A Fibonacci-féle sorozat
Leonardo Pisano (1170-1250) olasz kereskedő-matematikus, a század-
fordulón egyike volt azoknak, akik a tízes alapú, helyi értékes rend-
szerre épülő számírási módot Eu-
rópában meghonosították.
Leonardo, ismert nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyak-
ran emlegetnek.
„Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?”
A feladat megoldásában a nyúl-párok számának időbeli alakulását kell követni.
Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre. A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő. Az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik.
A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik.
Eltelt idő
Párok száma
A Fibonacci-féle sorozat néhány tulajdonsága
A) Az első n tag összege
a1+a2+a3+a4+…+an-2+an-1+an=
a1+a2+(a1+a2)+(a2+a3)+…
+(an-4+an-3)+(an-3+an-2)+(an-2+an-1)=
a2+2(a1+a2+a3+…+an-2)+an-1
Ebből az összefüggésből:
a1+a2+a3+…+an-2=an-a2=an-1
B) Az első n tag négyzetének összege
a1+a2+…+an
ak+1=ak+ak-1 – szorozzunk ak-val és fejezzük ki ak-et
ak=ak+1ak-akak-1
Ezért:
2
2
2
2
2
a1= a1a2 (mert a1=a2=1)
a2=a3a2-a2a1
a3=a4a3-a3a2
an-1=anan-1-an-1an-2
an=an+1an-anan-1
a1+a2+…+an=anan+1
2
2
2
2
2
2
2
2
C) A sorozat n-edik tagja
a1=1; a2=1; an=an-1+an-2 ha n≥3
Próbáljunk olyan x számot keresni, hogy x2=an legyen.
Ennek az eljárásnak a végeredménye a következő lesz:
1 + √5
2
1
√5
an =
n
1 + √5
2
n
A Fibonacci-sorozat és az aranymetszés
A Fibonacci-sorozat szoros kapcsolatban van az aranymetszéssel.
A Fibonacci-sorozat elemei nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó, ami különösen jól látszik alacsony sorszámok esetén.
Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz közelít.
A közelítés kétoldali: két egymást követő elem hányadosa nagyobb, illetve kisebb, mint a közrefogott aranyszám.
Írjuk fel a Fibonacci-sorozat elemeit és vizsgáljuk a két egymást követő tag hányadosának alakulását!
1,618
55
10
1,617
34
9
1,619
21
8
1,615
13
7
1,625
8
6
1,6
5
5
1,667
3
4
1,5
2
3
2
1
2
1
1
1
an
an+1
an
n
Ez a kétoldali közelítés más módon is világossá tehető. Ismeretes a mértani sorozatnak azon tulajdonsága, miszerint a második tagtól kezdve bármely elem az előtte lévő és őt követő elem mértani középarányosa. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a középső elem négyzete a vele közvetlenül szomszédos elemek szorzatával egyenlő.
A Fibonacci-sorozat elemeire vonatkozóan ez a tulajdonság azzal a módosítással érvényesül, hogy a sorozat bármely elemének a négyzete (a másodiktól kezdve) a szomszédos elemek szorzatánál egyel kisebb vagy egyel nagyobb. Az elemek négyzetei és a szomszédos tagok szorzatai a következő táblázatról leolvashatók:
64-65=-1
5*13=65
64
8
6
25-24=1
3*8=24
25
5
5
9-10=-1
2*4=8
9
3
4
4-3=1
1*3=3
4
2
3
1-2=-1
1*2=2
1
1
2
1
1
1
q-p
p=an-1an+1
q=an2
an
n
Fibonacci-számok a természetben
Fibonacci-spirál:
A Fibonacci-spirál egy olyan logaritmikus spirál, ami egy negyedfordulat alatt nő a φ-szeresére (φ – ‘aranyszám’).
A Fibonacci-spirálon egyenlő távolságra pontokat elhelyezve azok „spirálkarokká” állnak össze, és ezen karok száma Fibonacci-szám lesz.
A Fibonacci-spirál mentén elhelyezett gömbök optimális elrendezést adnak abban az értelemben, hogy nagyon sok gömböt elhelyezve is azok egyenletesen oszlanak el.
A virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám: például a liliomnak, és a nősziromnak három; a haranglábnak, a vadrózsának és a boglárkának öt; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak nyolc; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak 21; a fodroslevelű margitvirágnak, az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van.
Fibonacci-spirálba rendeződnek például a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai, a málna szemei, a karfiol és brokkoli rózsái és egyes kaktuszok tüskéi. A nautiluszok háza is hasonlít a Fibonacci-spirálhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kör alatt nő meg a sugár a φ-szeresére.