Комбінаторні задачі

Під час зустрічі 9 хлопчиків нашого класу потиснули �один одному руки. Скільки рукостискань було здійснено? �

Скількома способами четверо друзів можуть стати один за одним у черзі до буфету? ��

Скількома способами можна обрати у нашому класі старосту та його заступника?

Нерідко в повсякденному житті ми стикаємось із задачами, розв'язання яких потребує розгляду та підрахунку �всіх можливих випадків, �або, як ще прийнято говорити, � усіх можливих комбінацій. � Тому такі задачі називають� комбінаторними. �

�СПОСІБ ПЕРЕБОРУ

Задача 1. Скільки існує прямокутників, периметри яких дорівнюють 24 см, а довжини сторін є натуральними числами, які виражені в сантиметрах.

​

Розв'язання

Периметр прямокутника знайдемо за� формулою: P = 2⋅(a + b), де a і b – його� сторони. P = 24 см за умовою, a + b = 12. � Запишемо у таблицю всі можливі � комбінації довжин сторін прямокутника:

Розв'язання

P = 2⋅(a + b)

�

Відповідь. 6 прямокутників.

�СПОСІБ ПЕРЕБОРУ�

Задача 2. Скількома способами можна �скласти розклад трьох перших уроків у 5 класі з предметів: математика, українська мова, історія?

Розв'язання

Введемо позначення: математика - М, українська мова - У, історія - І. Бачимо, що вже утворилась перша комбінація. Запишемо її в один ряд і обведемо кожну літеру квадратиком���

М

У

І

Розв'язання

Від кожного квадратика проведемо 2 гілки, �які показують, що перебирати залишилось із �2 літер. На кінцях гілок розмістимо квадратики, �в які впишемо позначення цих літер.�

���

М

У

І

І

І

У

У

М

М

Розв'язання

Залишилось перебрати по одній літері. �Від кожного квадратика другого рівня проводимо по 1 гілці з квадратиком і �вписуємо в них відповідну літеру. �Тепер порахуємо �кількість квадратиків � у третьому рівні. � Їх виявилось 6.

Отже, розклад � можна скласти 6 способами.

Відповідь. 6.�

���

М

У

І

І

І

У

У

М

М

І

І

У

У

М

М

Зверніть увагу:

У дереві можливих варіантів:

1. стільки рівнів, скільки задано елементів;
2. на кожному рівні проводять стільки гілок,�скільки елементів залишилось перебрати.

​

​

����

М

У

І

І

І

У

У

М

М

І

І

У

У

М

М

Задача 3. Скільки трицифрових чисел� можна утворити з цифр 1, 2, 3, за� умови, що кожну цифру можна� використати лише один раз?

�ПРАВИЛО ДОБУТКУ�

Задача 4. На пошті у продажу є п'ять різних конвертів і три різні марки. Скількома способами можна купити конверт з маркою?

Розв'язання

Оберемо конверт. У комплект до нього� можна вибрати будь-яку з трьох марок.�

​

​

Маємо 3 комплекти з обраним конвертом.� Оскільки конвертів у 5 разів більше, � то кількість різних способів становить� 15 (3 ⋅ 5 = 15). Відповідь. 15.�����

Задача 5. Скільки трицифрових чисел� можна утворити з цифр 3, 4, 6?

Задача 6. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу й чорну тури, щоб вони не били одна одну?

Розв'язання

Модуль 11. Комбінаторика та ймовірність. Заняття 1: Комбінаторні задачі. 13.14 - 15.58. https://www.youtube.com/watch?v=vozVBkEsPsI

Правило суми

Якщо елемент А можна обрати �m способами, а елемент �В – n способами, то �або елемент А або елемент В можна обрати m + n способами.

Правило добутку

Якщо елемент А можна обрати �m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна обрати (незалежно від вибору елемента А) �n способами, то пару елементів А і В можна обрати m ⋅ n способами.

Приклад.

Від селища А до селища В можна доїхати трьома дорогами, �а від В до С – двома. Скільки існує маршрутів, щоб виїхати із селища В?

Скільки існує маршрутів, щоб дістатися від селища А до селища С?

Знайди відповіді на три запитання, �що на слайді 2. Щасти тобі!