El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo más pequeño que esos números tienen en común.
El mínimo común múltiplo se suele expresar con las siglas m.c.m. (a, b), siendo a y b los números.
¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo, m.c.m?
Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
m.c.m. (180,324)
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1. Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.
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2. El mínimo común múltiplo se obtiene tomando todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia. Es decir tomamos todos los factores, pero los que se repitan los cogemos elevados a la máxima potencia.�
m.c.m. (180,324)= 22x5x34
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El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2.
El 5 sólo aparece en la descomposición de 180, pero tenemos que coger todos.
El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.
3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (180,324)= 22x5x34= 1620
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MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande por el que se pueden dividir dichos números.
El máximo común divisor se suele expresar con las siglas M.C.D. (a,b), siendo a y b los números.
¿Cómo se calcula el máximo común divisor (M.C.D)?
Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el máximo común divisor de 180 y 324.
M.C.D. (180,324)
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1. Para calcular el máximo común divisor de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.
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2. El máximo común divisor se obtiene cogiendo solo los factores primos comunes a los números que hemos descompuesto, elevados al menor exponente. Es decir cogemos solo los factores comunes y los que se repitan los cogemos elevados a la mínima potencia.
M.C.D. (180,324)= 22x32
El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2.
El 3 aparece también como factor común pero en este caso cogemos elevado a la mínima potencia.
El 5 no le cogemos porque no es un factor común.
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3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el máximo común divisor
M.C.D. (180,324)= 22x32= 36
EJEMPLO. Calculamos el mcm y el MCD de 96, 240 y 180
1. Descomponemos
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2. Escogemos los factores
m.c.m. (180,96, 240)= 25x5x32
El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, el mayor exponente es 5.
El 5 aparece en la descomposición de 180, y 240 pero tenemos que coger todos.
El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.
M.C.D. (180,96, 240)= 22x3
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El 2 aparece como factor primo en las 3 descomposiciones, el menor exponente es 2.
El 3 aparece también como factor común pero en este caso cogemos elevado a la mínima potencia.
El 5 no le cogemos porque no es un factor común.
3. Calculamos
m.c.m. (180,96, 240)= 25x5x32=1440
M.C.D. (180,96, 240)= 22x3= 12
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Ejercicios
Calcular el m.c.m y M.C.D de los siguientes números:
30, 75
80,45
5, 20, 34
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EJERCICIOS
Un faro se enciende cada {12} segundos, otro cada {18} segundos y un tercero cada minuto. A las {6:30} de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora volveran a coincidir nuevamente?
Un viajero va a Barcelona cada {18} días y otro cada {24} días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
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En una bodega hay {3} toneles de vino, cuyas capacidades son {250, 360, 540} litros respectivamente. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
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Un comerciante desea poner en cajas {12 028} manzanas y {12 772} naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias