Підготовка до НМТ
з математики
Тема: «Перпендикулярність �прямих і площин у просторі»
Підготувала Капелещук І.Я., учитель математики
ліцею №35 ім. В.Шеймана
Перпендикулярність прямих
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.
a
b
Перпендикулярність прямої і площини (означення)
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину цих прямих.
a
b
c
d
O
α
Ознака перпендикулярності прямої та площини
Пряма, що перпендикулярна �до двох прямих, �які перетинаються, перпендикулярна до площини, яка проходить через ці прямі.
a
b
c
Властивості перпендикулярних прямих та площини
Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.
Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, - паралельні
α
a
1
a
Перпендикулярні площини
Кутом між площинами, які перетираються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину
β
α
М
a
b
c
Теорема: �(ознака перпендикулярності площин)
Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то такі площини перпендикулярні
а
b
c
β
α
Пряма, проведена в одній з двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.
а
b
c
β
α
Прямі AB, AC і AD попарно перпендикулярні �Знайти довжину відрізка ВС, якщо DB = √281 см, DC =20 см, DA=16 см
Розв’язок
АВ та AD перпендикулярні, ∆ABD – прямокутний. �За т. Піфагора BA = √281-256 =5
АС та AD перпендикулярні, ∆AСD – прямокутний. �За т. Піфагора СA = √400-256 = √44
АС та AВ перпендикулярні, ∆AСВ – прямокутний. �За т. Піфагора СВ = √44-+5 = √49=7
ВС=7 см
Відповідь: 7 см
Задача
Дано куб ABCDA1B1C1D1 Враховуючи, що ребра куба, які виходять з однієї вершини, попарно перпендикулярні, укажіть серед наведених тверджень правильні:
Задача
а) площини АD1С і AD1D перпендикулярні;
б) площини AD1C і CDD1 перпендикулярні;
в) площини AD1C і ADC перпендикулярні;
г) площини ADD1 і ADC перпендикулярні
Відповідь: г)
Точка А знаходиться на відстані 6 і 8 см від двох перпендикулярних площин. Знайдіть відстань від цієї точки до лінії перетину площин.
Розв’язок
Розглянемо АВОС – це прямокутник, �отже ОС = ВА =8см.
ΔОАС – прямокутний. За т.Піфагора
64 +36 =100
АО = 10 см
Відповідь: 10см
А
В
С
О
α
ꞵ
Задача
А
S
О
B
C
D
т.О – точка перетину діагоналей.
Отже SО – відстань між точкою S і
площиною квадрата.
Розв’язок
ΔSОС – прямокутний. З т.Піфагора
4 – 3 = 1
SО = 1 см
Відповідь: 1 см.
Задача
У просторі задано пряму 𝑚 і точку 𝐴, яка не належить 𝑚. Які з наведених тверджень є правильними?
І Через точку 𝐴 і пряму 𝑚 можна провести лише одну площину.
ІІ Через точку 𝐴 можна провести лише одну площину, паралельну прямій 𝑚.
ІІІ Через точку 𝐴 можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої 𝑚.
Приклади завдань ЗНО
а) лише І і ІІ
б) лише І і ІІІ
в) лише ІІІ
г) лише ІІ і ІІІ
д) І, ІІ і ІІІ
№ 8, 2018д
Приклади завдань ЗНО
Площини α і β паралельні. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Існує пряма, що лежить і в площині α, і в площині β.
ІІ. Якщо пряма перпендикулярна до площини α, то вона перпендикулярна до площини β.
ІІІ. Якщо пряма лежить у площині α, то вона паралельна будь-якій прямій у площині β.
а) лише І і ІІ
б) лише І і ІІІ
в) лише ІІІ
г) лише ІІ і ІІІ
д) І, ІІ і ІІІ
№ 12, 2017д
Приклади завдань ЗНО
Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
II. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
III. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.
а) лише І і ІІ
б) лише І і ІІІ
в) лише ІІІ
г) лише ІІ і ІІІ
д) І, ІІ і ІІІ
№ 3, 2013_І
Приклади завдань ЗНО
У просторі задано пряму а і точку М, яка не належить цій прямій. Скільки всього прямих, що перетинають пряму а, можна провести перпендикулярно до неї через точку М?
а) жодної
б) одну
в) дві
г) три
д) безліч
№ 4, 2015_ІІ
Бажаю успіху на НМТ!