Rancangan Acak Lengkap

(Completely Randomized Design)

1

Pendahuluan

• RAL merupakan rancangan percobaan dengan galat terkontrol yang paling sederhana
• Penggunaan RAL didasarkan pada ketersediaan satu set satuan percobaan yang homogen
• Prosedur:

Misalkan kita mempunyai t perlakuan dan N = tr satuan percobaan. Bagilah satuan-satuan percobaan tersebut secara acak menjadi t kelompok yang masing-masing terdiri atas r satuan percobaan. Alokasikan t perlakuan ke dalam kelompok tersebut sedemikian rupa sehingga perlakuan ke-i diterapkan sebanyak r kalidi setiap satuan percobaan dalam kelompok ke-i (i = 1, 2, …, t). Prosedur ini mendefinisikan rancangan acak lengkap dengan ulangan yang sama untuk t perlakuan.

2

Proses Pengacakan

1. Lakukan pengundian seperti mengundi pemenang arisan:

Beri nomor satuan percobaan dengan 1, 2, …, N. Buat gulungan kertas dan beri nomor k = 1, 2, … N. Aduk gulungan kertas dan ambil satu, tandai gulungan tersebut dengan label (11). Sisihkan gulungan tersebut, dan ambil gulungan kertas berikutnya lalu beri label (12). Lakukan berkali-kali sampai seluruh gulungan terambil dan yang terakhir beri label (tr). Setiap gulungan sekarang telah mendapat nomor dan label. Misalnya suatu gulungan bernomor k dan berlabel (ij), maka ini merepresentasikan satuan percobaan ke k merupakan ulangan ke j dari perlakuan ke i.

​

3

Proses Pengacakan …

2. Pengacakan dengan menggunakan tabel bilangan acak:

Asosiasikan bilangan 1, 2, …, N = tr secara acak dengan satu set label 11,12, …, 1r, …, tr. Misalnya N = 12 dan t = 3 dan r = 4. Dengan dua digit bilangan random, kita dapat menggunakan 01, 02, 03, …, 12 dan mengabaikan bilangan yang lain. Alternatif lain adalah dengan mengasosiasikan bilangan acak 00 s.d 07 dengan satuan percobaan 1, bilangan 08 s.d 15 dengan satuan percobaan 2, dan seterusnya sampai bilangan 88 s.d 95 dengan satuan percobaan 12 dan mengabaikan bilangan 96, 97, 98, 99.

Misalnya, bilangan acak yang terambil sebagai sampel adalah sebagai berikut:

​

​

4

bilangan-bilangan tersebut berasosiasi dengan satuan percobaan berikut:

​

Artinya, satuan percobaan 8, 1, 11 dan 9 mendapat perlakuan 1; satuan percobaan 12, 10, 7 dan 6 mendapat perlakuan 2, dan seterusnya

​

Proses Pengacakan …

3. Pengacakan dengan Minitab:

Bangkitkan bilangan1, 2, …, N = tr di kolom C1 untuk merepresentasikan satuan percobaan. Bangkitkan di kolom lainnya, misalnya di C2, label 11, 12, …, 1r, …, tr untuk merepresentasikan perlakuan. Misalnya t = 3 dan r = 4.

5

Pilih menu

Calc > Random Data > Sample From Columns …

6

Hasil pengacakan menunjukkan bahwa satuan percobaan 8, 9, 3 dan 10 mendapat perlakuan 1; satuan percobaan 2, 11, 1 dan 5 mendapat perlakuan 2; dan satuan percobaan 12, 7, 4 dan 6 mendapat perlakuan 3.

Model

• Salah satu alat yang penting dalam menganalisis data dari suatu percobaan adalah analisis varians. Untuk data dari percobaan dengan RAL, analisis varians berdasarkan pada model:

​

​

• Dalam terminologi model linear, model tersebut merupakan model klasifikasi satu arah.
• Jumlah sumber keragaman ditentukan oleh jumlah komponen dalam model selain μ. Dalam hal ini ada dua sumber, yaitu pengaruh perlakuan (τ_i) dan galat (e_ij)
• Asumsi:

7

Tabel Analisis Varians

8

Perhatikan bahwa

JK(Total) = JK(Perl) + JK(Galat)

