Matematika
MEDIA MENGAJAR
UNTUK SMP/MTs KELAS X
BILANGAN
Sumber:
PETA KONSEP
Bilangan
Bilangan Bulat dan Operasinya
Bilangan Bulat
Berdasarkan Konsep Muatan
Bilangan Bulat pada
Garis Bilangan
Bilangan Berpangkat Bulat
Pecahan dan Operasinya
Konsep Pecahan
Operasi pada Pecahan
Observasi
Pernahkah kalian melihat alat seperti gambar di samping?
Alat pengukur suhu atau termometer digunakan untuk mengukur suhu (temperatur). Ada termometer untuk mengukur suhu tubuh
dan ada termometer yang digunakan untuk mengukur suhu udara. Termometer pada gambar sebelah kiri menunjuk pada bilangan 22°C. Artinya, suhu udara di daerah tersebut adalah 22°C atau 22 derajat di atas 0 (nol).
Pada termometer, bilangan yang biasa digunakan adalah bilangan bulat. Bilangan bulat merupakan bilangan yang dapat bernilai positif, nol, atau negatif. Jika bilangan bulat positif terletak di
sebelah kanan atau sebelah atas bilangan nol, maka bilangan bulat negatif adalah bilangan yang terletak di sebelah kiri atau di bawah bilangan nol pada garis bilangan. Dengan demikian, termometer pada gambar sebelah kanan menunjukkan bilangan
–17°C yang artinya suhu udara di lingkungan tersebut adalah minus 17 derajat Celcius atau 17 derajat di bawah 0 (nol).
1.1 BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA
A. Bilangan Bulat Berdasarkan Konsep Muatan
Menurut Ilmu Pengetahuan Alam, ada sebuah benda kecil yang bermuatan positif dan ada yang bermuatan negatif. Benda kecil yang bermuatan positif disebut proton dan yang bermuatan negatif disebut elektron. Jika sebuah proton dan sebuah elektron bertemu, maka kedua benda tersebut akan menjadi netral (tanpa muatan). Kenetralan juga terjadi jika muatan positif dan negatifnya sama banyak.
Perhatikan peragaan berikut.
Perhatikan bahwa 0 (nol) diperagakan sebagai kumpulan kosong (tanpa muatan) atau muatan positif dan negatif yang sama banyak. Sementara 2 (dua) diperagakan sebagai kumpulan muatan positif sebanyak 2 (dua) satuan, atau kumpulan muatan positif 2 (dua) satuan lebih banyak dari muatan negatifnya. Berikutnya, negatif 2 (dua)
diperagakan sebagai kumpulan muatan negatif sebanyak 2 (dua) satuan atau kumpulan muatan negatif 2 (dua) satuan lebih banyak dari muatan positifnya.
1. Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat
Ada tiga tipe soal penjumlahan dan pengurangan serta permasalahan yang mungkin muncul dalam proses pemecahan tersebut. Ketiga tipe soal tersebut, yaitu:
(1) digabung
(2) diambil tetapi barangnya tidak ada
(3) diambil tetapi barangnya kurang
(–5) + 3 = . . . .
Contoh Soal
Jawab:
Perhatikan bahwa (–5) + 3 dibaca ”negatif 5 digabung dengan positif 3”. Peragaan yang sesuai adalah seperti berikut.
Berdasarkan peragaan gambar di atas, maka –5 + 3 = –2.
2. Perkalian pada Bilangan Bulat
positif × negatif = negatif
negatif × positif = negatif
negatif × negatif = positif
3. Pembagian pada Bilangan Bulat
negatif : positif = negatif
positif : positif = positif
negatif : negatif = positif
6 : (–2) = . . . .
Contoh Soal
Kerjakan Latihan 1 halaman 11 – 12
1.1 BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA
B. Bilangan Bulat pada Garis Bilangan
1. Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat
Untuk bilangan bulat yang disajikan melalui garis bilangan, berikut definisi untuk operasi penjumlahan dan pengurangan.
Pada pembagian antara dua bilangan bulat a dan b, bilangan a disebut bilangan yang dibagi dan b disebut bilangan pembagi. Karena pembagian merupakan kebalikan dari perkalian, maka pada pembagian diberikan definisi berikut.
