Takeshi MIKI1,2, Chun-Wei CHANG2, Po-Ju KE2, Arndt TELSCHOW3, Cheng-han TSAI4, Masayuki USHIO5, Chi-hao HSIEH2
1. Ryukoku Univ, 2. National Taiwan Univ, 3. Cuculus GmbH, 4. National Cheng Kung Univ, 5. Hong Kong Univ of Sci Tech
ESJ73 2026/03/13, Kyoto
時系列データからの相互作用強度の推定方法：検証と修正
生態系レジームシフト検知のための微視的特徴づけに
基づく早期診断法の構築（基盤A）
時系列データの局所線形回帰法に関する誤解
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時系列解析をしたいユーザー側の視点から見ると、Multivariate S-map, MDR S-map, LMDr等の局所線形回帰法は、モデルフリー・ノンパラメトリックな手法である。推定した回帰係数の集まりであるInteraction Jacobianは、相互作用強度の行列（種間・種内相互作用を含む）と一致する。また、Interaction Jacobianの最大固有値はシステムの短期的な変動しやすさを表す動的安定性指標として有効であり、またこの行列のtraceは構造安定性の指標として機能する。
一方、手法を開発する側の視点からは、新しい局所線形回帰法を開発した際には、（正解のわかっている）微分方程式モデルによってデータを生成すると良い。微分方程式モデルの挙動を支配する関数のヤコビ行列をベンチマークとしてinteraction Jacobianの推定精度を評価することができるからだ。
時系列データの局所線形回帰法に関する誤解
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時系列解析をしたいユーザー側の視点から見ると、Multivariate S-map, MDR S-map, LMDr等の局所線形回帰法は、モデルフリー・ノンパラメトリックな手法である。推定した回帰係数の集まりであるInteraction Jacobianは、相互作用強度の行列（種間・種内相互作用を含む）と一致する。また、Interaction Jacobianの最大固有値はシステムの短期的な変動しやすさを表す動的安定性指標として有効であり、またこの行列のtraceは構造安定性の指標として機能する。
一方、手法を開発する側の視点からは、新しい局所線形回帰法を開発した際には、（正解のわかっている）微分方程式モデルによってデータを生成すると良い。微分方程式モデルの挙動を支配する関数のヤコビ行列をベンチマークとしてinteraction Jacobianの推定精度を評価することができるからだ。
・モデルフリー・ノンパラメトリックな手法→△ 部分的にそう 要注意
・Interaction Jacobianは、相互作用強度の行列（種間・種内相互作用を含む）と一致
→種間相互作用（〇）・種内相互作用（×）
・行列最大固有値は動的安定性指標（Ushio et al. 2018 Nature）→〇
・行列のtraceは構造安定性 (Cenci & Saavedra 2019 Nature Ecol Evol) →× 微分方程式右辺のヤコビ行列と混同
・微分方程式右辺のヤコビ行列がベンチマーク→△ 近似に過ぎないことに注意 （今日はスキップ）
本研究の目的と方法
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・モデルフリー・ノンパラメトリックな手法→△ 部分的にそう 要注意
・Interaction Jacobianは、相互作用強度の行列（種間・種内相互作用を含む）と一致
→種間相互作用（〇）・種内相互作用（×）
・行列のtraceは構造安定性→× 微分方程式右辺のヤコビ行列と混同
目的：上記の誤解（△と×）を解消し、解決法を提案
方法：いわゆる「interaction Jacobian」をJacobian of flow (力学系の流れのヤコビアン)として再導出し、「生物間相互作用」という解釈との数学的・生物学的ギャップを埋める
（おそらく、これより簡単で緩い方法はない・・・）
時系列データと力学モデルの間に横たわるギャップ
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Population size
Song & Saavedra (2021) Oikos
n次元の多変量（ベクトル）の時系列
(行列)
Time
パラメトリック手法とノンパラ手法については以下の総説を参照
→常に離散時間
背景にある決定論的力学モデル
離散時間モデル
連続時間モデル
→二つの枠組で数学に違い
→どちらの枠組みでもOKな手法のみ（狭義の）モデルフリーと呼ぶべき
“Interaction Jacobian”にまつわる不明示さ・厳密性の低さ
状態空間上のアトラクター
「局所線形回帰」の定義は極めて明確
実際に回帰係数を得るアルゴリズムが複数開発済み：
🡪 すべて明確に定義されている
*“Local” implies that the regression depends on k (i.e., state-dependent)
