1

16.07.2026

TABAKALI KOMPOZİTLERDE GERİLME – GERİNİM HESAPLAMALARI

8.

(Videolar : 8a ve 8b.)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

KLASİK LAMİNASYON TEORİSİ (CLT)

(CLT’ nin alternatifi olan Zor Eşdeğer Hacim Modeli 9.4 ve 10. bölümlerde anlatılacaktır.)

2

16.07.2026

8.1 Bu bölümde Amacımız, sürekli fiberlerle güçlendirilmiş ortotropik tabakaların birleştirilmesiyle elde edilen tabakalı bir yapının herhangi bir noktasında oluşan gerilme ve gerinmeleri teorik olarak hesaplayabileceğimiz denklemler geliştirmektir.

Birden fazla kompozit tabakanın üst üste yapıştırılması sonucunda oluşan yapılara tabakalı kompozit yapı diyoruz.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

• Denklemler, Klasik Tabakalandırma Teorisi (Classic Lamination Theory-CLT) kapsamında geliştirilecek; farklı fiber yönlendirme açısı, farklı kalınlık ve farklı malzeme özelliklerine sahip tabakalardan oluşan yapılar için de geçerli olacaktır.

• Çözülecek örneklerde, 7nci konuda anlatılan kriterlere göre hasar tespitleri de yapılacaktır.

3

16.07.2026

Q elemanındaki İç Kuvvet ve iç momentlerin anlamı:

N_x: x yönündeki birim uzunluğa düşen normal (çeki veya bası) iç kuvveti,

N_y : y yönündeki birim uzunluğa düşen normal (çeki veya bası) iç kuvveti

N_xy = N_yx : Birim uzunluğa düşen iç kesme kuvvetleri

M_x: Normali x olan kesitte, birim uzunluğa düşen eğilme iç momenti

M_y:Normali y olan kesitte, birim uzunluğa düşen eğilme iç momenti

M_{xy :} Normali x olan kesitte, birim uzunluğa düşen burulma iç momenti

M_yx: Normali y olan kesitte, birim uzunluğa düşen burulma momenti

• Şimdi Q elemanındaki tüm iç kuvvet ve momentlerin statik dengeden daha önceden hesaplandığı ve her birisinin belli olduğunu düşünüyoruz.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

8.2 Birim Uzunlukta ortaya çıkan iç kuvvet ve iç momentler:

Dış yüklerin (P₁,P₂,.. M₁,M₂:..) etkisine maruz ve statik dengede olan tabakalı bir kompozit yapı düşünüyoruz. Bu yapıdan tabaka ile aynı kalınlıkta ve 1 mm kenar uzunluklarına sahip bir Q elemanını hayali olarak ayırıyoruz. Ayırma prensibine göre bu Q elemanı da yine statik dengededir.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

• Q elamanına ait olan ‘b’ gibi bir noktadaki gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri hesaplamak istiyoruz.
• b elemanında düzlem gerilme durumunun olduğunu kabul ediyoruz.

4

29.07.2025

1. Her tabaka kendi içinde elastik, ortotropik ve homojendir.
2. Tabakaların birbirlerine çok iyi yapıştığı kabul edilmektedir.
3. Tabakalı kompozit plakanın kalınlığının ortasından geçen

orta düzleme (midplane) yükleme öncesinde çizilen dik ve düz bir

çizgi (örn:CA doğrusu) yükleme sonunda da (deformasyon sonrasında) dik ve düz kalır

(C’A‘ doğrusu). Yani, düzlem dışı kayma şekil değiştirmeleri meydana gelmez,(γ_xz = γ _yz =0)

6. Kartezyen koordinat sistemi tabakalı kompozitin orta düzlemine yerleştirilir ve z ekseni mutlaka aşağı yönde seçilir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

8.3 Klasik Tabakalandırma Teorisi (Classical Laminaton Theory- CLT) ve Kabuller :

Plakanın (Tabakalı yapının) Q elemanının şekil değiştirmiş halini dikkate alıyoruz. Bu elemana kalınlık tarafından ve x-z düzleminden baktığımız zaman, aşağıdaki kabulleri yapacağız.

Bundan sonraki aşamalarda tabakalı yapının herhangi bir noktasındaki gerilme ve gerinmeleri; CLT kapsamında bilinen değerler olan, iç kuvvet ve iç momentler cinsinden elde etmeye çalışacağız.

8. [A], [B], [D] Matrisleri Yardımıyla Tabakalı Kompozitlerde Gerilme-Şekil Değiştirme Hesapları

5. Deplasmanlar/yer değiştirmeler plaka kalınlığına oranla çok küçük kalmaktadır.

4. Plakanın (Tabakalı yapının) ince olduğu ve sadece düzlem gerilme durumuna maruz olduğu kabul edilir, (σ_z = τ_xz = τ _yz =0)

7. Poisson özelliği sebebiyle bir tabaka yanal serbest şekil değiştirmek istemesine rağmen, diğer tabakalarla tam yapışma sebebiyle bu yanal şekil değiştirmesi kısıtlanır. Fakat tabakalar arası bu yanal etkileşim (poisson etkileşimi) ihmal edilir.

5

16.07.2026

1. Her tabaka kendi içinde elastik, ortotropik ve homojendir.
2. Tabakaların birbirlerine çok iyi yapıştığı kabul edilmektedir.
3. Tabakalı kompozit plakanın kalınlığının ortasından geçen

orta düzleme (midplane) yükleme öncesinde çizilen dik ve düz bir

çizgi (örn:CA doğrusu) yükleme sonunda da (deformasyon sonrasında) dik ve düz kalır

(C’A‘ doğrusu). Yani, düzlem dışı kayma şekil değiştirmeleri meydana gelmez,(γ_xz = γ _yz =0)

6. Kullanılan kartezyen koordinat sistemi tabakalı kompozitin orta düzlemine yerleştirilir ve

z ekseni mutlaka aşağı yönde seçilir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

8.3 Klasik Laminasyon (Tabakalandırma) Teorisi ve Kabuller :

Plakanın (Tabakalı yapının) Q elemanının şekil değiştirmiş halini dikkate alıyoruz. Bu elemana kalınlık tarafından ve x-z düzleminden baktığımız zaman, aşağıdaki kabulleri yapacağız.

Bundan sonraki aşamalarda tabakalı yapının herhangi bir noktasındaki gerilme ve gerinmeleri; bilinen değerler olan, iç kuvvet ve iç momentler cinsinden elde etmeye çalışacağız.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

5. Deplasmanlar/yer değiştirmeler plaka kalınlığına oranla çok küçük kalmaktadır.

4. Plakanın (Tabakalı yapının) ince olduğu ve sadece düzlem gerilme durumuna maruz olduğu kabul edilir, (σ_z = τ_xz = τ _yz =0)

6

16.07.2026

:C noktasının düşey (z) deplasmanı, yani eğilmeden kaynaklı çökme miktarı (‘0’ indisi orta düzlem için kullanılır)

:C noktasının yatay (x) deplasmanı (şekil değiştirmeden kaynaklı x doğrultusundaki toplam yer değiştirme miktarı)

u

:A noktasının yatay (x) deplasmanı (yer değiştirme miktarı) ,

α

:C‘ noktasından geçen teğetinin yatayla yaptığı açı

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Orta düzlemdeki C noktasının eğimi:

(8.1)

8.4 Global Gerilme ve Gerinmelerin Orta Düzlem Değerlerine Göre Hesaplanması

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

C

A

z

C'

z

u

α

α

dx

dw₀

.

.

A'

Orta düzlem

z

x

Şimdi şekildeki oval çerçeve içindeki kısmı büyütüp daha detaylı inceliyoruz:

C: orta düzlem üzerindeki bir nokta

A: herhangi bir k tabakası üzerinde olup, C den z kadar uzakta bir nokta

C’ ve A’ : şekil değiştirdikten sonra C ve A noktalarının son konumudur.

3ncü kabule göre CA=C’A’=z yazılabilir.

:Orta düzlemin eğilmeden kaynaklı şekil değiştirmiş son hali

α

7

16.07.2026

y-z düzleminden baktığımızda benzer şekilde A noktasının y yönündeki deplasmanı:

Küçük açılar için;

k gibi herhangi bir tabaka üzerindeki bir A noktasının x doğrultusundaki deplasmanına (u) bakacak olursak;

Buradan x doğrultusundaki birim uzama (gerinme) değeri:

ve buradan y doğrultusundaki birim uzama (gerinme) değeri:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.5)

(8.6)

(8.7)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

8

16.07.2026

x-y düzlemindeki kayma şekil değişimi:

bulunur.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Daha önce elde ettiğimiz, Denk. 8.4 ve 8.6; üstteki 8.8 denkleminde yerine koyulursa:

(8.8)

(8.9)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

(8.4)

(8.6)

9

16.07.2026

8.10 denkleminin sağ tarafındaki terimlerin anlamı:

Orta düzlemin eğrilikleri (curvatures):

8.5, 8.7 ve 8.9 denklemlerini matris formatında yazacak olursak:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(8.10)

=

Orta düzlemdeki gerinmeler:

(8.11)

(8.12)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

10

16.07.2026

Global Gerinmeler:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(8.13)

Bu durumda k tabakası üzerinde olup, orta düzlemden z kadar uzaklıktaki bir noktada:

(8.11 ve 8.12 denklemleri 8.10 da yerine koyulursa)

(6.1 denklemini hatırlarsak)

Global Gerilmeler:

(8.14)

Bundan sonra orta düzlemdeki gerinmeleri ve eğrilikleri iç kuvvet ve iç momentler cinsinden elde edeceğiz... >>

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

8.5 Bir tabakalı yapının kodlanması

11

16.07.2026

• Tabakalı kompozitler ile ilgili problemleri çözerken tabakaların doğru numaralandırılması ve arayüzeylerin kodlanması gerekmektedir. (Bunun sebebi ileri de daha net anlaşılacaktır.)

• Yandaki şekilde n adet tabakadan oluşan kompozit bir yapının x-z düzleminden gösterimi yer almaktadır.