Nilai Harapan bagi Kuadrat Tengah

• Untuk setiap variabel acak X berlaku sifat

​

​

• Misalnya, untuk menghitung E[KT(Perl)]:

​

​

9

Nilai Harapan bagi Kuadrat Tengah …

• Dan

​

​

• Sehingga

​

​

10

Nilai Harapan bagi Kuadrat Tengah …

• Dengan cara yang sama akan diperoleh bahwa

​

​

​

​

11

Pengujian Hipotesis

• Hipotesis bahwa semua perlakuan memberikan pengaruh yang sama diuji dengan statistik uji F
• Pasangan hipotesis

H₀: τ₁ = τ₂ = …= τ_t = 0

H₁: paling tidak ada satu τ_i ≠ 0

• Diuji oleh

​

​

dengan derajat bebas t – 1 dan t(r – 1)

​

12

Keuntungan dan Kekurangan RAL

• RAL sangat luwes: banyaknya perlakuan dan ulangan hanya dibatasi oleh banyaknya satuan percobaan yang tersedia
• Banyak ulangan boleh berbeda dari perlakuan satu ke lainnya
• Analisis statistiknya sederhana

• RAL sering kali tidak efisien: pengacakan tidak dibatasi, sehingga galat percobaan mencakup seluruh keragaman antarsatuan percobaan

Keuntungan

Kekurangan

13

Kadar nitrogen pada red clover yang diinokulasi kultur strain Rhizobium trifolii dan Rhizobium meliloti (steel & Torries, 1993 hal 171)

14

Percobaan dilakukan dalam rumah kaca dengan menggunakan rancangan acak lengkap dengan lima pot per perlakuan

Tabel Analisis Varians

15

Percobaan Sederhana

• Mengukur denyut nadi
• Satuan percobaan: mahasiswa peserta kuliah Perancangan Percobaan
• Perlakuan:
• Diam di tempat
• Jalan selama satu menit
• Lari-lari kecil selama satu menit
• Jalan kaki naik ke lantai tiga dan turun lagi ke lantai satu

16

Output Minitab

One-way ANOVA: setelah versus treatment

​

Source DF SS MS F P

treatment 2 6447 3224 7.68 0.004

Error 18 7557 420

Total 20 14004

​

S = 20.49 R-Sq = 46.04% R-Sq(adj) = 40.04%

​

​

Individual 95% CIs For Mean Based on

Pooled StDev

Level N Mean StDev +---------+---------+---------+---------

1 7 96.00 6.93 (-------*-------)

2 7 119.43 21.09 (-------*-------)

3 7 138.86 27.69 (-------*--------)

+---------+---------+---------+---------

80 100 120 140

​

Pooled StDev = 20.49

17

RAL dengan ulangan tidak sama

• Beberapa alasan kenapa jumlah ulangan tidak sama:
• Kadang-kadang kita memiliki perlakuan sebagai kontrol yang ingin dibandingkan dengan perlakuan-perlakuan lain. Untuk mendapatkan informasi yang lebih baik maka diperlukan lebih banyak ulangan bagi perlakuan kontrol daripada perlakuan lainnya
• Diantara t perlakuan terdapat beberapa perlakuan yang lebih penting dari yang lainnya, sehingga diperlukan jumlah ulangan yang berbeda untuk perlakuan-perlakuan dalam percobaan
• Beberapa satuan percobaan tidak dapat diamati (data hilang)

18

Model & Pengujian hipotesis

• Model dasarnya sama dengan model RAL sebelumnya:

​

​

dimana i = 1, 2, …, t sedangkan j = 1, 2, …, r_i

• Pengujian hipotesis H₀ : τ₁ = τ₂ = … = τ_t = 0 didekati dengan uji F:

​

​

dengan derajat bebas t – 1 dan

19

Tabel Analisis Varians

20

Suatu percobaan ‘tanpa rancangan’

21

₅ M

A = A. aulacocarpa

Ar = A. auriculiformis

C = A. crassicarpa

M = A. mangium

₄ A

₃ A

₉ A

₁₀ M

₁ C

₈ Ar

₇ M

₆ Ar

₂ C

₁₂ M

₁₁ M

Tabel Analisis Varians

Subsampling dalam RAL

• Bedakan antara satuan percobaan dan satuan pengamatan (satuan subsampel)
• Model subsampling dalam RAL

​

dengan i = 1, 2, …, t sedangkan j = 1, 2, …, r’ dan k = 1, 2, …, n. Dimana ε_ij adalah galat percobaan dan η_ijk adalah galat pengamatan. Diasumsikan bahwa ε_ij i.i.d. dan η_ijk i.i.d.