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sp. A
sp. C
sp. B
数学的・生物学的問題の所在
局所線形回帰
係数
(何らかの) 偏微分係数
ノード（種）間相互作用強度
(Deyle et al 2016; Ushio et al. 2018; Chang et al. 2021)
明示的でない
緩いつながり
次ステップでの
システムの状態
現ステップでの
システムの状態
連続時間力学系に対する一般的設定
: 時刻 t (≥ 0) におけるn次元状態ベクトル（常微分方程式、連続時間力学系)
時間ステップ k (= 0, 1, 2,…) と 観測間隔 τ > 0, が、連続時間力学系と離散時間力学系を対応させるために必要: x(tk) 🡨🡪x(k)
常微分方程式モデル (連続時間力学系)から時間離散的に軌道を追跡する
Flow（流れ）表記
を用いると t = tk におけるシステム状態は:
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: 時間ステップ k (= 0, 1,2,..)におけるn次元状態ベクトル （差分方程式、離散時間力学系)
解析のアイデア：
相互作用を規定
する関数
Jacobian of flowとしての再定義
時刻 tk = kτ において、j番目の変数に攪乱を加える状況を考える
いわゆる「Interaction Jacobian J 」は flow (流れ)のヤコビ行列(=偏微分係数行列)として一意に定義される．つまり、 x(t) から x(t +τ ) への写像の偏微分係数行列である(Deyle et al. 2016; Munch et al. 2022)
flowのヤコビ行列の(i, j)-要素 @ tk = kt は微分商で定義
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攪乱あり世界線 @ tk+1
攪乱なし世界線 @ tk+1
攪乱ベクトル
Jacobian of flowから相互作用強度へ
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近似を２回使うと（① kτ < t < (k+1)τ でfが変化しない、② τ << 1） 、以下のようにflowのヤコビ行列と常微分方程式の右辺の関数のヤコビ行列を対応可能
(デルタ関数)
①
②
(デルタ関数)
これが現象としての「相互作用強度」
対角成分(i = j)すなわち、種内相互作用強度が１だけ過大評価
局所線形回帰係数
結論
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・ノードjからiへの（種間）相互作用強度：
（たとえばS-map係数そのまま）
・ノードiからiへの（種内）相互作用強度：
１を差し引く補正
・動的安定性 （Ushio et al. 2018）：遷移行列 の最大固有値でOK
「遷移」行列
状態ベクトル
（同じ）
・構造安定性（Cenci & Saavedra 2019）：以下の修正が必要（しかも連続時間力学系が仮定できる場合に限る[狭義のモデルフリーではない]）
※特にサイズnと観測間隔τが異なる系を比べるときに必須の補正
(Solution 1) Adjusted interaction strengths: numerical example from a DE model
A generalized two host (H1, H2) -two parasitoid (P1, P2) Nicholson-Bailey model (w/ overlapping generations (Chang et al. 2021)
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(Solution 1) Adjusted interaction strengths: numerical example
Unadjusted S-map coefficients for H1’s effect on H1
Adjusted S-map coefficients for H1’s effect on H1
(Off-diagonal elements: interspecific interaction)
🡪 (Unadjusted) S-map coefficient for the diagonal element overestimates the intra-specific interaction strength.
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Conclusions
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(Coefficient of local linear regression)
(interaction Jacobian)
(mathematically rigorous metric for ODE)
(just an approximation!)
(just an approximation!)
(interaction Jacobian)
(adjusted interaction strength)