Kodlamada şu noktalara dikkat edilmelidir:

1. Önce tabakalara numara verilir. En üstteki 1 nolu tabaka olup, diğer tabaka numaraları aşağı doğru verilir.
2. Daha sonra tabaka arayüzeyleri kodlanır. En üst tabakanın dış yüzeyi h₀ (veya z₀ ); aşağı doğru inildikçe herbir arayüzeye h₁, h₂, … şeklinde kod numaraları verilir.
3. h değerleri aslında o ara yüzeyin z koordinatıdır ve negatif de olabilir. h yerine z simgesi de kullanılabilir.
4. Orta düzlem bir arayüzeye denk gelmeyebilir. Bu durumda orta düzleme ayrı bir kod numarası verilmez.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Örnek 2: Üç tabakalı bir yapının kodlanmış hali

Örnek 1: İki tabakalı bir yapının kodlanmış hali

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

• Kartezyen koordinat sisteminin orjini, kalınlığın tam ortasından geçen orta düzlemdeki herhangi bir noktaya yerleştirilir. Orta düzlem x-y düzlemi ile çakışıktır. z ekseni ise kalınlık doğrultusunda ve aşağı yönde seçilir.

8.6 Orta Düzlemin Şekil Değiştirmelerinin Hesaplanması

12

16.07.2026

Tabakalı bir yapıda, 1 mm kenar uzunluğuna sahip bir Q elemanındaki iç kuvvetleri inceliyoruz:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

k tabakasında x yönünde gerilme ve iç kuvvet:

1mm genişliğinde, dz kalınlığında dA

diferansiyel şerit alanında x yönündeki iç kuvvet:

(8.15)

Tabakalı Q elemanında x yönündeki iç normal kuvvet:

Tabakalı Q elemanında y yönündeki iç normal kuvvet:

Tabakalı Q elemanında iç kesme kuvveti:

Benzer şekilde y yönü için aynı işlemler yapılırsa;

(8.16)

(8.17)

Nx, Ny, Nxy : Birim uzunluğa düşen iç kuvvetlerdir. Birimleri N/mm dir.

k tabakasında x yönündeki iç kuvvet:

8.15, 8.16 ve 8.17 denklemlerini tek matris formatında yazarsak:

(8.18)

k

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Orta düzlem

(midplane)

13

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Şimdi Q elamanında iç momentleri inceliyoruz.

k tabakasındaki x yönündeki gerilmeler ve iç eğilme momenti (M_x-k).

İç kuvvet x

Dik uzaklık

• Tabakalı Q elemanında normali x olan kesitteki iç eğilme momenti:

Benzer şekilde y yönü için aynı işlemler yapılırsa;

• Tabakalı Q elemanında normali y olan kesitteki toplam eğilme momenti:

• Tabakalı Q elemanında burulma iç momentleri:

• 8.19, 8.20 ve 8.21 denklemlerini tek matris formatında yazarsak:

(8.19)

(8.20)

(8.21)

(8.22)

Birim uzunluğa düşen iç eğilme momentleri M_x, M_y ; İç burulma momenti: M_xy . Birimleri Nmm/mm.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Orta düzlem

(mid plane)

14

16.07.2026

Denk. 8.14 de bir k tabakasındaki global gerilmeleri orta düzlemin şekil değiştirmeleri cinsinden şu şekilde ifade etmiştik:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Şimdi Denk. 8.14’ü, Denk.8.18’ de ve 8.22’de yerine koyarsak;

Orta düzlemin şekil değiştirmeleri ve eğrilikleri z’ye bağlı değildir.

(8.23)

(8.24)

(8.25)

DİRENGENLİK MATRİSLERİ

Bu direngenlik matrisleri tabakalı yapının bütününe ait olduğundan, her birisinden 1 tane vardır.

Tüm Tabakalı Yapıya Ait

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

15

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(8.26)

(8.27)

Direngenlik Matrislerinin her birisi 3x3 lük matrislerdir ve 9’ar terimi vardır.

Direngenlik matrisleri yerine koyulursa;

İç kuvvetler:

İç momentler:

(8.28)

(8.29)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

16

16.07.2026

8.31 denkleminden orta düzlemin şekil değiştirmeleri ve eğriliklerini çekersek:

Denk. 8.28 ve 8.29’u tek matriste birleştirirsek:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(8.30)

(8.31)

Sembolik olarak:

Açık ifadesiyle:

(8.32)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

17

16.07.2026

8.7 Özel Durumlar

1. Özel Durum: Orta düzleme göre; malzeme, yük, geometri ve fiber dizilişi açısından Simetrik yapılarda [B] = 0 ’dır.

2.Özel Durum: Simetrik yapılarda iç momentlerin hepsi sıfır ise , orta düzlemin eğrilikleri de sıfır olur.

İşte bu durumda işlemlere girmeyeceğinden [D] matrisini hesaplamaya gerek kalmaz.

Simetriklikten dolayı da [B]=0 olduğundan sadece [A] matrisi işlemlere girer.

Fakat aşağıdaki özel durumlarda bu matrislerin bazılarını hesaplamamıza gerek kalmaz:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Yani:

ise

olur.

Bu sebeple tabakalı bir yapının hesaplamalarına geçmeden önce yukarıdaki özel durumlara girip girmediği kontrol edilmelidir.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

3.Özel Durum:

Simetrik yapılarda; iç kuvvetlerin hepsi sıfır ise orta düzlemin gerinmeleri de sıfır olur.

