Параллелограмм и его свойства�Интерактивный плакат

к 10 шаг за шагом

D

В

С

А

Вершины:

Стороны:

Противоположные

стороны:

Определение:

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм

AB ║ CD, BC║ AD

​

ABCD- параллелограмм

Свойство 1. У параллелограмма противоположные � стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной� стороне параллелограмма, равна 180º.

Доказательство

Доказательство

Доказательство

​

• В физике применяют параллелограмм при нахождении равнодействующей силы.

​

​

• В жизни:
• это рамы велосипедов, мотоциклов, где для жесткости проведена диагональ;

​

• это современные здания;

​

• это стулья, столы.

Параллелограмм

в науке и жизни

Историческая

справка

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

• Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу был введен Евклидом.

​

• Понятие параллелограмм от греч. Parallelos – параллельный и gramme – линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».

Свойство 1. У параллелограмма противоположные � стороны равны и противоположные углы равны.

А

С

В

D

1

2

3

4

Дано: ABCD - параллелограмм

Доказать: 1) АВ = СD, BC = AD;

2) ∠ A =∠ C, B =∠ D

Доказательство:

Рассмотрим ∆ ABC и ∆ADC,

AC - общая,

∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 3 = ∠ 4 (как накрест лежащие углы)

∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников)

Следовательно: АВ = СD, BC = AD;

∠ 1 + ∠ 4= ∠2 + ∠3 , т.е. ∠ A = ∠С, ∠B = ∠D.

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

А

С

В

D

1

2

3

4

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

АВ ∥ СD, ВD, AC – секущие

∠ 1= ∠ 2 и ∠ 3= ∠ 4 (как накрест лежащие углы)

В

А

С

D

1

2

3

4

Дано: АВСD - параллелограмм

Доказать: ВО = ОD, АО =ОС

Доказательство:

Рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD,

Следовательно: АО = ОС, ВО = ОD

Значит, ∆ АОВ = ∆СОD (по 2-му признаку равенства треугольников)

O

АВ = СD (противоположные стороны параллелограмма,

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!�

В

А

С

D

1

2

3

4

O

Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной� стороне параллелограмма, равна 180⁰.

Дано:

АВСD – параллелограмм

​

Доказать: ∠ 1+ ∠ 2=180⁰

​

Доказательство:

​

​

А

D

С

В

1

2

​

ВС ∥ АD, AВ – секущая

​

∠ 1+ ∠ 2 =180⁰ (как внутренние односторонние углы)

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной� стороне параллелограмма, равна 180⁰.

А

D

С

В

1

2

1

2

3

4

5

6

7

Что называют многоугольником?

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Какой многоугольник называется выпуклым?

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону

Какой многоугольник называется невыпуклым?

Многоугольник называется невыпуклым, если он лежит по разные стороны от прямой проходящей через две его соседние вершины

Какие вершины многоугольника называются соседними?

Вершины, являющиеся концами одной стороны называют соседними вершинами.

Что называют диагональю многоугольника?

Диагональю многоугольника называется отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника

Что такое периметр многоугольника?

Сумму длин всех сторон многоугольника называют периметром многоугольника.

Как найти сумму внутренних углов многоугольника?

Сумма углов выпуклого

n-угольника равна 180°(n - 2).

На каждую кнопку нажимаем дважды – последовательно. 1 нажатие – вопрос; 2 нажатие – ответ

​

Тестовое задание

Игра «Верите ли Вы»

Задачи по готовым рисункам

Устные упражнения

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

По рисунку определите

и сформулируйте свойство

параллелограмма

В

А

С

D

О

А

А

В

В

С

С

D

D

Свойства параллелограмма

3

1

2

​

Противоположные стороны параллелограмма равны.

​

​

​

Противоположные углы параллелограмма равны.

​

​

​

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

​

​

​

На рисунке изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно.

​

​

О

А

В

С

D

1

40º

41º

О

А

В

С

D

2

5

5

8

9

А

В

С

D

3

48º

132º

​

На рисунке изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно.

​

​

О

А

В

С

D

4

20º

40º

9

А

В

С

D

5

50º

65º

10

А

В

С

D

6

40º

120º

60º

17

18

​

Является ли четырёхугольник параллелограммом? Ответ обосновать.