2. Perkalian
Untuk perkalian antara dua bilangan bulat a dan b, dengan a bilangan pengali dan b bilangan yang dikalikan diberikan definisi berikut.
3. Pembagian
Kerjakan Latihan 2 halaman 19 – 20
Contoh Soal
Hitunglah –2 + 5.
Jawab:
Berangkat dari titik asal (pangkal) nol dan menghadap ke kanan, maka: –2 + 5
Jika diperagakan, maka: Pertama, mundur 2 langkah. Selanjutnya, ditambah
5 berarti maju 5 langkah. Hasilnya 3.
Karena hasil akhirnya 3, maka –2 + 5 = 3.
1.2 BILANGAN BERPANGKAT BULAT
A. Menggunakan Pola dan Membuat Generalisasi (Kesimpulan)
1. Pangkat Bulat Positif
2. Pangkat Bulat Negatif
Perhatikan definisi berikut.
Contoh Soal
Kerjakan Latihan 3 halaman 22 – 23
1.2 BILANGAN BERPANGKAT BULAT
B. Sifat-Sifat Perpangkatan Bilangan Bulat
1. Hasil Kali Dua Bilangan Berpangkat
2. Hasil Bagi Dua Bilangan Berpangkat
Secara umum diperoleh rumus:
Secara umum berlaku:
1.2 BILANGAN BERPANGKAT BULAT
B. Sifat-Sifat Perpangkatan Bilangan Bulat
3. Perpangkatan dari Hasil Kali Dua Bilangan
4. Perpangkatan dari Bilangan Berpangkat
Secara umum berlaku:
Secara umum (generalisasi) akan diperoleh rumus:
Contoh Soal
Kerjakan Latihan 4 halaman 26 – 27
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
1. Pecahan Biasa
Perhatikan tabel berikut.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
2. Pecahan Senilai (Mengubah Bentuk Pecahan ke Pecahan Lain yang Berbeda Penyebut)
Secara umum diperoleh rumus berikut.
Jawab:
Kerjakan Latihan 5 halaman 30 – 31
Contoh Soal
Tentukan pecahan yang senilai dengan pecahan-pecahan berikut.
a. 23, jika penyebutnya 24 b. 34, jika penyebutnya 400
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
3. Menyederhanakan Pecahan ke Bentuk Pecahan yang Paling Sederhana
Menyederhanakan pecahan ke bentuk pecahan yang paling sederhana dengan cara sebagai berikut.
Kerjakan Latihan 6 halaman 35
Contoh Soal
Jawab:
Karena kita mudah membayangkan FPB dari 100 dan 150, yakni FPB (100, 150) = 50,
maka:
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
4. Pecahan Campuran
Berbicara mengenai pecahan, kita akan temukan istilah seperti pecahan sejati dan pecahan tak sejati. Pecahan sejati ialah pecahan yang nilainya kurang dari 1 (satu), sedangkan pecahan tak sejati ialah pecahan yang nilainya lebih dari 1. Sementara itu, pecahan campuran ialah pecahan tak sejati yang ditulis dalam bentuk campuran antara utuh dan tidak utuh, sedangkan pecahan biasa ialah pecahan sembarang yang ditulis dalam bentuk pembilang per penyebut. Perhatikan tabel berikut.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
5. Mengubah Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa dan Sebaliknya
Untuk memahami permasalahan tentang mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa dan sebaliknya, perhatikan tabel berikut.
Kerjakan Latihan 7 halaman 38 – 39
Contoh Soal
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
6. Pecahan sebagai Perbandingan
Untuk pecahan sebagai perbandingan, unsur-unsur yang dibandingkan adalah unsur-unsur yang utuh. Perhatikan tabel berikut.