Yani:

ise

olur.

İşte bu durumda işlemlere girmeyeceğinden [A] matrisini hesaplamaya gerek kalmaz.

Simetriklikten dolayı da [B]=0 olduğundan sadece [D] matrisi işlemlere girer.

4.Özel Durum:

orta düzlemin eğrilikleri

işleme girmez.

İşte bu durumda yine [D] matrisini hesaplamaya gerek kalmaz.

z = 0 olduğu için

Simetrik veya Simetrik olmayan yapılarda; orta düzlemdeki gerilmeler veya şekil değiştirmeler soruluyorsa;

Denk. 8.13 ve 8.14 den yapılacak gerilme veya şekil değiştirme hesaplamalarında

18

16.07.2026

ÖRNEK 8.1:

Yeni Üretilen 400mm x 400mm x 4mm boyutlarında bir kompozit tabaka için, deneysel ölçümlerle bulunan malzeme özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Bu tabakadan 2 tanesi üst üste sırasıyla 45^o ve 0^o fiber yönlendirme dizilişleriyle yapıştırılarak tabakalı bir yapı oluşturulmuştur.

Tabakalı yapının Q noktasındaki 1mm x 1mm x 8 mm boyutlarındaki bir elemanda oluşan iç kuvvetler şekilde gösterilmiştir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

c-) Hoffman kriterine göre üst tabakanın üst yüzeyinde hasar oluşup oluşmayacağını kontrol ediniz.

a-) üst tabakanın üst ve alt; alt tabakanın üst, orta ve alt yüzeylerinde oluşan lokal gerilmeleri ve lokal gerinmeleri hesaplayınız.

b-) N_x kuvvetinin tabakalara hangi oranda dağıldığını tespit ediniz.

Buna göre Q noktasında,

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

4mm

4mm

19

16.07.2026

ÇÖZÜM :

3. Adım: Yapı Özel Durumlara giriyor mu?

Bu yapı, 8.7 maddesinde açıklanan özel durumlardan herhangi birisine giriyor mu? Öncelikle bu tespit edilir.

1nci Özel Durum’a giriyor mu?

2nci Özel Durum’a giriyor mu?

3ncü Özel Durum’a giriyor mu?

Fiber dizilimi açısından orta düzleme göre simetriklik olmadığından,

1. özel duruma girmez. O halde [B] matrisi sıfırdan farklı olacaktır.

Yapı simetrik olmadığı için 2. Özel durum’a da giremez.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Sadece orta düzlemdeki gerilmeler veya şekil değiştirmeler sorulmadığı için 4.Özel duruma da girmez.

a-)

1. Adım: İç kuvvetler ve iç Momentleri Hesaplanır.

Statik dengeden birim uzunluğa düşen iç kuvvetler (N_x, N_y, N_xy) ve iç momentler(M_x,M_y,M_xy) hesaplanır. Fakat bu örnekte bu değerler doğrudan verilmiştir.

2. Adım:

Tabakalı yapı kodlanır.

• Üstten aşağıya doğru tabakalara numara verilir (1 ve 2).
• 8.5 maddesinde izah edildiği gibi, üstten aşağı doğru herbir dış yüzeye ve arayüzeye h değeri sırayla verilir.
• Aslında h değeri o ara yüzeyin z koordinatıdır.

Aşağıdaki adımlar takip ederek sorulan noktalarda lokal gerilmeler ve lokal gerinmeleri elde edeceğiz.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

• Orta düzlem (toplam kalınlığın ortası) iki tabaka arayüzeyidir. x-y düzlemi orta düzlemle çakışır. z ise aşağı yönde seçilir.

4ncü Özel Durum’a giriyor mu?

Yapı simetrik olmadığı için 3. Özel durum’a da giremez.

Sonuç olarak, yapı hiçbir özel duruma girmediği için [A], [B] ve [D] matrislerinin hepsi hesaplanması gerekir

20

16.07.2026

4. Adım:

Herbir tabakanın [Q] matrisleri hesaplanır:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Her iki tabakanın malzemeleri aynı olduğundan [Q] matrisleri eşittir:

[Q] matrisleri sadece malzeme özelliklerine bağlıdır.

(Fiber yönlendirme açısına (θ’ya) bağlı değildir.)

Önce minor poisson oranı hesaplanır;

1 nolu tabakanın [Q] matrisi

2 nolu tabakanın [Q] matrisi

Denk. 2.7’den:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

21

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

5. Adım:

olmak üzere

6.14 denklemlerinden;

1.Tabaka için: θ =45^o

2.Tabaka için: θ =0^o

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

(Bu tespiti unutmayın… Problemleri çözerken pratiklik kazandırır.)

22

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

6. Adım:

Tüm yapıya ait olan [A], [B] ve [D] matrislerinden gerekli olanlar hesaplanır.

