Ch II Représentation vectorielle des signaux

Le principe d’une représentation discrète d’un signal x(t) est basée sur le développement de celui-ci en une combinaison linéaire de fonctions connues

Les n coefficients α_k constituent une représentation discrète du signal qui dépend des fonctions

Intérêt de la représentation discrète des signaux :

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• Un choix adéquat des fonctions Ψ_k(t) facilite l’étude des transformations que subit le signal au cours de sa propagation dans un système physique , en particulier s’il est linéaire

adaptation du signal au système ou plus précisément du

spectre du signal à la bande passante du système.

​

• Descripteur du signal avec un minimum d’informations

(optimisation en cas de transmission , de stockage ou de comparaison)

A la représentation discrète est associée l’image d’un vecteur dans un espace de dimension n,

ce qui permet d’interpréter géométriquement des notions telles que : distance, produit scalaire,…etc

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Rappel espace vectoriel :

​

Un espace vectoriel est un ensemble d’éléments tels que :

• La somme de deux éléments est un élément de l’espace vectoriel
• Le produit d’un élément par un scalaire est un élément de l’espace vectoriel
• Il est muni d’une base formée de n vecteurs linéairement indépendants (espace de dimension n)
• Tout vecteur x de l’espace vectoriel correspond à une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base. Il existe une infinité de bases possibles.

• Un espace vectoriel est normé si à tout vecteur x est associé une norme notée

, nombre réel positif, nul si x est l’origine.

• L’espace est dit métrique si à tout couple d’éléments (x,y) est associé un nombre d(x,y),

réel, positif, nul si x=y qu’on appelle distance.

La métrique usuelle est

• Une suite infinie {x_n} d’éléments d’un espace vectoriel métrique converge vers

un élément x de cet espace si

• Un espace vectoriel dans lequel toute suite converge est dit complet

Un signal peut être représenté par un vecteur dans un espace métrique auquel on donne

le nom d’espace des signaux.

Distance de deux signaux :

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La distance d(x,y) de deux signaux x(t) et y(t) est une mesure de leur dissemblance.

Elle est nulle si les signaux sont identiques.

En détection des signaux, en reconnaissance de formes, on calcule les distances d’un signal ou d’une forme à identifier avec un ensemble de candidats possibles.

Le candidat préféré est celui qui correspond à la plus petite distance

( maximum de vraisemblance)

Pour deux vecteurs x=(x1, x2, …,xn) y=(y1, y2, …,yn)

• Distance euclidienne :

(distance en moyenne quadratique)

• Distance de Hamming

(distance entre mots binaires)

Pour les codes détecteurs et correcteurs d’erreur, pour protéger les signaux transportant des

séquences d’informations binaires contre l’effet des perturbations présentes sur la voie de

transmission.

C=(c₁, c₂,…, c_n)

C’=(c’₁, c’₂,…, c’_n)

addition modulo 2.

Espace

des signaux à énergie finie

Espace des signaux de carrés sommables sur un intervalle [t₁, t₂]

​

Norme

y converge vers x quand d(x,y) tend vers zéro

produit scalaire :

Norme

symétrie hermitienne

2/ Fonctions de Radmacher

Fonctions binaires à structure périodique prenant deux valeurs +1 ou -1

3/ Fonctions de Walsh

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Les fonctions de Walsh avec des niveaux de valeurs +1 et -1. Les niveaux +1 et -1 normalisent les fonctions

(fonctions orthonormales). Elles sont basées sur les fonctions cos et sin. Les premières technologies utilisaient cos et sin car ses fonctions se génèrent sans difficulté ; de plus les systèmes linéaires invariant dans le temps n’avaient sur elles d’autres effets que de les atténuer ou de les retarder.

Cependant avec les technologies numériques, il est devenu possible d’utiliser pour l’analyse de signaux, d’autres familles de fonctions orthogonales, telles que les fonctions de Walsh.

Les séries de Walsh s’obtiennent de la façon suivante :

Avec

Exemple :

x_k = (1, 2, 0, 3) N = 4

X_k =

X₀ = 1,5

X₁ = 0

X₂ = 0,5

X₃ = -1

​

Spectre facile à calculer

4/ Transformée de Hadamard

​

La transformée de Hadamard ou Walsh-Hadamard est basée sur la transformée de Walsh

=

=

Exemple

X₀ = 1,5

X₁ = -1

X₂ = 0

X₃ = 0.5

C’est Walsh réordonné

X₀ = 1,5

X₁ = 0

X₂ = 0,5

X₃ = -1

Ces fonctions sont mieux adaptées pour représenter des signaux avec discontinuités telles que des images.

Les transformées de Fourier sont basées sur des harmoniques sinusoïdales

Las transformées de Walsh sont basées sur des harmoniques rectangulaires.

On ne parle pas de fréquences mais plutôt de séquences

Sal : impair (sin)

Cal : pair (cos)