Perhatikan bahwa

​

• Model linear tersebut dirujuk sebagai two-fold nested classification: satuan percobaan tersarang di dalam perlakuan dan satuan pengamatan tersarang di dalam satuan percobaan

​

23

Tabel Analisis Varians

• Tabel Anova dapat diperoleh mengikuti indentitas sbb:

​

​

sehingga

24

Tabel Analisis Varians …

25

Inferens dengan Subsampling

• Berdasarkan Tabel Anova, hipotesis nol tentang tidak adanya perbedaan antarperlakuan diuji dengan statistik uji

​

​

dengan derajat bebas t – 1 dan t(r’ – 1).

• Selain itu, komponen varians galat percobaan dan galat sampling masing-masing dapat diduga dengan

​

dan

26

Pertumbuhan Batang Tanaman Mint�(Steel & Torries, 1993 hal 189)

27

Penghitungan Jumlah Kuadrat

28

Analisis dengan Minitab

29

Stat>Anova>General Linear Model

30

Output Minitab

General Linear Model: Data versus Perl, Pot

​

Factor Type Levels Values

Perl fixed 3 1, 2, 3

Pot(Perl) fixed 9 C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9

​

Analysis of Variance for Data, using Adjusted SS for Tests

​

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Perl 2 15.0417 15.0417 7.5208 15.33 0.000

Pot(Perl) 6 8.2083 8.2083 1.3681 2.79 0.031

Error 27 13.2500 13.2500 0.4907

Total 35 36.5000

​

S = 0.700529 R-Sq = 63.70% R-Sq(adj) = 52.94%

​

Unusual Observations for Data

​

Obs Data Fit SE Fit Residual St Resid

5 2.50000 4.37500 0.35026 -1.87500 -3.09 R

​

R denotes an observation with a large standardized residual

​

31

Asumsi yang Mendasari Analisis Varians

1. Pengaruh perlakuan dan lingkungan bersifat aditif
2. Galat percobaan bersifat acak, berdistribusi bebas dan normal dengan rata-rata sama dengan nol dan mempunyai varians yang sama

​

• Tidak terpenuhinya satu atau lebih asumsi dapat mempengaruhi taraf signifikansi maupun kepekaan statistik uji
• Keheterogenan varians, atau heteroskedastisitas biasanya diatasi dengan melakukan trasformasi data

32

Transformasi

• Transformasi akar
• Biasa digunakan terhadap data berupa bilangan bulat yang kecil, misalnya banyaknya koloni bakteri, banyaknya tanaman atau serangga spesies tertentu di suatu daerah. Data seperti ini sering kali berdistribusi Poisson
• Dapat juga digunakan untuk transformasi data persentase yang kisaran nilainya antara 0 sampai 20 persen atau antara 80 sampai 100 persen, tetapi tidak keduanya
• Bila nilai-nilai pengamatannya sangat kecil, disarankan menggunakan transformasi

33

Transformasi …

• Transformasi logaritma (log Y)
• Transformasi logaritma biasa digunakan terhadap data yang simpangan bakunya sebanding dengan rata-rata perlakuan.
• Dapat digunakan pada bilangan positif yang mempunyai kisaran sangat luas. Bila terdapat beberapa bilangan yang sangat kecil, disarankan untuk menggunakan transformasi log(Y+1)

34

Transformasi …

• Transformasi arcsin
• Transformasi arcsin biasa diterapkan pada data binom yang dinyatakan sebagai pecahan atau persentase. Varian hasil transformasi bersifat konstan.
• Data yang bernilai 0 persen disarankan diganti dengan 25/n dan data 100 persen diganti dengan nilai 100 – 25/n

​

35

Transformasi …

• Bila transformasi dilakukan, maka semua perbandingan atau selang kepercayaan dibuat pada skala baru (hasil transformasi).
• Bila diinginkan, hasil analisis data yang telah ditransformasi dapat dikembalikan pada skala semula. Akan tetapi hal ini perlu diberitahukan secara jelas kepada pembaca.

36