕНТНІСТЬ;��*ІНІЦІАТИВНІСТЬ ТА ПІДПРИЄМЛИВІСТЬ;��*СОЦІАЛЬНО - ГРОМАДЯНСЬКУ КОМПЕТЕНТНІСТЬ.
ХІД УРОКУ.
ОРГАНІЗАЦІЙНА ЧАСТИНА
*Описати психологічний стан особистостей
АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ
ПОВТОРЕННЯ матеріалу до ЗНО
Множина може містити будь-яку кількість елементів. Якщо множина містить скінчене число елементів, то вона називається скінченною множиною.
Якщо ж число елементів множини нескінчене, то і множина називається нескінченною.
Якщо множина не містить жодного елемента, то таку множину називають порожньою і позначається Ø .
Якщо множини складаються з одних і тих же елементів, то такі множини називаються рівними.
Наприклад: {12; 13; 14; 15} = {15; 14; 13; 12}.
ПОЯСНЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
ПЛАН:
Комбінаторика:
Основні формули комбінаторики:
Перестановки, приклади Виконання вправ
Розміщення , приклад1, приклад2 Виконання вправ
Комбінації, приклад Виконання вправ
Основні закони комбінаторики:
Зміст матеріалу Приклади Виконання вправ
Підсумок заняття
ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ ПОНЯТТЯ
Термін «комбінаторика» був введений в математичний ужиток Лейбніцем, який в 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво».
Готфрід Вільгельм Лейбніц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) - німецький філософ, математик, механік, юрист, дипломат.
Комбінаторика – важливий розділ математики, знання якого необхідно представникам різноманітних спеціальностей.
З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодам та ін. Комбінаторні методи лежать в основі рішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосувань.
Методи розв'язування таких задач вивчають у розділі математики, який називається комбінаторикою, а самі задачі — комбінаторними.
Приклади комбінаторних задач:
ФАКТОРІАЛ�
Означення 1. Факторіал — це добуток послідовних натуральних чисел. n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n.
Наприклад : 1! = 1;
2! = 1 ∙ 2 = 2;
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6;
4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 3! ∙ 4 = 24.
Приймають, що 0! = 1.
Термін «факторіал» походить від англійського слова «фактор» — множник.
ПРИКЛАДИ
1) Обчислити:
2) Спростити:
ПЕРЕСТАНОВКИ
Рn = n!
ПЕРЕСТАНОВКИ.
ПЕРЕСТАНОВКИ
Означення 2. Будь-яка впорядкована множина, що складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.
Перестановки відрізняються одна від одної лише порядком елементів.
Приклад 1. Із елементів множини А = {2, 4, 5} можна утворити 6 перестановок: {2, 4, 5}, {2, 5, 4}, {4, 2, 5}, {4, 5, 2}, {5, 4, 2}, {5, 2, 4}.
Кількість усіх можливих перестановок у множині з n елементів позначається Рn. Обчислюється за формулою:
Рn = n!
Приклад 2. 12 осіб можна розмістити за столом, біля якого поставлено 12 стільців, РІ2= 12! способами.
ВПРАВИ�НА ЗАКРІПЛЕННЯ ФОРМУЛИ ЧИСЛА ПЕРЕСТАНОВОК
РОЗВ'ЯЗАННЯ
Обчисліть:
РОЗВ'ЯЗАННЯ
Обчисліть:
РОЗВ'ЯЗАННЯ
Скількома способами можна розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях?
Щоб обчислити скільки способів існує для того щоб розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях треба знайти число перестановок :
РОЗМІЩЕННЯ
РОЗМІЩЕННЯ
�ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ КІЛЬКОСТІ РОЗМІЩЕНЬ�
Приклад 2. Студенту потрібно скласти 4 іспити на протязі 8 днів. Скількома способами це можна зробити
Розв'язання:
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 3. Скількома способами можна розсадити 4 учні на 25 стільцях?
Відповідь: = 303 600.
ПРИКЛАД 4.
Обчисліть:
ПРИКЛАД 5.
Обчисліть:
ПРИКЛАД 6.
Розв'яжіть рівняння:
Розв'язати рівняння означає знайти змінну x.
Тобто тоді
Отже враховуюче, що x – натуральне число, отримаємо x=1.
Відповідь: 1
ПРИКЛАД 7.