Bu örnekteki 2 tabakalı yapı, hiçbir özel hale girmediği için bu 3 matrisin hepsi hesaplanacaktır:

olarak bulunur.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

23

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Diğer direngenlik matrislerini hesaplayalım:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

24

16.07.2026

Orta düzlemin gerinmeleri ve eğrilikleri hesaplanır:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

7. Adım:

Denk. 8.32’den

https://www.youtube.com/watch?v=AjTBunqakDA

https://www.youtube.com/watch?v=SOOFvGa81nA

Matris Tersi Alma için yardımcı videolar :

Excel ‘de:

Matlab’da:

Sağdaki 6x6 lık matrisin tersini bir program yardımıyla alıp yerine koyarsak;

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

25

16.07.2026

Sorulan diğer noktaların içinde benzer hesaplamalar yapılmış, sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Global gerinmeler (şekil değiştirmeler) hesaplanır:

8. Adım:

Denk. 8.13’den

1nci (Üst) tabakanın üst yüzeyi için; (z=-4)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

26

16.07.2026

Sorulan diğer noktalar içinde hesaplar yapılmış ve alttaki tabloda tüm global gerilmeler gösterilmiştir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Global gerilmeler hesaplanır:

9. Adım:

6.1 denklemi uygulanırsa;

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

27

16.07.2026

c:cos45^o , s:sin45^o

Fark edileceği üzere 2.tabakada (0° fiber yönlenmeli tabaka) meydana gelen (önceki sayfadaki tabloda yer alan) global gerilmeler ile lokal gerilmeler eşittir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Lokal gerilmeler hesaplanır:

10. Adım:

6.7 denklemi uygulanırsa;

Sorulan diğer noktalar içinde hesaplar yapılmış ve alttaki tabloda tüm lokal gerilmeler gösterilmiştir.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

28

16.07.2026

Hesaplamalar istenilen diğer noktalar için de yapıldığında ;

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Lokal gerinmeler (şekil değiştirmeler) hesaplanır:

11. Adım:

6.11 denklemi uygulanırsa;

c:cos45^o , s:sin45^o

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

29

16.07.2026

a şıkkı için alternatif çözüm yolu:

9.Adım-) Lokal şekil değiştirmeler dönüşüm bağıntılarından elde edilir :

10.Adım-) Sonrasında Hooke bağıntılarından lokal gerilmeler hesaplanır:

veya lokal gerilmelerden de global gerilmeler hesaplanabilirdi:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

İlk 8 adım aynen yapılarak, global gerinmeler elde edilir. Bundan sonra aşağıdaki adımlar takip edilir.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

30

16.07.2026

N_x kuvvetinin tabakalara hangi şiddette ve oranlarda dağıldığını ortalama olarak şu şekilde hesaplayabiliriz:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

olacağından;

1. Tabakanın N_x’i taşıma oranı:

2. Tabakanın N_x’i taşıma oranı:

b )

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

31

16.07.2026

Üst tabakanın üst yüzeyindeki lokal gerilmeler a şıkkının 10.adımında şu şekilde hesaplanmıştı:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

c )

Soruda verilmiş olan malzeme mukavemet özellikleri

Hoffman kriterine göre;

Sayısal değerler denklemde yerine koyulursa:

(Hasarsızlık Şartı)

Denk. 7.11

… hasar oluşmaz.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

32

16.07.2026

Yeni Üretilen 200mm x 200mm x 2mm boyutlarında bir kompozit tabaka için, deneysel ölçümlerle bulunan malzeme özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

ÖRNEK 8.2:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

33

16.07.2026

Aşağıdaki adımlar takip ederek lokal gerilmeler ve lokal gerinmeleri elde edeceğiz. Daha sonra hasar kontrolü yapacağız.

Hesaplamalar birim kenar uzunluklarına sahip bir Q elemanında yapılabilmektedir.

Bu sebeple öncelikle toplam iç kuvvetler ve sonra birim uzunluğa düşen iç kuvvetler ayırma prensibi ve statik dengeden hesaplanır.

K1 düzleminden kesim yapıp sağ tarafının x yönünde dengesini inceliyoruz:

1. Adım: İç kuvvetler ve iç Momentler Hesaplanır.

Çözüm:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

34

16.07.2026

Benzer Şekilde y yönü için;

K2 düzleminden yapılan kesimin arka tarafının y doğrultusundaki dengesi

200 mm

200 mm

K2

Birim uzunluğa düşen y doğrultusundaki normal iç kuvvet:

Q birim elemanındaki iç kuvvetler:

• Farklı katı sistemler ve farklı sınır şartları için öncelikle statik hesaplardan, en kritik Q noktasındaki iç kuvvetler bulunmalıdır.

1mm

1mm

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

35

16.07.2026

3. Adım: Özel Durumların Kontrolü

Bu yapı, 8.7 maddesinde açıklanan özel durumlardan herhangi birisine giriyor mu?

1. Özel Durum’a giriyor mu?

2. Özel Durum’a giriyor mu?

3 . Özel Durum’a giriyor mu?

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2. Adım:

Tabakalı yapı kodlanır.

Yapı simetrik ise 1.Özel Duruma girer. Yukarıdaki şekle göre,

• Yapımızda tek malzeme kullanıldığı için malzeme açısından orta düzleme göre simetriktir.
• Geometrik olarak da orta düzleme göre simetriktir.
• Yapıya etkiyen kuvvetler homojen yayıldığı için orta düzleme göre simetriktir.
• Fiber dizilişi bakımında malzememiz yine orta düzleme göre simetriktir.

O halde bu yapı simetrik bir yapıdır. 1.Özel Durum sağlanmaktadır ve [B] = 0 dır.

