АЛГЕБРА�8 клас
Дистанційне навчання
Повторення:
Лінійні рівняння з двома змінними
Урок 5
aramattomilova@gmail.com
Перевірка домашнього завдання:
385 км
385 км
Перевірка домашнього завдання:
Перевірка знань.�Самостійна робота
�Рівняння з двома змінними�
xy = 12,�5x + 7y = 19
х2 + у2 = 100
3х + 31у = 457
Рівності містять по дві змінні x і y.
Такі рівності називаються рівняннями з двома змінними.
Розв'язком рівняння з двома змінними x і y називається кожна пара чисел (x; y), яка перетворює це рівняння на правильну числову рівність.
Які з пар чисел (10; 1), (1; 10), (7; 2), (7; –2), (9; 0)
є розв'язками рівняння х – у = 9?
�Рівняння з двома змінними�
Таким чином, можна зробити висновок, що рівняння можуть мати не один розв’язок, а два, три. Але і отримані пари не вичерпують усі розв’язки рівняння.
Пам’ятаємо!
У дужках на першому місці пишуть значення змінної x, а на другому — значення змінної y.
Пара (х; у) – розв’язок рівняння з двома змінними
Розв’язати рівняння з двома змінними —�це означає знайти всі його розв’язки або показати, що воно
не має розв’язків
Рівняння з двома змінними
Два рівняння з двома змінними називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв'язки або обидва рівняння не мають розв'язків.
Наприклад: Рівняння х – у = 0 і х = у – рівносильні.
Властивості рівняння
1. Якщо обидві частини рівняння з двома змінними помножити або поділити на одне і те саме число, яке не дорівнює нулю, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
2. Якщо до обох частин рівняння з двома змінними додати (або від обох частин відняти) одне і те саме число, яке не дорівнює нулю, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
3. Якщо будь-який член рівняння з двома змінними перенести з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
Лінійні рівняння з двома змінними
xy = 12
5x – 7y = 19
х2 + у2 = 100
3х + 31у = 457
x + y = 36
3x + 5y = 107
x – 3y = 52
5x + 2y = 9
4x + 3y = 1;
х2 + 5 = у2;
х2 + 5y – 6 = 0;
xy + x = 0
Лінійним рівнянням з двома змінними x та y називається рівняння виду:
ax + by = c, або ax + by + с = 0
де х та у – змінні;
a, b та c – деякі числа.
Числа a та b називають коефіцієнтами при змінних, а число с – вільним членом.
Графік лінійного рівняння �з двома змінними
Графіком рівняння ах + bу = с,
у якому хоча б один
з коефіцієнтів а або b відмінний від нуля, є пряма
Розміщення графіка лінійного рівняння з двома змінними ax + by = c відносно системи координат:
0
1
ах + bу = с, k > 0
у
Графік – невертикальна пряма
Якщо к > 0, то пряма утворює гострий кут з Ох.
Якщо к < 0, то пряма утворює тупий кут з Ох.
ах + bу = с, k < 0
х
Графіком даного рівняння є пряма, паралельна осі х
Графіком даного рівняння є пряма, паралельна осі у
4. Якщо a = 0, b = 0, c = 0, 0x + 0y = 0. Рівняння задовольняє будь-яка пара чисел.
Графіком є вся координатна площина
5. Якщо a = 0, b = 0, c ≠ 0, 0x + 0y = с
Рівняння не має жодного розв'язку
2у – 4х = 8 – графік – пряма
Виразимо змінну у через х:
2у = 8 + 4х |:2
у = 4 + 2х у = 2х + 4
Графіком є пряма → достатньо
визначити координати двох точок:
Графік лінійного рівняння
з двома змінними
Побудуємо графік рівняння 2у – 4х = 8
х | 0 | 1 |
у | 4 | 6 |
0
1
2у – 4х = 8
у
х
4
6
Розв’язуємо вправи самостійно:
№1 На прямій 7𝑥 − 4𝑦 = 2 взято точку, абсциса якої дорівнює 2. Знайди ординату цієї точки.
Розв’язання�Так як 𝑥 = 2 , то підставимо це значення в рівняння прямої: 7𝑥 − 4𝑦 = 2 �
7 ∙ 2 − 4𝑦 = 2;�14 − 4𝑦 = 2;�4𝑦 = 12;�𝑦 = 3�Отже, ордината точки дорівнює 3.�Відповідь: 3
Розв’язуємо вправи самостійно:
№2 При якому значенні 𝑎 графік рівняння 11𝑥 − 13𝑦 = 𝑎 + 4 проходить через початок координат?
Розв’язання�Так як графік рівняння 11𝑥 − 13𝑦 = 𝑎 + 4 проходить через початок координат, то точка з координатами (0; 0) є розв’язком даного рівняння: х = 0, у = 0.
11𝑥 − 13𝑦 = 𝑎 + 4
11 ∙ 0 − 13 ∙ 0 = 𝑎 + 4�𝑎 + 4 = 0�𝑎 = −4�Отже, при 𝑎 = −4, графік рівняння проходить через початок координат.�Відповідь: 𝑎 = −4
Розв’язуємо вправи:
№3 Складіть лінійне рівняння з двома змінними, графіком якого є пряма, що проходить через початок координат і точку А(2; 8).
Розв’язання: ах + bу = с
y = kх + р
О(0;0): х = 0, у = 0
0 = k ∙ 0 + р, р = 0
y = kх + р
А(2; 8): х = 2, у = 8, р = 0
8 = k ∙ 2 + 0, 2k = 8, k = 4
у = 4х + 0
!ах + bу = с! −4х + у = 0
Домашнє завдання
Конспект.
№1Побудуйте графік рівняння:
1) 𝑥 − 𝑦 = 4 2) 𝑥 − 5𝑦 = 5 3) 3𝑥 + 2𝑦 = 6
№2 Графік рівняння 𝑎𝑥 + 4𝑦 = 5 проходить через точку (5; −5). Знайди значення коефіцієнта 𝑎 в даному рівнянні.
№3 Знайдіть координати точок перетину прямої 0,3x + 0,2y = 6�з осями координат.
№4 При якому значенні b точка перетину прямих 9x + 7y = 35�і x + by = –20 належить осі ординат?
№5 Розв’яжіть задачу:
Теплохід пройшов 4 год за течією річки та 3 год проти течії.�Шлях, який пройшов теплохід за течією, на 48 км більший за шлях, пройдений ним проти течії. Знайдіть швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.
Повторення: Системи лінійних рівнянь з двома змінними
Підручник: стор. 223 - 226