Εισαγωγικό Κεφάλαιο 1^ο και 2^ο �Ευκλείδεια Γεωμετρία

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Στόχος της εισαγωγής είναι η διάκριση και επισήμανση των διαφορετικών χαρακτηριστικών της Πρακτικής Γεωμετρίας, που οι μαθητές διδάχθηκαν σε προηγούμενες τάξεις, και της Θεωρητικής Γεωμετρίας που θα διδαχθούν στο Λύκειο. Κάποια ζητήματα που θα μπορούσαν να συζητηθούν για την ανάδειξη των πλεονεκτημάτων της Θεωρητικής Γεωμετρίας έναντι της Πρακτικής, είναι: Η αδυναμία ακριβούς μέτρησης, η ανάγκη μέτρησης αποστάσεων μεταξύ απρόσιτων σημείων, η αναξιοπιστία των εμπειρικών προσεγγίσεων (προτείνονται οι δραστηριότητες Δ1 και Δ2 του ΠΣ).��Για να αποκτήσουν οι μαθητές μια πρώτη αίσθηση των βασικών αρχών της ανάπτυξης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως αξιωματικoύ συστήματος, προτείνεται να εμπλακούν σε μια συζήτηση σχετικά με τη σημασία και το ρόλο των όρων «πρωταρχική έννοια», «ορισμός», «αξίωμα», «θεώρημα», «απόδειξη». Στοιχεία της ιστορικής εξέλιξης της Γεωμετρίας μπορούν να αξιοποιηθούν από το 1ο κεφάλαιο και να αποτελέσουν ένα πλαίσιο αναφοράς στο οποίο θα αναδειχθούν τα παραπάνω ζητήματα.

Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες από τις οδηγίες διδασκαλίας του Υπουργείου Παιδείας

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

2

Εισαγωγή στην �Ευκλείδεια Γεωμετρία �Κεφάλαιο 1^ο �

​

​

Η Γεωμετρία σε άλλες γλώσσες

Geometry Αγγλικά,

Géométrie: Γαλλικά,

Geometría: Ισπανικά – Ιταλικά – Πολωνικά,

Geometrie: Γερμανικά – Ολλανδικά – Ρουμανικά,

Geometri: Δανικά – Τούρκικα - Σουηδικά,

Gjeometri: Αλβανικά

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

3

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ�Ορισμός

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

4

«γ α ί α » + « μ ε τ ρ ώ » = μετράει την γη

​

Είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με την μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να υπάρξουν μέσα σ’ αυτό.

Ιστορική αναδρομή

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

5

Η Γεωμετρία είναι ο πρώτος κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε ως επιστήμη και επί αιώνες και μόνος. Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.Χ και προέρχονται από τους λαούς της Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας.

Γεωμετρία Γυμνασίου και Λυκείου

Πρακτική Γεωμετρία

(αυτή που διδαχθήκαμε στο Γυμνάσιο)

Χρησιμοποιεί ως εργαλείο τη μέτρηση. Έτσι κάθε συμπέρασμα προκύπτει ύστερα από μετρήσεις.

Μειονεκτήματα

Οι μετρήσεις δεν είναι πάντοτε ακριβείς.

•Τα συμπεράσματα των μετρήσεων ισχύουν μόνο για την περίπτωση που πραγματοποιήθηκαν. Δηλαδή δεν μπορούν να γενικευτούν.

​

​

Θεωρητική Γεωμετρία

(αυτή που θα διδαχθούμε στο Λύκειο)

Χρησιμοποιεί ως εργαλείο τη λογική και τους κανόνες που καθιέρωσε πρώτος ο Αριστοτέλης. 

Έτσι κάθε νέο συμπέρασμα προκύπτει ως λογική συνέπεια προηγουμένων γνώσεων

Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε απόδειξη.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

6

1

2

Θεμέλια της Θεωρητικής Γεωμετρίας

Πρωταρχικές έννοιες

Ονομάζονται οι έννοιες που δεν ορίζονται από άλλες απλούστερες. Οι έννοιες αυτές θεωρούνται γνωστές από την εμπειρία μας.

