Елементи комбінаторики. Перестановки, розміщення , комбінації.
Двадцяте січня.
Класна робота.
Або елемент a або елемент b.
І елемент a і елемент b.
ПРАВИЛО СУМИ
Якщо елемент а можна вибрати m способами,
а елемент b можна
вибрати k способами,
то вибір елемента «а або b» можна здійснити
m + k способами
ПРАВИЛО ДОБУТКУ
Самостійна робота
15 хвилин
Обчисліть: 4!; 6!
Добуток натуральних чисел від 1 до n називають факторіалом цілого невідꞌємного числа n і записують «n!»
Перестановки
Рn = n!
Перестановки
Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.
Перестановки відрізняються одна від одної лише порядком елементів.
Приклад 1. Із елементів множини А = {2, 4, 5} можна утворити 6 перестановок: {2, 4, 5}, {2, 5, 4}, {4, 2, 5}, {4, 5, 2}, {5, 4, 2}, {5, 2, 4}.
Кількість усіх можливих перестановок у множині з n елементів позначається Рn. Обчислюється за формулою:
Рn = n!
Приклад 2. 12 осіб можна розмістити за столом, біля якого поставлено 12 стільців, РІ2= 12! способами.
Вправи�на закріплення формули числа перестановок
Щоб обчислити скільки способів існує для того щоб розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях треба знайти число перестановок :
Перестановки.
Приклад. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0; 1; 2; 3, якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?
Розв’язання.
З чотирьох цифр 0; 1; 2; 3 можна утворити Р4 перестановок. Але ті перестановки, які починаються з 0 не будуть записами чотирицифрових чисел, таких перестановок — Р3. Отже, шукана кількість чотирицифрових чисел дорівнює
Р4 - Р3 = 4! - 3! = 3!(4 - 1) = 6 ∙ 3 = 18.
Відповідь: 18.
Розміщення
розміщення
Розв’язування задач
Приклад. Скількома способами можна розсадити 4 учні на 25 стільцях?
Відповідь: = 303 600.
Приклад.
Обчисліть:
Приклад.
Обчисліть:
Приклад 6.
Розв'яжіть рівняння:
Розв'язати рівняння означає знайти змінну x.
Тобто тоді
Отже враховуюче, що x – натуральне число, отримаємо x=1.
Відповідь: 1
Приклад.
Кожен вибір трьох медалістів з 10 учасників відрізняється один від одного складом і порядком розташування учасників, тоді треба обчислити число розміщень з 10 по 3:
Комбінації
комбінації
Будь-яка не упорядкована підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів, де m ≤ n, називається комбінацією з n елементів по m.
Порядок елементів у множині неістотний, комбінації відрізняються лише складом елементів. Кількість усіх можливих комбінацій з n елементів по m позначається символом
Комбінація відрізняється від розміщення тим, що у цій підмножині неістотним є порядок елементів.
У загальному випадку кількість комбінацій з n елементів по m елементів можна обчислити за формулою:
Вибір формули для розв’язування комбінаторної задачі.
Якщо в комбінаторній задачі необхідно вибрати k елементів з n, то важливим є питання – необхідно враховувати порядок слідування елементів чи ні.
В класі 20 учнів. Скількома способами з цього класу можна вибрати... | |
старосту й його заступника | двох чергових |
| |
№1.Скількома різними способами можна вибрати з 15 осіб делегацію в складі 3 осіб?
Розв'язання:
Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б однією особою. Отже, треба обчислити
Відповідь: існує 455 способів.
№2. Скільки прямих можна провести через 7 точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій?
Розв'язання.
Кожні дві точки визначають одну пряму, і при цьому не відіграє ролі в якому порядку вони взяті. Тому число прямих дорівнює числу комбінацій з 7 по 2, тобто
№4. 7 книг різних авторів і трьохтомник одного автора розташовані на книжковій полиці. Скількома способами можна розставити ці 10 книжок на полиці так, щоб книги автора трьохтомника стояли поруч?
№5. Збори з 30 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів редакційної комісії. Скількома способами це можна зробити?
№6. У підрозділі 32 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами можна виділити наряд, який складається із двох солдат і одного офіцера?
Обчисліть:
Обчисліть:
�Формула для обчислення кількості комбінацій�
Домашнє завдання
№13.3
№13.5
№13.7
№13.14