Kelas XI IPA SEMESTER 2

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah

KOMPETENSI DASAR

Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

INDIKATOR

• Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan sukubanyak

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jika f(x) adalah sukubanyak;

(x – k) merupakan faktor dari P(x)

jika dan hanya jika P(k) = 0

​

Teorema Faktor

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Artinya:

​

1. Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0

sebaliknya,

2. jika P(k) = 0 maka (x – k)

merupakan faktor

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 1:

Tunjukan (x + 1) faktor dari

x³ + 4x² + 2x – 1

​

Jawab:

(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0

P(-1) = (-1)³ + 4(-1)² + 2(-1) – 1

= -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Cara lain untuk menunjukan

(x + 1) adalah faktor dari

x³ + 4x² + 2x – 1 adalah dengan

pembagian horner:

1 4 2 -1 koefisien

-1

1

-1

3

-3

-1

1

0

P(-1) = 0

berarti (x + 1)

faktornya

artinya dikali (-1)

Suku banyak

+

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 2:

Tentukan faktor-faktor dari

P(x) = 2x³ – x² – 7x + 6

​

Jawab:

Misalkan faktornya (x – k), maka

nilai k yang mungkin adalah

pembagi bulat dari 6, yaitu

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

pembagi bulat dari 6 ada 8

yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.

Nilai-nilai k itu kita substitusikan

ke P(x), misalnya k = 1

diperoleh:

P(1) = 2.1³ – 1.1² – 7.1 + 6

= 2 – 1 – 7 + 6

= 0

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Oleh karena P(1) = 0, maka

(x – 1) adalah salah satu faktor

dari P(x) = 2x³ – x² -7x + 6

​

Untuk mencari faktor yang lain,

kita tentukan hasil bagi P(x)

oleh (x – 1) dengan

pembagian horner:

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Koefisien sukubanyak

P(x) = 2x³ – x² – 7x + 6

adalah

2 -1 -7 6

k = 1

​

​

​

Hasil baginya: H(x) = 2x² + x - 6

+

2

2

1

1

-6

-6

0

Koefisien hasil bagi

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Karena hasil baginya adalah

H(x) = 2x² + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)

dengan demikian

2x³ – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x² + x – 6)

2x³ – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)

​

Jadi faktor-faktornya adalah

(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 3:

Diketahui (x – 2) adalah faktor

P(x) = 2x³ + x² + ax - 6.

Salah satu faktor yang lainnya

adalah…. a. x + 3

b. x – 3

c. x – 1

d. 2x – 3

e. 2x + 3

​

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jawab:

Kita tentukan terlebih dahulu

koefisien x² yaitu a = ?

Jika (x – 2) faktornya P(x) maka

P(2) = 0

⇒ 2.2³ + 2² + 2a - 6 = 0

16 + 4 + 2a - 6 = 0

2a + 14 = 0

2a = -14 ⇒ a = -7

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

P(x) = 2x³ + x² - 7x - 6

berarti koefisien P(x) adalah

2 1 -7 -6

k = 2

​

​

​

Hasil baginya: H(x) = 2x² + 5x + 3

= (2x + 3)(x + 1)

Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3

​

+

2

4

5

10

3

6

0

Koefisien hasil bagi

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 4:

Sukubanyak f(x) = x³ - ax² + bx – 2

mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi

oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai

a + b adalah….

a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jawab:

Sukubanyak f(x) = x³ - ax² + bx – 2

(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0

1 – a + b – 2 = 0

-a + b = 1….(1)

dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36

(-2)³ – a(-2)² + b(-2) – 2 = -36

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

(-2)³ – a(-2)² + b(-2) – 2 = -36

- 8 – 4a – 2b – 2 = -36

- 4a – 2b = -36 + 10

-4a – 2b = -26

2a + b = 13….(2)

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Persamaan (1): -a + b = 1

Persamaan (2): 2a + b = 13

-3a = -12

a = 4

b = 1 + 4 = 5

Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Salah satu penggunaan teorema

faktor adalah mencari akar-akar

sebuah persamaan sukubanyak,

karena ada hubungan antara

faktor dengan akar-akar

persamaan sukubanyak

Akar-akar persamaan Suku banyak

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jika P(x) adalah sukubanyak;

(x – k) merupakan faktor dari P(x)

jika dan hanya jika k akar dari

persamaan P(k) = 0

​

k disebut akar atau nilai nol

dari persamaan sukubanyak:

P(x) = 0

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Teorema Akar-akar Rasional

Jika

P(x) =a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …+ a₁x + a_o

dan

(x – k) merupakan faktor dari P(x)

maka

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 1:

Tunjukan -3 adalah salah satu

akar dari x³ – 7x + 6. Kemudian

tentukan akar-akar yang lain.