Evet

d şıkkı hariç Evet

Yapı simetrik ve iç momentlerin tümü sıfır ise 2.Özel Duruma girer

Hayır

d şıkkını çözerken açıklanacaktır.

8.5 maddesinde açıklandığı gibi

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

4 . Özel Durum’a giriyor mu?

d şıkkı hariç Hayır

36

16.07.2026

4. Adım:

Herbir tabakanın [Q] matrisleri hesaplanır:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Malzemeleri aynı olduğundan tüm tabakaların [Q] matrisleri aynıdır.

Denk. 2.7’den:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

([Q] ve [S] matrislerinin fiber yönlendirme açısına bağlı olmadığını hatırlayın.)

37

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

5. Adım:

olmak üzere

6.14 denklemlerinden;

1. ve 3.Tabakalar için: θ =48^o

2.Tabaka için: θ =0^o olduğundan

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

38

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

6. Adım:

Tüm yapıya ait olan A], [B] ve [D] matrislerinden gerekli olanlar hesaplanır.

3.Adımda açıklanan sebeplerle: [B]=0 dır. [D] matrisi sıfır değildir ancak işlemlere girmeyeceğinden hesaplamaya gerek yoktur. O halde sadece [A] matrisini hesaplamak yeterlidir. (d şıkkında ise ayrı bir açıklama yapılacaktır. )

olarak bulunur.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

39

16.07.2026

Orta düzlemin gerinmeleri ve eğrilikleri hesaplanır:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

7. Adım:

Denk. 8.32’den

Veya [B] = 0 ve [D] işleme girmeyeceğinden orta düzlemin şekil değiştirmeleri aşağıdaki gibi 3x3 lük matris çarpımına indirgenebilir:

(Matlab, excel vb. bir program yardımıyla da bulunabilir)

3. Adımda anlatıldığı gibi yapı 2.özel duruma girer ve orta düzlemin eğrilikleri sıfır olur:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

40

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Global gerinmeler (şekil değiştirmeler) hesaplanır:

8. Adım:

Denk. 8.13’den

9. Adım:

z’den bağımsız olduğundan, tüm noktaların global gerinmeleri aynıdır ve orta düzlemin gerinmelerine eşittir.

Lokal Şekil Değiştirmeler (Gerinmeler) hesaplanır:

Soruda istenen, üst tabakanın alt yüzeyindeki lokal gerilmeler:

c:cos48^o , s:sin48^o

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

41

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Lokal gerilmeler hesaplanır:

10. Adım:

Lokal gerilmeleri ve lokal şekil değiştirmeleri elde ettiğimiz için hasar kontrolüne geçebiliriz..>>

Denk. 6.1’i üst tabakanın alt yüzeyi için uygularsak;

Alternatif çözüm yolu olarak,

İlk 8 adımı aynen yaptıktan sonra,

9.Adımda global gerilmeleri,

10.Adımda, lokal gerilmeleri,

11.Adımda, lokal gerinmeleri bulabilirdik.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

42

16.07.2026

Hasarsızlık Şartları:

a-) Maksimum Gerilme Kriterine göre,

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

Üst tabakanın alt yüzeyi (z=-1) için kontrol:

X

Daha önce hesaplanan değerler

Soruda Verilen Malzeme Özellikleri

Tüm eşitsizlikler sağlanamadığı için bu kritere göre

Hasar Oluşur.

Üst tabakanın altyüzeyinde

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

43

16.07.2026

b-) Maksimum Gerinme Kriterine göre,

Hasarsızlık Şartları:

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

Ayrıca, şekil değiştirmeler için mukavemet sınırları:

Üst tabakanın alt yüzeyi (z=-1) için kontrol:

X

Tüm eşitsizlikler sağlanamadığı için bu kritere göre

Hasar Oluşur.

Üst tabakanın altyüzeyinde

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Daha önce hesaplanan değerler

44

16.07.2026

Hasarsızlık Şartı:

c-) Tsai-Hill Kriterine göre,

Üst tabakanın alt yüzeyi (z=-1) için kontrol:

Hasar Oluşur.

Soruda Hesaplanan değerler

Bu kritere göre üst tabakanın altyüzeyinde

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

45

16.07.2026

Öncelikle Q elemanında orta tabakanın ortasındaki lokal gerilmeler tespit edilmelidir.

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

• Yapı simetrik olduğundan dolayı da 1.özel durumda sağlanmaktadır ve [B]=0 dır.
• Q elemanında iç momentler olmasına rağmen sadece orta düzlemdeki (z=0) gerilmeler sorulduğundan, 4.özel hale de girer ve [D] matrisini hesaplamaya yine gerek kalmaz. (Bknz 8.7 maddesi)
• Sadece orta düzlem için iç momentler de işleme girmeyeceğinden momentlerin şiddetlerinin önemi de yoktur. (Denk.8.32 yi inceleyerek bu durumu görebiliriz.)

d Şıkkı Özel durumlardan hangilerine giriyor?

Bu durumda daha önce yapılan ilk 8 adım aynen bu d şıkkı için de geçerlidir.

