Середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

Ольга ФЕНЕНКО

Криголам

1. Лема про висоту прямокутного трикутника, проведену з вершини прямого кута

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два подібних між собою прямокутних трикутники, кожний з яких подібний даному трикутнику.

AD – проєкція катета AC на гіпотенузу AB;

BD – проєкція катета BC на гіпотенузу AB.

2. Теорема про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

1) Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проєкцій катетів на гіпотенузу.

2) Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу.

2. Теорема про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

Приклад 1.

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 9 см і 16 см. Знайдіть периметр трикутника.

Приклад 2.

№14.1.

(Усно.)

NK – висота прямокутного трикутника PNM. Які з рівностей правильні:

№14.2.

(Усно.)

№14.4.

Знайдіть середнє пропорційне відрізків завдовжки:

1) 2 см і 8 см;

2) 27 дм і 3 дм;

№14.6.

Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо проєкції катетів на гіпотенузу дорівнюють 9 см і 25 см.

Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проєкція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза - 16 см.

​

№14.8.

№14.10.

Катет прямокутного трикутника дорівнює 18 см, а його проєкція на гіпотенузу –

9 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

​

№14.12.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 8 см і 4,5 см. Знайдіть катети трикутника.

Фізкультхвилинка

https://www.youtube.com/watch?v=ro320aiyesc

​

Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки 1 см і 8 см, починаючи від вершини кута при основі. Знайдіть периметр трикутника.

№14.14.

№14.16. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, ділить гіпотенузу на відрізки, що відносяться як 9 : 16. Знайдіть катети трикутника, якщо його висота дорівнює 24 см.

№14.18. Коло, вписане в ромб, точкою дотику ділить сторону ромба на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть радіус кола.

Відповідь: 2 см.

№14.19. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої 10 см і 8 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

№14.21.

Коло, вписане в трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

№14.22. Коло, вписане в трапецію, точкою дотику ділить одну з бічних сторін на відрізки 2 см і 8 см завдовжки, а іншу – на відрізки, один з яких дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трапеції.

Розв’язання

1) Нехай CL = 2 см; LD = 8 см; BN = 4 см; точка O – центр кола, вписаного у трапецію.

2) Міркуючи аналогічно до № 14.21

∆COD – прямокутний:

За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику:

Оціни за допомогою фразеологізмів

​