• Σημείο (δεν έχει διάσταση) •Α
• Ευθεία (ε) (διάσταση 1) _________
• Επίπεδο (2 διαστάσεις)

​

​

Αξιώματα

• Ονομάζονται οι προτάσεις που τις δεχόμαστε ως αληθείς χωρίς απόδειξη.
• Με τα αξιώματα καθορίζονται οι ιδιότητες των πρωταρχικών εννοιών καθώς και οι μεταξύ τους σχέσεις.
• Τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται αλλά επιλέγονται και θα πρέπει να ικανοποιούν ορισμένες συνθήκες.
• Η θεωρητική γεωμετρία θεμελιώθηκε για πρώτη φορά ως επιστήμη από τον Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη (Στοιχεία, 300 π.Χ., που χωρίζεται σε 13 βιβλία). Τα αξιώματα ονομάζονται και αιτήματα.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

7

1

2

Οι βασικές προτάσεις στην Γεωμετρία

Ορισμός: Προσδιορίζεται μια καινούρια έννοια με την βοήθεια άλλων γνωστών εννοιών.

Παράδειγμα: Ένα τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο, αν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες.

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

Πρόταση: Λέγεται η έκφραση που έχει πλήρες νόημα και χαρακτηρίζεται μόνο ψευδής ή αληθής.

Παράδειγμα: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές._.

Αξιώματα: Λέγονται οι προτάσεις που τις δεχόμαστε ως αληθείς χωρίς απόδειξη. Πχ. Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία ή κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις

Θεωρήματα: Προτάσεις που η αλήθειά τους προκύπτει ως λογική συνέπεια προηγουμένων γνώσεων δηλαδή με απόδειξη. Παράδειγμα το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Προτάσεις: Προτάσεις που η αλήθειά τους προκύπτει ως άμεση συνέπεια ενός θεωρήματος. Πχ. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές

Απόδειξη: Λέγεται η διαδικασία κατά την οποία αποδεικνύουμε την αλήθεια μιας πρότασης (θεωρήματος ή πορίσματος) με σειρά κατάλληλων συλλογισμών, έτσι κάθε νέο συμπέρασμα προκύπτει ως λογική συνέπεια προηγουμένων γνώσεων – αξιωμάτων.

8

• Έτσι χαρακτηρίζεται η γεωμετρία η οποία θεμελιώνεται σύμφωνα με τις αρχές και τα αξιώματα που καθιέρωσε ο Ευκλείδης (από όπου πήρε και το όνομά της).
• Σήμερα η Ευκλείδεια γεωμετρία θεμελιώνεται με αυστηρό τρόπο, με ένα «σύστημα» αξιωμάτων που πρότεινε ο Γερμανός μαθηματικός D. Hilbert (1862-1943).
• Τα 20 αξιώματα που έθεσε ο Hilbert χωρίζονται σε πέντε ομάδες.
• Ομάδα Ι (8 αξιώματα συνύπαρξης)
• Ομάδα ΙΙ (4 αξιώματα διάταξης)
• Ομάδα ΙΙΙ (5 αξιώματα ισότητας)
• Ομάδα ΙV (1 αξίωμα, αίτημα του Ευκλείδη)
• Ομάδα V (2 αξιώματα συνέχειας)

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

9

Θεωρητική Γεωμετρία

1. Από οποιοδήποτε σημείο μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή προς οποιοδήποτε άλλο σημείο.

2. Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να επεκταθεί προς τα δύο του άκρα συνεχώς, ώστε να μας δώσει μια ευθεία γραμμή.

3. Είναι δυνατόν να χαράξουμε ένα κύκλο, με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα.

4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

5. Αν μια ευθεία γραμμή η οποία τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει εσωτερικές γωνίες μ' αυτές προς την ίδια πλευρά της, με άθροισμα λιγότερο από 2 ορθές, τότε αν οι 2 ευθείες επεκταθούν επ' άπειρον, τέμνονται προς εκείνη την πλευρά προς την οποία το άθροισμα των παραπάνω γωνιών ήταν λιγότερο από 2 ορθές. Ή πιο απλά «Από ένα σημείο εκτός μίας ευθείας περνά μία και μόνη παράλληλη ως προς την ευθεία αυτή.»