Diğer adımlar..>>

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

46

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Adım Alternatifi:

Lokal Şekil Değiştirmeler (Gerinmeler) hesaplanır:

orta tabakanın ortasında lokal gerinmeler:

c:cos0^o , s:sin0^o

Lokal gerilmeler hesaplanır:

10. Adım Alternatifi:

orta tabakanın ortasında lokal gerilmeler:

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

47

16.07.2026

Modifiye Edilmiş Tsai-Hill Kriterine göre (orta tabakanın ortasında hasar kontrolü):

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

Hasarsızlık şartı:

Hasar oluşmaz.

Hesaplanmış Değerler

Orta Tabakanın orta yüzeyinde (orta düzlemde)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

48

16.07.2026

Örnek 8.4: Tabloda özellikleri verilmiş olan sürekli fiber takviyeli kompozit tabakadan 3 tanesi L şeklinde bükülerek ve 45⁰ / 0⁰ / 45⁰ fiber dizilişiyle üst üste yapıştırılarak tabakalı kompozit bir dirsek elde edilmiştir. Bu dirseğin üst ucu sabit bir duvara bağlanmış, üst yüzeyden h/2 kadar aşağıdan yatay F=320kN luk bir çeki kuvveti ve alt serbest yüzeyine ise T=0,96kNm lik bir burulma momenti uygulanmıştır. Tabakaların her birisi t = 2cm kalınlıkta, h=8cm genişliğindedir. Buna göre bu tabakalı yapıda bu yükleme şartlarında orta tabakanın alt ve üst yüzeylerinde hasar oluşup oluşmayacağını Tsai-Hill kriterine göre kontrol ediniz.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Orta tabakanın alt yüzeyinde:

Orta tabakanın üst yüzeyinde:

Cevaplar:

1.46 > 1

(Tsai-Hill kriterine göre.)

1 = 1

Hasar Oluşur

Hasar Oluşur

denklem 7.6

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

49

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği Ders Notları / Prof.Dr.Mehmet Zor

ÖRNEK 8.5:

Tek yönlü ve sürekli fiber takviyeli 1 ve 3 nolu iki levha arasına, 2 nolu çift yönlü örgü (woven-fabric) bir malzemenin yerleştirilmesi ile BCDE kirişi imal edilecektir. Kiriş şekildeki gibi bir AB çubuğuna bağlanacak ve H elemanından desteklenecektir. Kiriş ayrıca orta bölgesinden (C-D arasında) düzgün yayılı yüke maruz kalacaktır. Malzeme özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.1 nolu levha 60⁰, 3 nolu levha 45⁰ fiber yönlendirme açısına ve her ikisinin kalınlığı ise t₁=t₃=10mm dir. 2 nolu malzeme ise t₂= 12mm kalınlığa ve 0⁰ / 90⁰ fiber çift yönlendirmesine sahip olacaktır. Bu şartlar altında yapıda hasar oluşmaması için b genişliğinin minimum değerini Tsa-Hill kriterine göre belirleyiniz.

1. ve 3.Tabaka

2. Tabaka

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

Cevap:

50

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

• Sandviç Kompozitler aslında tabakalı yapıların özel bir halidir, toplam 3 tabakadan oluşurlar ve tabakalı kompozitler için yapılabilen tüm hesaplamalar sandviç kompozitler için de aynen yapılabilir.
• Sandviç Kompozitler, bir çekirdek malzemenin üst ve alt yüzeylerine daha dayanıklı iki levha yapıştırılmasıyla elde edilen tabakalı kompozit yapılardır. Sandviç kompozitlerin bileşenleri (çekirdek ve kuvvetlendirici alt-üst tabakalar) herbirisi izotropik bir malzeme olabileceği gibi, ayrıca kendi içinde farklı kompozit yapılar da olabilir. Çekirdek yapı, içi dolu bütün bir blok olabileceği gibi bal peteği tarzında bazı bölgeleri boşaltılmış formlarda da olabilmektedir. Bu sebeple sandviç kompozitlerin çok farklı alternatifleri vardır.

8.8) Sandviç Kompozitler ve Hesaplama Yöntemleri

• Sandviç kompozitlerde gerilme-gerinme hesaplamaları bu 8. konuda anlatılan [A], [B] ve [D] matrisleri yardımıyla yapılabileceği gibi, tabakalı kompozitler için geliştirilmiş farklı yaklaşımlardan yapılabilir.

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

51

16.07.2026

8.9 Tabakalı Kompozitlerde Termal Yüklemeler

(8.33)

Tabakalı kompozit bir yapının x, y yönlerinin her ikisinde de şekil değiştirmeyi engelleyecek bir oyuğun içine yerleştirildiğini ve sıcaklığının ΔT kadar arttırıldığını düşünüyoruz.