​

Jawab:

Untuk menunjukan -3 akar dari

P(x), cukup kita tunjukan bahwa

P(-3) = 0

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

P(x) = x³ – 7x + 6.

P(-3) = (-3)³ – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6

= 0

Oleh karena P(-3) = 0,

maka -3 adalah akar dari

Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Untuk menentukan

akar-akar yang lain,

kita tentukan terlebih dahulu

hasil bagi

P(x) = x³ – 7x + 6 dengan x + 3

dengan pembagian Horner

sebagai berikut

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

P(x) = x³ – 7x + 6

berarti koefisien P(x) adalah

1 0 -7 6

k = -3

​

​

Hasil baginya: H(x) = x² – 3x + 2

=(x – 1)(x – 2)

​

​

+

1

-3

-3

9

2

-6

0

Koefisien hasil bagi

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Hasil baginya: H(x) = x² – 3x + 2

= (x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan sukubanyak

tsb dapat ditulis menjadi

(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain

adalah x = 1 dan x = 2

​

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 2:

Banyaknya akar-akar rasional

dari persamaan x⁴ – 3x² + 2 = 0

adalah….

a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jawab:

Karena persamaan sukubanyak

berderajat 4, maka akar-akar

rasionalnya paling banyak ada 4

yaitu faktor-faktor bulat dari 2.

Faktor-faktor bulat dari 2 adalah

1, -1, 2 dan -2

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Dari 4 kemungkinan yang akan

menjadi akar-akar rasional

persamaan sukubanyak tsb,

kita coba nilai 1

​

Koefisien x⁴ – 3x² + 6 = 0

adalah 1, 0, -3, 0, dan 6

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

1 0 -3 0 2

k = 1

​

​

Ternyata P(1) = 0, berarti

1 adalah akar rasionalnya,

​

Selanjutnya kita coba -1.

Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

+

1

1

1

1

-2

-2

0

-2

-2

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

1 1 -2 -2

k = -1

​

​

Ternyata P(-1) = 0, berarti

-1 adalah akar rasionalnya,

​

Sehingga:

(x – 1)(x + 1)(x² – 2) = 0

+

1

-1

0

0

-2

2

0

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

(x – 1)(x + 1)(x² – 2) = 0

(x² – 2) difaktorkan lagi menjadi

(x - √2)(x + √2) = 0

Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,

tapi bukan bilangan rasional.

Jadi akar-akar rasionalnya hanya

ada 2 yaitu 1 dan -1.

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jumlah dan Hasil Kali

Akar-akar

Persamaan Sukubanyak

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jika akar-akar

Persamaan Sukubanyak:

ax³ + bx² + cx + d = 0

adalah x₁, x₂, dan x₃ maka

x₁ + x₂ + x₃ =

x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ =

x₁.x₂.x₃ =

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 1:

Jumlah akar-akar persamaan

x³ – 3x² + 2 = 0 adalah….

Jawab:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x₁ + x₂ + x₃ =

=

= 3

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 2:

Hasilkali akar-akar persamaan

2x³ – x² + 5x – 8 = 0 adalah….

Jawab:

a = 2, b = -1, c = 5, d = -8

x₁.x₂.x₃ =

=

= 4

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 3:

Salah satu akar persamaan

x³ + px² – 3x – 10 = 0 adalah -2

Jumlah akar-akar persamaan

tersebut adalah….

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jawab:

-2 adalah akar persamaan

x³ + px² – 3x - 10 = 0 →

-2 memenuhi persamaan tsb.

sehingga:

(-2)³ + p(-2)² – 3(-2) - 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

4p – 12 = 0 → 4p = 12→ p = 3

Persamaan tersebut:

x³ + 3x² – 3x – 10 = 0

Jumlah akar-akarnya:

x₁ + x₂ + x₃ =

=

= -3

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Contoh 4:

Akar-akar persamaan

x³ – 4x² + x – 4 = 0 adalah x₁, x₂,

dan x₃. Nilai x₁² + x₂² + x₃² =….

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Jawab:

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)²

- 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

x³ – 4x² + x – 4 = 0

x₁ + x₂ + x₃ = -(-4)/1 = 4

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 1/1 = 1

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

x₁ + x₂ + x₃ = 4

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 1

Jadi:

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)²

- 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

= 4² – 2.1

= 16 – 2

= 14

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI

Referensi

• 1001 Soal Matematika, Erlangga
• Matematika Dasar, Wilson Simangunsong

psb-psma Ikhlas berbagi rela memberi

REFERENSI

CONTOH

MATERI

INDIKATOR

SK / KD

UJI KOMPETENSI

BERANDA

SELESAI