​

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

10

Αξιώματα Ευκλείδη

Πόσες ευθείες διέρχονται από το Α και είναι παράλληλες στην (ε₁);

Απάντηση

Η κοινή διαίσθηση λέει ότι είναι μόνο μία, η διακεκομμένη ευθεία (ε₂)

​

Υπάρχει και άλλο ερώτημα: Η ευθεία (ε₂) είναι η μ ο ν α δ ι κ ή παράλληλη της (ε₁), που διέρχεται από το Α;

Απάντηση: Πάλι η διαίσθηση μας λέει ότι είναι μοναδική.

Αποτέλεσμα: Τα παραπάνω επειδή δεν μπόρεσε να τα αποδείξει ο Ευκλείδης, όπως μετέπειτα και κανένας άλλος μαθηματικός, το έκανε αξίωμα! Tο 5o αξίωμα ή αλλιώς Ευκλείδειο αίτημα!

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

11

Ερώτημα

Οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες βασίζονται στα αξιώματα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη και στην άρνηση κυρίως του 5^ου αξιώματος (Από σημείο εκτός ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μια μόνο ευθεία παράλληλη προς την ευθεία ε).

Από νωρίς το 5ο αίτημα του Ευκλείδη μπήκε στο στόχαστρο των μαθηματικών, αφού πίστευαν ότι δεν μπορεί να μην αποδεικνύεται μια πρόταση για την οποία η αντίστροφή της αποδεικνύεται σχετικά εύκολα. Έτσι, τους έγινε έμμονη η ιδέα ότι θα μπορούσαν να το αποδείξουν.

Και όμως παρά τις προσπάθειές τους απέτυχαν. Η αποτυχία για μια απευθείας απόδειξη του 5ου αιτήματος από τα υπόλοιπα 9 αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (κάθε υποκατάστατο εμπεριείχε άμεσα ή έμμεσα μια υπόθεση σχετικά με τι συνέβαινε πολύ μακριά στο χώρο, δηλαδή πήγαιναν πιο μακριά απ' την εμπειρία), έστρεψε από νωρίς την προσοχή των μαθηματικών προς τη δυνατότητα μιας έμμεσης απόδειξής του, με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο.

Τα αξιώματα του Ευκλείδη ήταν 10, αν κάποιος μπορούσε να αποδείξει μια υπόθεση σχετικά με τις παράλληλες ευθείες με χρήση των άλλων 9 αξιωμάτων, θα λυνόταν το πρόβλημα. Οι λόγοι για τους οποίους οι μαθηματικοί ασχολήθηκαν για 20 αιώνες με το 5ο αίτημα του Ευκλείδη είναι απ' τη μια μεριά ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν σ' όλο αυτό το χρονικό διάστημα ο μοναδικός κλάδος των Μαθηματικών που είχε λογική θεμελίωση, οπότε οι μαθηματικοί για να είναι σίγουροι ότι στηρίζονται σε γερά θεμέλια, κα­τέφευγαν σ' αυτήν, και απ' την άλλη ότι η απόλυτη εμπιστοσύνη στην αλήθεια της Ευκλείδειας Γεωμε­τρίας είχε επεκταθεί και πέρα από τα Μαθηματικά και την έκανε υπόδειγμα θεμελίωσης για τις άλλες επιστήμες.

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

12

Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Οι δημιουργοί των γεωμετριών αυτών (ο Lobatchevsky και ο Bolyai) πίστευαν πως αργά ή γρήγορα θα καταλήξουν σε άτοπο. Αλλά οι προτάσεις που βγήκαν από το νέο σύστημα αξιωμάτων αποτέλεσαν ένα λογικά στερεό οικοδόμημα και μάλιστα με πολλές και ενδιαφέρουσες εφαρμογές.

Τα συμπεράσματα στα οποία οδηγήθηκαν, βρισκόταν πράγματι σε ασυμφωνία με τη διαίσθηση, αλλά ο Lobatchevsky και ο Bolyai είχαν συνειδητοποιήσει μια μεγάλη αλήθεια: αυτό που βρίσκεται σε αντίθεση με το καθιερωμένο για το χώρο δεν είναι κατ' ανάγκη λογικά αντιφατικό και επομένως μπορούμε να το επεξεργαστούμε θεωρητικά.

Το έργο των Gauss - Lohatchevsky - Bolyai οδήγησε στα εξής συμπεράσματα:

α) Το Ευκλείδειο αίτημα είναι αδύνατο να αποδειχτεί, αφού η άρνηση του δεν οδηγεί σε κάποια λογική αντίφαση.

