ГОТУЄМОСЯ ДО МІСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ�З МАТЕМАТИКИ

7-8 класи

КЛАСИЧНІ ТЕМИ ЗАВДАНЬ 7-8 КЛАСІВ

1. Подільність

​

2. Принцип Діріхле

​

3. Ігрові задачі

​

​

ПОДІЛЬНІСТЬ

Задача 1. Якщо написати підряд усі натуральні числа від 1 до 18, то утвориться число 12345…1718. Доведіть, що воно ділиться на 3.

Розв'язання: Щоб число ділилося на 3, треба щоб сума цифр числа ділилася на 3. Тож порахуємо, скільки раз кожна цифра входить в запис числа.

ПРОДОВЖЕННЯ

«1» – 11 разів (1, 10, 11, …, 18)

«2» – 2 рази (2, 12)

«3» – 2 рази (3,13)

«4», «5», «6», «7» і «8» – теж по 2 рази.

«9» – 1 раз, цифру «0» можемо не рахувати.

Тож сума всіх цифр числа

1*11+2*(2+3+4+5+6+7+8)+9=90. Тож наше число ділиться і на 3, і на 9.

ПОДІЛЬНІСТЬ

ДЛЯ 8 КЛАСУ МОЖНА УСКЛАДНИТИ ЦЕ ЗАВДАННЯ, ТАКИМ ЧИНОМ:�

ПОДІЛЬНІСТЬ

Задача 3. З плиток доміно, розмір яких 2*4 , Незнайко складає многокутники так, щоб сторони квадратів, на які поділені плитки, збігалися. Чи може Незнайко скласти многокутник, периметр якого дорівнює 102?

ЗАДАЧА 3. ПРОДОВЖЕННЯ.

За умовою P=2(a+b)=102,

Звідси a+b=51. Але зверніть увагу, що плитки доміно, мають розміри 2 або 4 – парне число, тож довжини сторін прямокутника – парні числа, але тоді їх сума – теж парне числа, а 51 – непарне. Протиріччя.

Відповідь: не може скласти фігуру такого периметру.

ПОДІЛЬНІСТЬ

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ

Якщо у n клітках розмістили n +1 кролів, то хоча б у одній з них сидить не  менше двох кролів.

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ

Задача 5. Всю площину пофарбували в два кольори, білий і чорний. Доведіть, що знайдеться відрізок довжиною 1см з вершинами одного кольору.

Доведення: Розлянемо правильний (або рівносторонній трикутник) зі стороною 1см. Вершин 3, а різних кольорів – 2. Тож 2 вершини будуть мати однаковий колір і утворять відрізок довжиною 1см з вершинами одного кольору.

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ

Задача 6. У квадрат, сторона якого дорівнює 1 м, кинули 53 точки. Доведіть, що якісь три з них можна накрити квадратом зі стороною 20 см.

Розв'язання: розібємо квадрат на квадратики зі стороною 20 см, їх буде 25 (на малюнку нижче)

ЗАДАЧА 6. ПРОДОВЖЕННЯ

Якби у кожному квадратику точок було б не більше 2, то всього точок було б не більше 50, а у нас їх 53. Значить знайдеться квадратик, де точок хоча б 3 (а може бути і більше).

Доведено.

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ + ПОДІЛЬНІСТЬ

Задача 7. Доведіть, що 2021 кроля не можна розсадити у 100 кліток так, щоб в кожній клітці була непарна кількість кролів.

Розв'язання: Припустимо, що таке можливо, тоді загальна кількість кролів – це сума 100 непарних чисел, а це – число парне, тож 2021 кроля так розсадити неможливо, їх кількість непарна.

Доведено.

РІЗНЕ

Задача 8. Клітинки смужки розміром 1*24 пронумеровані послідовними натуральними числами. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід треба закреслити одну довільну клітинку в смужці або деякі дві

сусідні, де перша з них парна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш – той, хто починає гру, чи його суперник?

РІЗНЕ

Задача 9 . На столі лежить 2021 сірник. Два хлопчики по черзі можуть брати 1 чи2 сірники. Виграє той, хто візьме останній сірник. Який хлопчик виграє і як він повинен грати?

Розв'язання: основна ідея задачі полягає у використанні ознаки подільності на 3.

Уявимо собі, що залишилося тільки 3 сірники. Тоді точно виграє другий (1-2 або 2-1). Отже, перед чиїм ходом буде кількість сірників, кратна 3 – той і програв.

РІЗНЕ

У нас – 2021 сірник – кількість ділиться на 3 з остачею 2.

Відповідь: виграє перший – спочатку він бере 2 сірники і залишає 2019 сірників (2019 кратно 3). Потім на будь-який хід другого він відповідає за правилом: 1-2 або 2-1. І забирає останній олівець, отже – виграє.

РІЗНЕ

Задача 10. Чи можна на таблиці 5×5 записати числа 1, 2, ..., 25 так, щоб у кожному рядку сума деяких із записаних у ньому чисел дорівнювала сумі решти чисел цього рядка?

Розв'язання: Розглянемо рядок, описаний в умові – тоді сума всіх чисел цього рядка це сума двох однакових сум чисел – отже, число парне. Значить сума всіх чисел в таблиці по рядках – в 5 разів більше, але теж число парне

РІЗНЕ

Але з іншого боку: сума всіх чисел в таблиці (1+2+3+..+25) – це сума 12 парних чисел і 13 непарних чисел, отже непарне число.

Відповідь: не можна.

РІЗНЕ

Задача 11. Чи можна суму 1+2+3+…+2021 розбити на 4 групи доданків так, щоб

сума чисел у кожній групі була однаковою?

Розв'язання: Теж, як в попередній задачі, будемо досліджувати суму всіх чисел.

З одного боку 1+2+3+…+2021 – це сума 1010 парних чисел і 1011 непарних, значить число непарне.

РІЗНЕ

З іншого боку – це сума чотирьох однакових чисел (сум 4 груп), а значить число парне. Протиріччя.

Відповідь: не можна

РІЗНЕ

РОЗВ'ЯЗАННЯ

ПРОДОВЖЕННЯ