Kerjakan Latihan 8 halaman 41
Contoh Soal
Berdasarkan gambar berikut, nyatakan berapa bagian setiap apel (hijau dan merah)
Dalam bentuk pecahan yang paling sederhana.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
7. Pecahan Desimal
Perlu kita ketahui bahwa yang dimaksud ”desimal” adalah ”berbasis 10 (sepuluh)”. Dengan demikian, pecahan desimal adalah pecahan yang komponen-komponen bilangannya dapat dinyatakan sebagai persepuluhan pangkat 1, 2, 3, dan seterusnya atau persepuluhan, perseratusan, perseribuan, dan seterusnya. Perhatikan tabel berikut.
Peragaan hingga persepuluhan.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
7. Pecahan Desimal
Peragaan hingga perseratusan.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
7. Pecahan Desimal
Berdasarkan tabel, dapat disimpulkan bahwa penulisan bilangan dalam bentuk desimal hingga satu angka di belakang koma, artinya angka di depan koma menyatakan bagian utuhnya sedangkan angka di belakang koma menyatakan persepuluhan. Sementara bilangan dalam bentuk desimal hingga dua angka di belakang koma, artinya angka di depan koma menyatakan bagian utuhnya, angka pertama di belakang koma menyatakan persepuluhan, dan angka kedua di belakang koma menyatakan perseratusan. Jadi, 2,4 artinya adalah 2 bagian utuh dan 4 persepuluhan. Sementara itu, 2,45 artinya adalah 2 bagian utuh, 4 persepuluhan, dan 5 perseratusan.
Cara membaca pecahan desimal adalah bilangan yang ada di depan koma dibaca utuh sedangkan bilangan yang ada di belakang tanda koma dibaca angka demi angka. Hal itu dimaksudkan agar tidak terjadi kerancuan antara cara membaca pecahan yang ditulis dalam bentuk bukan desimal dengan cara membaca pecahan yang ditulis dalam bentuk desimal.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
8. Persen dan Permil
Persen adalah perseratus dan permil adalah perseribu. Angka yang sering digunakan untuk menunjukkan persen umumnya kurang dari 100. Jarang dijumpai topik yang berkaitan dengan persen tetapi melibatkan bilangan persen lebih dari seratus. Jadi, pecahan yang melibatkan persen adalah pecahan sejati, yakni yang nilainya kurang dari 1.
Penggambaran persen.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Konsep Pecahan
8. Persen dan Permil
Kerjakan Latihan 9 halaman 46 – 47
Contoh Soal
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
B. Operasi pada Pecahan
1. Penjumlahan
1. Untuk pecahan sejati dengan penyebut sama, hasil penjumlahannya adalah pembilangnya saja yang dijumlahkan sedangkan penyebutnya tetap.
2. Untuk pecahan campuran dengan penyebut sama, hasil penjumlahannya adalah jumlah bagian utuhnya dan jumlah bagian pecahannya.
1. Jika penyebutnya tidak sama, maka sebelum melakukan penjumlahan, penyebut-penyebut pecahannya disamakan terlebih dahulu. Penyebut baru yang telah disamakan = KPK dari penyebut masing-masing pecahan.
2. Untuk pecahan campuran, hasil penjumlahannya adalah jumlah dari bagian utuhnya digabung dengan jumlah dari bagian pecahannya, setelah kedua pecahan tersebut disamakan penyebutnya.
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
B. Operasi pada Pecahan
2. Pengurangan
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh Ali dalam waktu 3 hari. Pekerjaan yang sama dapat diselesaikan oleh Budi selama 6 hari. Jika Ali dan Budi bekerja sama, berapahari pekerjaan
itu dapat diselesaikan?
Contoh Soal
Jawab:
Misalkan pekerjaan yang dimaksud adalah mengecat tembok. Untuk memudahkan pemahaman, misalkan Ali mulai dari sebelah kiri dan Budi mulai dari sebelah kanan.
Maka gambarannya adalah seperti berikut.
Kerjakan Latihan 10 halaman 52 – 53
1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA
B. Operasi pada Pecahan
4. Pembagian
Pada pembagian pecahan, secara umum berlaku:
Kerjakan Latihan 12 halaman 63 – 64
Kerjakan Latihan Ulangan
Bab 1 halaman 67 – 70
Contoh Soal
Jawab:
Cara 1: Mengalikan tiap pembilang dan penyebut
Cara 2: Penyederhanaan