​

​

а)

D

В

С

А

1

2

4

3

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

б)

D

А

В

С

2

1

3

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

в)

D

А

В

С

75º

70º

110º

НЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

​

Является ли четырёхугольник параллелограммом? Ответ обосновать.

​

​

г)

D

В

С

А

116º

54º

д)

D

А

В

С

2

1

3

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

е)

D

А

В

С

35º

4

НЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

О

35º

5

НЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

1) Если известно, что некоторый четырехугольник является параллелограммом, то можно сказать о том, что его противоположные стороны попарно параллельны.

​

Да

Нет

Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ

Игра «Верите ли вы»

2) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.

​

Да

Нет

Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ

Игра «Верите ли вы»

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения не делятся пополам.

​

Да

Нет

Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ

Игра «Верите ли вы»

4) Периметр параллелограмма– это сумма длин

его сторон.

Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ

Да

Нет

Игра «Верите ли вы»

5) У параллелограмма все стороны и углы равны.

Да

Нет

Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ

Игра «Верите ли вы»

6) У параллелограмма сумма углов 360⁰.

​

Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ

Да

Нет

Игра «Верите ли вы»

7) У параллелограмма АВСD: AB+AD=DC+BC

​

Перейдите к решению следующей задачи, нажав кнопку ЗАКРЫТЬ ОКНО

Да

Нет

Игра «Верите ли вы»

Задачи по готовым рисункам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1. Найдите углы B и С параллелограмма АВСD�

Задачи по готовым рисункам

2. Найдите угол АВС �параллелограмма АВСD�

Ответ

105⁰

Задачи по готовым рисункам

Ответ

24 см

Задачи по готовым рисункам

C

3. Найдите периметр

параллелограмма АВСD�

Ответ

Ответ

Ответ

105⁰

Задачи по готовым рисункам

Ответ

75⁰

4. Найдите углы параллелограмма

105⁰

75⁰

Задачи по готовым рисункам

5. Найдите периметр параллелограмма АВСD�

​

Ответ

18 см

Задачи по готовым рисункам

Р=

Ответ

6. Найдите периметр

параллелограмма АВСD�

​

30 см

Ответ

Ответ

Ответ

100⁰

Задачи по готовым рисункам

Ответ

80⁰

7. Найдите углы параллелограмма

100⁰

80⁰

8. Найдите углы C и D параллелограмма АВСD�

Задачи по готовым рисункам

Задачи по готовым рисункам

Р=

Ответ

9. Найдите периметр

параллелограмма АВСD�

​

40 см

37

1. Что такое параллелограмм?

Четырехугольник, у которого все стороны равны.

Четырехугольник, у которого все углы прямые.

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны

Четырехугольник, у которого все углы смежные.

Все утверждения не верны.

38

2. В параллелограмме ABCD отрезки AC и BD являются ... 

смежными сторонами

соседними сторонами

противоположными сторонами

диагоналями

3. Какова сумма всех внутренних углов в параллелограмме?

360°

бывает разной

270°

180°

40

4. Является ли параллелограмм

выпуклым четырехугольником?

иногда не является

всегда не является

иногда является

всегда является

41

5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180°. Один из углов параллелограмма равен 58°. Найти остальные три угла.

58°, 58°, 122°;

42°, 122°, 138°;

58°, 122°, 122°;

42

6. Один из углов параллелограмма на 30° больше другого. Найти градусные меры всех углов параллелограмма.

70°, 70°, 100°, 100°; 

65°, 65°, 95°, 95°; 

75°, 75°, 105°, 105°;

75°, 75°, 115°, 115°;

60°, 60°, 90°, 90°

43

​

160⁰

​

​

406⁰

​

​

140⁰

​

​

20⁰

​

44

8. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке К, ВК:СК=2:1. Найдите наименьшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 90 см.

16,875 см

18 см

27 см

11,25 см

45

9 В параллелограмме MNPK проведена высота NE. Найдите угол МКР, если угол NME в 5 раз больше угла МNЕ.

​

105⁰

​

​

75⁰

​

​

80⁰

​

​

100⁰

​