β) Με την προσθήκη της αντίθετης πρότασης στα αξιώματα της Γεωμετρίας είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια λογικά άψογη και κατανοητή Γεωμετρία, διαφορετική από την Ευκλείδεια.

γ) Η αλήθεια των αποτελεσμάτων μιας τέτοιας Γεωμετρίας μπορεί να διαπιστωθεί μόνο πειραματικά.

•Lobatschewski (1829)- Bolyai (1832)

•Gauss (Υπερβολική γεωμετρία)

•Riemann (Ελλειπτική γεωμετρία)

ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΩ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ

 Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν ισούται με 180°.

 Η περίμετρος του κύκλου δεν ισούται με 2πR, όπου R η ακτίνα του.

 Δεν ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

13

Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Αρχικά, η μελέτη των ιδιοτήτων των διάφορων γεωμετρικών σχημάτων έγινε με τρόπο εμπειρικό, όπως συναντάμε στο Γυμνάσιο.

Η μέθοδος που ακολουθήσαμε ήταν η εύρεση ή επαλήθευση των ιδιοτήτων και σχέσεων ανάμεσα στα γεωμετρικά σχήματα με βάση τη μέτρηση (όπως θα δούμε παρακάτω), για την οποία χρησιμοποιούμε τον διαβαθμισμένο κανόνα (υποδεκάμετρο) και το μοιρογνωμόνιο.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

14

Ερώτηση 1^η

Γιατί προχωρήσαμε στην Θεωρητική Γεωμετρία; Γιατί δεν μας κάλυπτε η Πρακτική Γεωμετρία που διδαχθήκαμε στο Γυμνάσιο;

Θα έχουμε μόνο δύο όργανα:

α. Τον κανόνα (χάρακας όχι αριθμημένος) και τον

β. διαβήτη

και οι αποδείξεις που θα κάνουμε στο σχήμα, θα οφείλονται αποκλειστικά από τις προτάσεις της θεωρίας και όχι μέσω των γεωμετρικών οργάνων. Δηλαδή τα συμπεράσματα για να είναι γενικά, δεν πρέπει να είναι συνέπειες ΜΟΝΟ της παρατήρησης του σχεδίου, αλλά είναι αναγκαίο να προκύπτουν με ορθό συλλογισμό από τις ιδιότητες του σχήματος, οι οποίες όπως είδαμε μπορεί να μην είναι όλες ορατές στο σχήμα.

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

15

Ερώτηση 2^η

Επομένως στο Λύκειο δεν θα χρησιμοποιούμε γεωμετρικά όργανα;

​

​

Το ακριβές και το σωστό σχήμα μας δίνει διαίσθηση και εποπτεία (=έλεγχος, επιτήρηση), δεν μας δίνει την λύση, ένα καλό σχήμα μας «μαρτυράει» την λύση, είναι αρωγός στην προσπάθεια μας για ανακάλυψη εκείνων των ιδιοτήτων που θα μας οδηγήσουν στη λύση του προβλήματος. Μας «μαρτυράει» ποιους συλλογισμούς πρέπει να κάνουμε για να αντιμετωπίσουμε το γεωμετρικό πρόβλημα, που πρέπει να είναι θεωρητικοί (δηλαδή μέσα από την θεωρία) και γενικοί.

Πχ. Ένα καλό σχήμα μας δείχνει ότι τρίγωνο μοιάζει για ορθογώνιο, άρα αρκεί να το αποδείξουμε με προτάσεις της θεωρίας

Πχ. Ένα καλό σχήμα, μας δείχνει ότι τα δύο τρίγωνα πρέπει να είναι ίσα, άρα αρκεί να εφαρμόσουμε ένα από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων (δηλ. θεωρία) και να το αποδείξουμε.

