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14/11/2020

ALAMI ESSAADOUI

Docteur en Réseaux et Télécommunications

Module ELC-2110

Matière : Électronique Numérique

Université Hassan II

Ecole Nationale Supérieure d’Art et Métier

Casablanca

Cours 10h ; TD 08h; TP 08h.

Présenté par

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Propriétés de l’algèbre de Boole :

Dans l’algèbre de Boole, une variable ne peut prendre que 0 ou 1 comme valeur possible.

Une telle variable est dite variable logique, variable binaire, ou variable booléenne. De même, une fonction de n variables logiques ne peut prendre comme valeur que 0 ou 1. Elle est dite fonction logique, fonction binaire, ou fonction booléenne.

Table de vérité d’une fonction logique

C’est une table donnant l’état logique de la fonction pour chacune des combinaisons des états de ses variables. Une fonction de n variables est représentée par une table de vérité à n+1 colonnes et au plus 2ⁿ lignes. Voir le tableau ci-dessous donne la forme générale d’une fonction de deux variables logiques.

A	B	F(A,B)
0	0	F(0,0)
0	1	F(0,1)
1	0	F(1,0)
1	1	F(1,1)

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Les fonctions logiques élémentaires :

Trois fonctions suffisent pour définir l’algèbre de Boole :La complémentation, le produit

logique, et l’addition logique.

1) La fonction « OUI ».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

La lampe L est montée en série avec le contact, d ) Les symboles.

elle s’allume quand le contact A est actionné.

International Organization for Standardization (ISO)

American National Standards Institute (ANSI)

Norme ANSI

Norme ISO

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Les fonctions logiques élémentaires :

2) La fonction « NON ».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

La lampe L est montée en série avec le contact, d ) Les symboles.

elle s’éteint quand le contact A est actionné.

Norme ANSI

Norme ISO

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Les fonctions logiques élémentaires :

3) La fonction « ET (AND)»..

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

La lampe L s’allume si l’on appuie sur A et sur B et seulement dans ce cas là.

Norme ANSI

Norme ISO

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Les fonctions logiques élémentaires :

4) La fonction « OU (OR)».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

La lampe L s’allume si l’on appuie sur A ou sur B, ou sur les deux.

Norme ANSI

Norme ISO

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

RELATION LOGIQUE ( ALGEBRE DE BOOLE ).

1) Commutativité.

ET: OU:

A . B = B . A A + B = B + A

2) Associativité.

OU: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C = ( A + C ) + B = A + ( C + B ) = A + B + C

ET: A . ( B . C ) = ( A . B ) . C = ( A . C ) . B = A . ( C . B ) = A . B . C

Mais , on ne peut pas écrire : A + ( B . C ) = ( A + B ) . C

3) Distributivité.

Il y a distributivité de la fonction ET par rapport à OU.

A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A . C )

Il y a distributivité de la fonction OU par rapport à ET.

A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

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RELATION LOGIQUE ( ALGEBRE DE BOOLE ).

Eléments neutres

ET : OU :

A.1= 1. A = A A + 0 = 0 + A = A

• Eléments absorbants

ET : OU :

A.0 = 0. A = 0 A +1= 1+ A = 1

• Propriété d’idempotence

ET : OU :

A. A = A A + A = A

• Propriétés de l’inversion logique

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THEOREME DE MORGAN.

1) Théorème N°1.

Le complément d’une somme logique est égal aux produits des termes complémentés de cette somme.

2) Théorème N°2.

Le complément d’un produit logique est égal à la somme des termes complémentés de ce produit.

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CH2. Fonctions logiques ET Algèbre de Boole

Les fonctions logiques supplementaires:

1) La fonction « NON-ET » ou « NAND ».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

C’est une fonction ET dont la sortie est complémentée.

Norme ANSI

Norme ISO

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Les fonctions logiques supplementaires:

2) La fonction « NON-OU » ou « NOR ».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

C’est une fonction OU dont la sortie est complémentée.

Norme ANSI

Norme ISO

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Les fonctions logiques supplementaires:

3) La fonction « OU exclusif » ou « XOR ».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

La lampe L s’allume si l’on actionne A ou B, mais pas les deux en même temps.

Norme ANSI

Norme ISO

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Les fonctions logiques supplementaires:

4) La fonction « NON OU exclusif » ou « XNOR ».

Le schéma. b) L’équation. c) La table de vérité.

La lampe L s’allume si l’on actionne A et B en même temps.

Norme ANSI

Norme ISO

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Représentation des fonctions logiques :

Formes canoniques

Une fonction est sous forme canonique (ou normale) si chaque terme contient toutes

les variables.

Soit la table de vérité d’un détecteur

des chiffres impairs compris entre 0 et 7.

C’est la forme canonique générale

On sait que 0.X = 0 et 1.X = X, Donc:

N°	A	B	C	S
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

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Représentation des fonctions logiques :

Formes canoniques

1^ère forme canonique: somme de produits (groupement des « 1 »)

On sait que 0.X = 0 et 1.X = X, donc S vaut 1

pour les combinaisons :

La représentation d’une fonction sous la forme d’une

somme de mintermes s’appelle forme canonique disjonctive

ou SDP

N°	A	B	C	S
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

Minterme

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Représentation des fonctions logiques :

Formes canoniques

Deuxième forme canonique : produit de sommes (groupement des « 0 »)

S vaut 0, pour les combinaisons :

La représentation d’une fonction sous la forme d’une produit de

maxtermes s’appelle forme canonique conjonctive ou PDS

N°	A	B	C	S
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

Maxterme

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Simplification des fonctions logiques :

Minimiser une fonction revient à diminuer le nombre de terme qui intervient dans sa

définition et ainsi on réduit le nombre de circuits nécessaires à sa réalisation.

Méthode algébrique:

Il s’agit d’appliquer les théorèmes et les propriétés de l’algèbre de Boole pour obtenir

une expression plus simple de la fonction.

Exemple : On a deux voyants A et B. On veut déclencher une alarme quand au moins un des deux voyants est allumé

Etablir la table de vérité.
Trouver l’équation simplifiée

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CH2. Fonctions logiques & Algèbre de Boole

Simplification des fonctions logiques :

Méthode graphique: Diagramme de Karnaugh

Le tableau de Karnaugh permet de simplifier les fonctions logiques par des groupements de

cases adjacentes affectés par 1 ou 0.

Les regroupements doivent porter sur des 1 (resp. des 0) adjacents;
Si on choisit de regrouper les 1, on obtient f, si on choisit les 0, on obtient f̅ ;
On ne peut regrouper que 2ⁿ cases: c.à.d. (2, 4, 8,…)
Regrouper le maximum de cases.
·Réaliser le minimum de regroupements.
Pour avoir une meilleure simplification, une ou plusieurs cases peuvent être communes à plusieurs groupements.
Pour extraire l’équation d’un groupe , on ne retient que les variables dont l’état

ne change pas et on effectue le produit logique (ET).

L’équation de la fonction logique est la somme logique (OU) des équations du groupe