Кожен вибір трьох медалістів з 10 учасників відрізняється один від одного складом і порядком розташування учасників, тоді треба обчислити число розміщень з 10 по 3:
КОМБІНАЦІЇ
КОМБІНАЦІЇ
Будь-яка не упорядкована підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів, де m ≤ n, називається комбінацією з n елементів по m.
Порядок елементів у множині неістотний, комбінації відрізняються лише складом елементів. Кількість усіх можливих комбінацій з n елементів по m позначається символом
Комбінація відрізняється від розміщення тим, що у цій підмножині неістотним є порядок елементів.
У загальному випадку кількість комбінацій з n елементів по m елементів можна обчислити за формулою:
�ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ КІЛЬКОСТІ КОМБІНАЦІЙ�
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
Приклад1: Скількома різними способами можна вибрати з 15 осіб делегацію в складі 3 осіб?
Розв'язання:
Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б однією особою. Отже, треба обчислити
Відповідь. Існує 455 способів.
ПРИКЛАД 9.
Обчисліть:
ПРИКЛАД 10.
Обчисліть:
ПРИКЛАД 11.
Скільки прямих можна провести через 7 точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій?
Кожні дві точки визначають одну пряму, і при цьому не відіграє ролі в якому порядку вони взяті. Тому число прямих дорівнює числу комбінацій з 7 по 2, тобто
ПРИКЛАД 13. СКІЛЬКОМА СПОСОБАМИ МОЖНА ЗАКРЕСЛИТИ 6 НОМЕРІВ ІЗ 49 В КАРТЦІ “СПОРТЛОТО”
Розв'язання:
Якщо в комбінаторній задачі необхідно вибрати k елементів з n, то важливим є питання – необхідно враховувати порядок слідування елементів чи ні.
В класі 20 учнів. Скількома способами з цього класу можна вибрати... | |
старосту й його заступника | двох чергових |
| |
ПРАВИЛА СУМИ І ДОБУТКУ
Комбінаторні задачі бувають різних видів. Але більшість із них розв'язують за допомогою двох основних правил: правила суми і правила добутку.
Вибір правила
Правило суми:
Або елемент a або елемент b.
Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a або b можна здійснити (m+n) способами.
Правило добутку:
І елемент a і елемент b.
Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a і b можна здійснити (m*n) способами.
ПРИКЛАД 14.
7 книг різних авторів і трьохтомник одного автора розташовані на книжковій полиці. Скількома способами можна розставити ці 10 книжок на полиці так, щоб книги автора трьохтомника стояли поруч?
ПРИКЛАД 16.
Збори з 30 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів редакційної комісії. Скількома способами це можна зробити?
ПРИКЛАД 17.
У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами можна виділити наряд, який складається із трьох солдат і одного офіцера?
ПІДВЕДЕННЯ ПІДСУМКІВ. �
ПРИКЛАДИ
Приклад 1: У групі 9 дівчаток і 11 хлопців. Скількома способами можна вибрати 1 студента для роботи біля дошки?
Розв'язання: Для роботи біля дошки ми можемо вибрати дівчинку 9 способами або хлопця 11 способами.
Загальна кількість способів дорівнює 9 + 11 = 20.
Приклад 2: На вершину гори ведуть 5 доріг. Скількома способами можна піднятися на гору і спуститися з неї?
Розв'язання : Для кожного варіанту підйому на гору існує 5 варіантів спуску з гори. Значить всіх способів піднятися на гору і спуститися з неї 5 ∙ 5 = 25.
Вибір формули
Чи враховується порядок розміщення елементів?
так
ні
Чи всі елементи входять в сполуку
Комбінації
так
ні
Переставновки
Рn = n!
Розміщення
2) А також взнали і навчилися розрізняти види сполук (перестановки, розміщення, комбінації).
3) взнали і навчилися розрізняти два основні правила комбінаторики.
Вибір правила
Або a або b
І a і b
Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a або b можна здійснити (m+n) способами.
Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a і b можна здійснити (m*n) способами.
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Дедалі частіше в житті приходиться розв'язувати задачі, головним питанням у яких є: «Скількома способами це можна зробити?»
• Скільки прямих можна провести через 7 точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій?
• Скількома способами можуть бути присуджені золота, срібна або бронзова медалі трьом учасникам з 10?
• Скількома способами можна розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях?
У цих задачах задано елементи для комбінування і вимагається знайти кількість можливих комбінацій.