Лекция 6. Категорични твърдения
Видове категорични твърдения. Логически квадрат. Моделиране на категоричните твърдения с кръговете на Ойлер
Два смисъла на “категорично твърдение”
Значение 1. Категорично е твърдение, в което нещо се утвърждава или отрича безусловно. (“София е мръсна”.)
Освен категорични твърденията биват хипотетични (“Ако е ясно какво представлява истинската нравственост, то ще е ясно и всичко останало” - Кун Дзъ) и разделителни (дизюнктивни) (“Човек, който не пие, е или болен, или лош човек” - Руска народна поговорка)
Значение 2. Категорично е твърдение, в което един клас (categoria), наречен субект (S), частично или напълно се включва в или изключва от някакъв друг клас, наречен предикат (P).
Примери: В твърдението “Всички хора са смъртни” класът на хората S напълно се включва в класа на смъртните неща P. (Всички S са P) В твърдението “Някои хора не са религиозни” класът на хората S частично се изключва от класа на религиозните P. (Някои S не са Р)
Деление на категоричните твърдения
По количество – общи и частни. (В зависимост от това как - напълно или частично - субектът се включва в или изключва от предиката).
По качество – утвърдителни и отрицателни. (В зависимост от това дали субектът се включва в или се изключва от предиката.)
Общоутвърдителни А Всички S са Р
Частноутвърдителнои I Някои S са Р
Общоотрицателни Е Всички S не са Р
Частноотрицателни О Някои S не са Р
affirmo – утвърждавам; nego – отричам.
Логически квадрат. �Михаил Псел (1018 – 1096)
А и Е не могат да бъдат едновременно верни
A Е
“Всички лебеди “Всички лебеди
са бели” не са бели”
От А следва I От Е следва О
О
“Някои лебеди са бели“ “Някои лебеди не са бели”
I и О не могат да бъдат едновременно неверни
I
подчинение
подчинение
Непосредствена изводимст и “сила” на твърденията
Твърдението b следва от твърдението a (a∴b) ако и само ако истинността на а гарантира истинността на b.
Изводимостта в аргумент с една предпоставка се нарича непосредствена.
Ако а ∴ b, но не е вярно, че b∴ а, то казваме, че твърдението а е по-силно от твърдението b.
Примери:
Зависимост между подчинените твърдения
А Всички хора са смъртни Е Всички хора не са смъртни
I Някои хора са смъртни О Някои хора не са смъртни
А Е
I O
Ако А е вярно, и I е вярно Ако Е е вярно, и О е вярно
Ако I е невярно, и А е невярно Ако О е невярно, и Е е невярно
Съвместимост и несъвместимост
Съвместими - твърдения, които могат да бъдат едновременно верни
Несъвместими - твърдения, които не могат да бъдат едновременно верни
Пълна съвместимост - твърденията могат да бъдат и едновременно верни, и едновременно неверни (Пример – подчинени твърдения)
Частичната съвместимост - могат да бъдат едновременно верни, но не и едновременно неверни. (субконтрарни твърдения)
Частична несъвместимост - не могат да бъдат едновременно верни, но могат да бъдат едновременно неверни (контрарни твърдения)
Пълна несъвместимост - не могат да бъдат както едновременно верни, така и едновременно неверни (контрадикторни твърдения).
Взаимозависимост на категоричните твърдения
категорични твърдения
независими зависими
Всички хора са грешни
Всички лебеди са бели
съвместими несъвместими
1) напълно 2) частично 3) напълно 4) частично
съвместими съвместими несъвместими несъвместими
3) не могат да бъдат нито едновременно верни, нито едновременно неверни
4) не могат да бъдат едновременно верни, но могат да бъдат едновременно неверни
Категорични твърдения
Напълно съвместими
Подчинени “Всички лебеди са бели” “Всички лебеди не са бели”
“Някои лебеди са бели” “Някои лебеди не са бели”
Частично съвместими
Субконтрарни “Някои лебеди са бели”
Някои лебеди не са бели”
Напълно несъвместими
Противоречиви“ “Всички лебеди са бели” ”Всички лебеди не са бели”
“Някои лебеди не са бели” “Някои лебеди са бели”
Частично несъвместими
Контрарни “Всички лебеди са бели”
“Всички лебеди не са бели”
Един специален вид несъвместимост
Твърдението “Някои S са Р” е двусмислено. То може да означава
1) съществува (поне едно) S, което е Р - екзистенциално твърдение ;
2) някои, но не всички S са Р – съдържа две твърдения: Някои S са Р и Не е вярно, че всички S са Р.
