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Johann Sebastian Bach

Canon per tonos (Canon Perpetuus)

Philip Glass

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... mas também é sutil.

Onde está a matemática?

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Isto é matemática.

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Estas duas pinturas têm o mesmo título: Infinito.

Qual delas tem mais matemática?

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O mito da proporção áurea...

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Divina proporção...

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Parthenon, Atenas

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Notre Dame, Paris

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Taj Mahal , Agra

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Mona Lisa, Da Vinci

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No reino animal

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No reino vegetal

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No Universo

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Em qualquer lugar!

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A proporção áurea foi sim utilizada por alguns artistas, conscientemente ou não.

Da Vinci, Portinari, Le Corbusier ...

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Mas há manifestações bem mais profundas e interessantes da matemática na arte...

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Simetria

é um princípio constituinte do Universo e da vida...

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Phillip W. Anderson

(Nobel da Física 1977)

“É apenas um pequeno exagero dizer que a Física é o estudo da simetria.”

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Teorema de Emmy Noether:

A cada simetria matemática de um sistema corresponde uma quantidade física preservada pela evolução desse sistema.

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Logo, simetria tem também protagonismo na arte...

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Taj Mahal, Agra

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Última Ceia, Da Vinci

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Fuga, J. S. Bach

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O que é simetria?

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simetria (sf, pl –trias)

1. semelhança, correspondência, equilíbrio entre sistemas ou entre partes de um dado sistema

2. correspondência exata da posição ou forma relativamente a um ponto, linha ou plano dado

3. beleza ou harmonia da forma baseado numa organização proporcional das partes

4. invariância sob a ação de uma ou mais transformações do espaço (ou do plano).

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Nossa primeira experiência com simetria ocorre em frente do espelho: simetria por reflexão.

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Mas há tipos mais complexos de simetria. Esta cúpula tem quatro eixos de reflexão, cruzando-se num ponto.

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Aqui há vários eixos de reflexão, que se cruzam em diversos centros de reflexão.

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Esta composição de azulejos também apresenta simetria por translação, em duas direções diferentes.

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O escudo de armas da Ilha de Man (triskelion) apresenta simetria por rotação, ângulo de 120º.

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Esta composição musical exibe simetria por rotação e por reflexão

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Representação matemática de simetrias

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William Thurston e John Conway desenvolveram uma notação matemática para representar simetrias no plano (e no espaço) usando os seguintes símbolos:

números inteiros 1, 2, 3, ...
espelho *
milagre x
espanto o
infinito ∞

Cada símbolo descreve uma transformação diferente:

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Espelho * indica que existe algum eixo de reflexão:

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Inteiro N à esquerda do espelho representa rotação de ângulo 360^o/N em torno de um ponto:

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Inteiro N à direita de * representa N espelhos cruzando-se num mesmo ponto:

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Milagre x representa reflexão combinada com translação: é possível ir de uma figura à sua imagem refletida, sem cruzar nenhum espelho:

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Espanto o indica que não existem espelhos, nem rotações, nem milagres - então devem existir duas translações distintas:

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Infinito ∞ indica que existe uma única translação - o padrão repete-se indefinidamente em uma única direção:

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Por exemplo:

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Caleidoscópio: simetria *333

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22x 333 *333

Algumas simetrias em Escher

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Simetrias com o símbolo ∞ são chamadas frisos.

Simetria *∞∞

As demais são chamadas papéis de parede.

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Teorema Mágico

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Existem exatamente 24 tipos de simetria no plano:

17 papéis de parede mais 7 frisos:

*632	632	*442	442	*333	*22∞	22∞	2*∞
333	*2222	2222	4*2	3*3	2*22	*∞∞	∞∞
22*	**	*x	xx	22x	o	∞*	∞x

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Todos estes tipos de simetrias podem ser encontrados nas artes decorativas desde a antiguidade!

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Por exemplo, todos os 7 frisos estão realizados em cerâmicas da Mesopotâmia (Suméria ~5.000 a.C.)

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Os artistas que construíram esses padrões o fizeram de forma intuitiva.

Só no século 20 a matemática veio determinar os limites absolutos dessa intuição (Teorema Mágico) .

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Mas não precisamos ir tão longe:

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Simetria 22*

Copacabana, Rio de Janeiro

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Simetria 2222

Calçada Paulista, São Paulo

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A Rota da Simetria em Lisboa

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Simetria 442

Praça dos Restauradores, Lisboa

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Simetria *2222

Capela de Santo Amaro, Lisboa

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Simetria **

Praça do Município,Funchal

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Simetria *x

Instituto Superior Técnico, Lisboa

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Igreja de S. Julião

Lisboa

Simetria 2*∞

Largo do Chiado

Lisboa

Simetria *∞∞

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Nas calçadas de Lisboa, já foram detectados todos os tipos de frisos e 11 dos 17 tipos de papel de parede.

�As exceções (até o momento...) são:

333 *333 22x 4*2 o

O padrão 4*2 foi encontrado na cidade de Guimarães.

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Padrões em falta nas calçadas portuguesas:

632

*333

333

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