Denk. (6.18.b)

Denk. (8.14)

Denk. (8.18)

Birim uzunluğa düşen iç kuvvetler:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Eq. (8.18)

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

52

16.07.2026

(8.34)

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Kuvvetler:

Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Kuvvetler:

Sıcaklık farkı + Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen Toplam İç Kuvvetler:

(8.36)

(8.37)

(8.35)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

53

16.07.2026

Benzer Şekilde Toplam iç Momentleri hesaplayalım:

Denk. (8.22) den

Birim uzunluğa düşen iç momentler:

Denk. (8.33)’ü, Denk. (8.22)’de yerine koyarsak

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

54

16.07.2026

(8.38)

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Momentler:

Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Momentler:

Sıcaklık farkı + Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen Toplam İç Momentler:

(8.40)

(8.41)

(8.39)

(Simetrik yapılarda sıfırdır.)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

55

16.07.2026

Denk. 8.34 ve 8.41 birleştirilirse;

(8.42)

(8.43)

Bu durumda

Orta düzlemin gerinmeleri ve şekil değiştirmeleri:

8.42 ve 8.43 denklemleri, sıcaklık etkisinin de dahil olduğu tabakalı kompozitlere ait genel denklemlerdir.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

56

16.07.2026

8.9.1 Gerilme ve Gerinmelerin hesaplama adımları (Sıcaklık etkisi de varken):

Diğer Adımlar : 8nci konuda anlatılanlarla aynıdır. Sadece 8.32 denklemi yerine 8.43 denklemyle işlemlere başlanır.

8nci konudaki hesaplamalarla arasındaki tek fark, yapısal iç yüklerin yerine (sıcaklığın da dahil edildiği) toplam iç yüklerin kullanılacak olmasıdır.

Şimdi bir örnek çözerek konuyu daha iyi anlamaya çalışacağız..>>

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

57

16.07.2026

Örnek 8.6

Örnek 7.3 deki tabakadan 3 tanesi 30⁰ / 0⁰ / 30⁰ fiber dizilişiyle üst üste yapıştırılarak, aynı kalıbın içerisine yerleştiriliyor. Herbir tabaka 200mm x 200mm x 2mm boyutlarındadır. Civatalar biraz sıkılarak, yanal yüzeylerde -20kN luk bası kuvveti oluşturulmuştur. Ayrıca sistemin sıcaklığı 50 ⁰C arttırılmıştır. Sürtünmelerin tümünü ihmal ederek, orta tabakanın alt yüzeyinde ortaya çıkan lokal gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm:

Malzeme özellikleri örnek 7.3’den alınacaktır.

a-) Öncelikle birim uzunluğa düşen yapısal yükleri hesaplarsak:

N_x = N_y = -20x10³ N / 200mm = -100N/mm

N_xy = 0 (Sürtünmeler ihmal edildiği için)

1.Adım-) Birim uzunluğa düşen toplam iç kuvvet ve momentler hesaplanır.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

58

16.07.2026

b-) Sıcaklık farkından kaynaklı iç kuvvet ve momentlerin hesaplanması :

θ =30⁰ olan 1nci ve 3ncü tabaka için :

Tüm tabakalar için [Q] matrisi terimleri:

(Örnek 7.3 de hesaplanmıştı)

orta tabaka için θ =0⁰ olduğundan:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

59

16.07.2026

Yapıyı kodlarsak:

Herbir tabaka için global termal genleşme katsayılarının hesaplanması:

Denk. 6.19.b

Denk. 6.9

2nci (orta ) tabaka için θ =0⁰

1nci ve 3ncü tabaka için θ =30⁰

Örn. 7.3 de verilen değerler:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

60

16.07.2026

Termal Katsayı Matrislerini hesaplayacağız:

Denk. 8.35 den

Yapı simetrik olduğu için:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

61

16.07.2026

Denk. 8.38 den

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Kuvvetler:

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Momentler:

Denk. 8.34 den

Sıcaklık farkı ve Yapısal Yüklerden Kaynaklı Birim Uzunluğa Düşen

Toplam İç Kuvvetler:

Sıcaklık farkı ve Yapısal Yüklerden Kaynaklı Birim Uzunluğa Düşen

Toplam İç Momentler:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

62

16.07.2026

• Yapı simetrik olduğu için 1.özel duruma girer, bu sebeple [B] =0 dır.

• Yapı 8.7 maddesindeki özel durumlara giriyor mu?

Diğer Adımlar:

• [D] matrisi sıfır değildir. Fakat birim uzunluğa düşen toplam iç momentler sıfır olduğundan, 2. özel durumda sağlanır. Bu sebeple, işlemlere girmeyeceği için [D] matrisini hesaplamaya gerek yoktur.

O halde sadece [A] matrisi hesaplanacaktır.

• Orta düzlemdeki gerilmeler sorulmadığı için yapı 3ncü özel duruma girmez.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

63

16.07.2026

- Orta düzlemdeki gerinme ve eğrilikler 8.43 denkleminden hesaplayacağız.

Veya [B] = 0 ve [D] nin hesaplamalarda etkisi olmadığından, orta düzlemin şekil değiştirmeleri aşağıdaki gibi 3x3 lük matris çarpımına indirgenebilir:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

64

16.07.2026

- Global gerinmeler hesaplanır:

Denk. 8.13’den

z’den bağımsız olduğundan, tüm noktaların global gerinmeleri aynıdır ve orta düzlemin gerinmelerine eşittir.

- Lokal gerinmeler hesaplanır:

Soruda istenen, orta tabakanın alt yüzeyindeki lokal gerilmeler:

c:cos0^o , s:sin0^o

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )

65

16.07.2026

- Lokal gerilmeler hesaplanır:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

8. Klasik Laminasyon Teorisi ( CLT )