В общия случай “Някои S са Р” се схваща като екзистенциално твърдение - въпросът дали всички или само някои S са Р остава открит. Приема се, че “Всички S са Р” и “Някои S са Р” са напълно съвместими – те могат да бъдат едновременно верни, както и едновременно неверни.
Твърденията “Всички S са Р” и “Някои, но не всички S са Р” са несъвместими - те не могат да бъдат едновременно верни. Несъвместимостта е частична – твърденията могат да бъдат едновременно неверни.
Логическият квадрат в модерната логика
контрадикторни
контрадикторни
А
Е
I
O
Отпадат всички съотношения освен тези между контрарните твърдения
Възможни отношения между класовете
1. 2. 3. 4.
строго включване с
включване тъждественост пресичане изключване
(без тъждественост)
A
B
B
A
B A
A
B
A
B
A
B
Моделиране на категоричните твърдения по Ойлер
(1707 – 1783)
Швейцарски математик, физик, астроном и логик. Един от най-великите математици на всички времена. Неговите математически приноси са основно в областта на анализа, теорията на числата и теорията на графите.
Леонард Ойлер е роден в Базел. Работи в Санкт Петербург (1727 – 1741; 1766 – 1783) и в Берлин (1741 – 1766).
Значения, които могат да се припишат на категоричните твърдения (верификатори на категоричните твърдения)
Твърдения А (Всички S са Р)
1. 2.
Твърдения I (Някои S са P)
1. 2. 3. 4.
Твърдения Е Твърдения О (Някои S не са Р)
(Всички S не са Р)
1. 1. 2. 3.
P
S
S P
P
S
S P
S
P
S
P
S
P
P
Лекция 7. Категоричен силогизъм
Доказване на невалидност с кръговете на Ойлер
Категоричен силогизъм - общи положения
Състои се от три твърдения и съдържа три термина:
Голям термин – предикатът на извода – Р.
Малък термин – субектът на извода – S.
Среден термин – класът, който не фигурира в извода – М . Средният термин присъства и в двете предпоставки.
Голяма предпоставка – предпоставката, която съдържа Р.
Малка предпоставка – предпоставката, която съдържа S .
Ред на изписване на предпоставките: голяма предпоставка, малка предпоставка, извод.
Пример: Всички хора са смъртни MAP
Всички гърци са хора SAM
∴ Всички гърци са смъртни ∴ SAP
За метода на контрапримера по Ойлер
За метода на контрапримера по Ойлер
3. Приложението на метода предполага посочване
4. Приложението на метода изисква доза фантазия и изобретателност.
Пример за доказване на невалидност чрез Ойлеровите кръгове
“Всички бозайници са живи същества PAM
Всички хора са живи същества SAM
S M P
Извод – две възможности
Възможни значения на предпоставките
Втори възможен извод, несъвместим с първия
“Всички хора не са бозайници”
Изводът е верен на емпирични, а не на логически основания.
S P
S
P
S
P
S
Втори пример за приложение на метода
“Някои плодове са жълти MIP
Някои плодове са лимони MIS
S M P
Извод – четири възможности
Възможни значения на предпоставките
Втори възможен извод, несъвместим с първия
“Нито един лимон не е жълт”
Изводът е верен на емпирични, а не на логически основания
S
P
S
P
S
Трети пример за приложението на метода
“ Всички лебеди плуват. MAP
Всички лебеди не са къртици. MES
∴Всички къртици не плуват. ∴ SEP
S M P
Извод – една възможност
Възможни значения на предпоставките
Втори възможен извод, несъвместим с първия
“Някои къртици плуват”
Изводът е верен на емпирични, а не на логически основания.
P
M
Четвърти пример за приложение на метода
Всички гърци са смъртни MAP
Всички гърци са хора MAS
M S P
Извод – две възможности:
Възможни значения на
предпоставките:
Втори възможен извод:
“Някои (но не всички) хора са смъртни”
P
S
S
P
P
S
S
P
M
M
M