Рівнобедрений трикутник

Ольга ФЕНЕНКО

Класифікація трикутників за сторонами

Трикутник, у якого дві сторони рівні

рівнобедрений трикутник

Трикутник, усі сторони якого різні завдовжки

різносторонній трикутник

Трикутник, усі сторони якого рівні

рівносторонній трикутник

Теорема 1. (властивість кутів рівнобедреного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Доведення.

Нехай ABC – рівнобедрений трикутник з основою AB.

Доведемо, що в нього ∠A = ∠B.

Оскільки AC = BC, CB = CA і ∠C – спільний для трикутників ACB і BCA, то ∆ACB = ∆BCA (за першою ознакою).

З рівності трикутників випливає, що ∠A = ∠B.

Теорему доведено.

Наслідок

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

Доведення.

Розглянемо рівносторонній ∆EFT, у якого EF = FT = ET.

Оскільки EF = FT, то його можна вважати рівнобедреним з основою ET.

Тому ∠E = ∠T.

Аналогічно (вважаючи основою FT) маємо, що ∠F = ∠T.

Отже, ∠E = ∠T = ∠F.

Доведено.

Задача 1.

На малюнку AB = BC, AD=EC. Доведіть, що ∠BDE = ∠BED.

Доведення.

1) Оскільки AB = BC, то ∆ABC – рівнобедрений з основою AC.

Тому ∠A = ∠C.

2) ∆BAD = ∆BCE (за першою ознакою).

Тому BD = BE.

3) Отже, ∆BDE – рівнобедрений з основою DE.

Тому ∠BDE = ∠BED, що й треба було довести.

Теорема 2 (ознака рівнобедреного трикутника).

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Наслідок

Якщо у трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Доведення.

Нехай ∆ABC такий, що ∠A = ∠B = ∠C.

Оскільки ∠A = ∠B, то AC = BC.

Оскільки ∠A = ∠C, то AB = BC.

Отже, AC = BC = AB, тобто ∆ABC – рівносторонній.

Доведено.

Задача 2.

Дано: ∠1 = ∠2.

Довести: ∆KLM – рівнобедрений.

Доведення.

1) ∠KLM = ∠1 (як вертикальні), ∠KML = ∠2 (як вертикальні).

2) ∠1 = ∠2 (за умовою). Тому ∠KLM = ∠KML.

3) Отже, ∆KLM – рівнобедрений (за ознакою рівнобедреного трикутника).

РІВНОБЕДРЕНИЙ

№ 344. (Усно.) Який з трикутників, зображених на малюнку, є рівнобедреним, який – рівностороннім, а який – різностороннім? Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, зображеного на цьому малюнку.

РІВНОСТОРОННІЙ

РІЗНОСТОРОННІЙ

№ 348. ∆ABC - рівносторонній, AB = 12 см. Знайдіть його периметр.

№ 350. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює 7 см, а основа на 2 см менша від бічної сторони.

№ 352. (Усно.) Чи може бути рівнобедреним трикутник, усі кути якого різні? Відповідь обґрунтуйте.

Ні.

У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.

№ 353. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, а бічна сторона – 7 см. Знайдіть основу трикутника.

Фізкультхвилинка

https://www.youtube.com/watch?v=ro320aiyesc

​

№ 355. Периметр рівнобедреного трикутника ACD з бічними сторонами AC і AD дорівнює 30 дм. Знайдіть довжину бічної сторони, якщо CD = 12 дм.

З цього слідує, що ∠KAC = ∠MBC

Доведено.

№ 359. Чи правильні твердження:

1. будь – який рівносторонній трикутник є рівнобедреним;
2. будь – який рівнобедрений трикутник є рівностороннім?

№ 360. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 14 см і він більший за суму двох бічних сторін на 6 см.

Розв’язання.

Периметр більший за суму бічних сторін на довжину основи:

AB = 6 см;

AC = BC = (14 – 6) : 2 = 4 см.

Відповідь: 6 см; 4 см; 4 см.

№ 361. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр 44 см, а бічна сторона на 4 см більша за основу.

№ 363. На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначено точки K і L так, що AK = LC. Доведіть, що AL = KC.

Доведення.

Розглянемо ∆AKC і ∆CLA:

AC – спільна

AK = LC – за умовою;

∠A =∠C – за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника.

∆AKC = ∆CLA – за двома сторонами і кутом між ними (перша ознака рівності).

З рівності трикутників слідує рівність сторін:

AL = KC.

Доведено.

№ 365. Сторони рівностороннього трикутника ABC продовжено на рівні відрізки AK, BL і CM. Доведіть, що ∆KLM – рівносторонній.

Вправа «Рівнобедрена ялинка знань»