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

16

Ερώτηση 3^η

Γιατί να σχεδιάζουμε ακριβές σχήμα; Αφού δεν μας βοηθάει στην λύση…

​

Είναι 20 αξιώματα που ο Hilbert τα χώρισε σε πέντε ομάδες.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

17

Ερώτηση 4^η

Πόσα είναι τα Ευκλείδεια αξιώματα;

​

Λάθος, η γεωμετρία προϋπήρχε του Ευκλείδη, μεγάλοι Γεωμέτρες προηγήθηκαν από αυτόν, όπως ο Θαλής ο Μιλήσιος. Η ουσιαστική αξία του έργου του Ευκλείδη δεν συνίσταται τόσο στις προτάσεις που ανακάλυψε και απέδειξε (άλλωστε πολλές από αυτές ήταν γνωστές και πριν από αυτόν) όσο στο ότι ανακάλυψε την αξιωματική μέθοδο στα μαθηματικά ( αρχική όροι, οριζόμενη όροι, αξιώματα, θεωρήματα). Η Ευκλείδειος Γεωμετρία είναι η πρώτη μαθηματική αξιωματική θεωρία.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

18

Ερώτηση 5^η

Ο Ευκλείδης δημιούργησε, κατασκεύασε και ανακάλυψε τη Γεωμετρία;

​

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό. Τότε υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα Q και με ισοδυναμίες καταλήγουμε σε κάτι άτοπο (αντίφαση), οπότε η υπόθεση που κάναμε δεν είναι σωστή, άρα, η Q πρόταση είναι αληθής.

Στην περίπτωση του 5ου αξιώματος, έπρεπε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδική παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη στην ε1 (δες παραπάνω σχήμα 3).

Η μέθοδος εις απαγωγή σε άτοπο διατυπώνεται ως εξής:

Έστω ότι δεν υπάρχει μοναδική παράλληλη που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ε1, δηλαδή υπάρχουν δύο ευθείες ε2 και ε3 που είναι παράλληλη της ε1 και περνάνε από το σημείο Α, άρα … και προσδοκούσαν να καταλήξουν σε άτοπο!

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

19

Ερώτηση 6^η

Ποια είναι η μέθοδος «εις άτοπον απαγωγή»; Πως προσπάθησαν να το εφαρμόσουν στο πέμπτο αξίωμα για να το αποδείξουν;

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

20

Μεσοκάθετος

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

21

Η ευθεία ε που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ�και διέρχεται από το μέσο του λέγεται μεσοκάθετος του�ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.�Τα σημεία Α, Β λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε.�Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας. �

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

22

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

23

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

24

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

25

Θεώρημα��Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

26

Απόδειξη

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

27

Κύκλος – χορδές - τόξα �

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

28

9) Να σχεδιάσετε μια επίκεντρη γωνία σε κύκλο (Ο, ρ) που βαίνουν στο ίδιο τόξο. �α. Ποια είναι η σχέση δύο τόξων ενός κύκλου είναι ίσα με τις επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε αυτά;��β. Ποια είναι η σχέση της επίκεντρης γωνίας με το αντίστοιχο τόξο της;��γ. Έστω Μ το μέσο του τόξου ΑΒ και το μέσο του τόξου είναι ………………….�

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

29

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

30

Δραστηριότητες

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

31

1. Να βρείτε το πλήθος των διαγωνίων ενός τετραπλεύρου, πενταπλεύρου, εξαπλεύρου, δεκαπλεύρου από μία κορυφή του.

Γενίκευση: Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό ν – γώνο από μία κορυφή του;

​

2) Να βρείτε κατά πόσο αυξάνει ο αριθμός των διαγωνίων κυρτού ν-γώνου όταν ο αριθμός των πλευρών του αυξηθεί κατά 1. �

3) Να βρείτε το πλήθος δ των διαγωνίων κυρτού ν-γώνου ως συνάρτηση του πλήθους των πλευρών του (ν ≥ 3), ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:�i) Να κατασκευάσετε τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο και εξάγωνο και να βρείτε:� α) το πλήθος των διαγωνίων με μια κοινή κορυφή,� β) το συνολικό πλήθος των διαγωνίων.�ii) Μπορείτε να «ανακαλύψετε» ποιος τύπος δίνει το δ ως συνάρτηση του ν;�iii) Υποθέστε ότι ο τύπος ισχύει για πολύγωνο με ν πλευρές και να αποδείξετε ότι ισχύει για πολύγωνο με ν + 1 πλευρές.

​

Υπόδειξη: Προσθέστε μια κορυφή και βρείτε το πλήθος των επιπλέον διαγωνίων. �