הסתברות –דיאגרמת עץ

מתמטיקה לשאלונים 481 /581 כיתות י'-יא'

תזכורת

• התנסינו בחישוב הסתברויות של מאורעות שונים.
• ניסחנו מושגים ראשונים בהסתברות

​

מה למדנו בשיעור הקודם?

מה נלמד היום?

• נעסוק במאורעות בלתי תלויים.
• נכיר את מודל העץ לפתרון בעיות בהסתברות�

​

דיאגרמת עץ

מאורעות בלתי תלויים - תזכורת

​

​

• מאורע A נקרא בלתי תלוי במאורע B אם העובדה ש-B קרה אינה משנה את ההסתברות של A.

לדוגמא :

• תוצאה של זריקת קוביה, היא בלתי תלויה בתוצאת הזריקה הקודמת.
• ההסתברות שירד גשם מחרתיים היא בלתי תלויה בהסתברות שירד גשם מחר.

חישוב ההסתברות במאורעות בת"ל -תזכורת

​

​

• מאורע A נקרא בלתי תלוי במאורע B אם העובדה ש-B קרה אינה משנה את ההסתברות של A.
• מאורעות בלתי תלויים מקיימים :�
• במילים :�ההסתברות שמאורע A יקרה וגם מאורע B יקרה כלומר ההסתברות לחיתוך המאורעות שווה למכפלת ההסתברות של כל מאורע בנפרד.
• שימו לב כלל זה מתקיים רק במאורעות בלתי תלויים כלומר :
• המאורעות A ו-B בלתי תלויים ⇔

​

דוגמא ראשונה

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

​

שאלה 1 | עץ הסתברויות

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• נצייר עץ הסתברויות.
• מהן ההסתברויות של ענפי העץ?

​

שאלה 1 | עץ הסתברויות – שלב ראשון

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• דרך נוספת לפתור היא לצייר עץ הסתברויות.
• מהן ההסתברויות של ענפי העץ?
• כיצד ייראה השלב הבא בעץ?

​

​

שאלה 1 | עץ הסתברויות – שלב שני

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• דרך נוספת לפתור היא לצייר עץ הסתברויות.
• כעת נוכל לענות על הסעיפים השונים:

​

​

​

שאלה 1 | פתרון סעיף א

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• דרך נוספת לפתור היא לצייר עץ הסתברויות.
• כעת נוכל לענות על הסעיפים השונים:
• הענף התחתון בעץ מתאר קבלת פאה שחורה פעמיים.

התוצאות של שתי הטלות הקובייה הן בלתי תלויות, לכן �הסתברות החיתוך שווה למכפלת ההסתברויות:

​

​

​

שאלה 1 | פתרון סעיף ב

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• דרך נוספת לפתור היא לצייר עץ הסתברויות.
• כעת נוכל לענות על הסעיפים השונים:
• הענף השלישי מלמעלה בעץ מתאר קבלת פאה שחורה �ואחריה פאה לבנה. �הסיכוי לכך הוא:

​

​

​

שאלה 1 | הערת ביניים

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• דרך נוספת לפתור היא לצייר עץ הסתברויות.
• כעת נוכל לענות על הסעיפים השונים:
• הענף השלישי מלמעלה בעץ מתאר קבלת פאה שחורה �ואחריה פאה לבנה. �הסיכוי לכך הוא: ��שימו לב לשני המאורעות שמיוצגים בענף השלישי מלמעלה�ובענף התחתון: אם אחד משני המאורעות מתקיים, אז האחר�לא יכול להתקיים – כלומר המאורעות זרים. באותו אופן �כל שני ענפים בעץ מתארים מאורעות זרים זה לזה.

​

​

שאלה 1 | פתרון סעיף ג

לקובייה יש ארבע פאות לבנות ושתי פאות שחורות. מטילים את הקובייה פעמיים.

1. מה הסיכוי לקבל בשתי הפעמים פאות שחורות?
2. מה הסיכוי לקבל בהטלה הראשונה פאה שחורה ובהטלה השנייה פאה לבנה?
3. מה הסיכוי לפאה לבנה בהטלה הראשונה ופאה שחורה בהטלה השנייה?

פתרון

• דרך נוספת לפתור היא לצייר עץ הסתברויות.
• כעת נוכל לענות על הסעיפים השונים:
• הענף השני מלמעלה בעץ מתאר קבלת פאה לבנה �ואחריה פאה שחורה.

הסיכוי לכך הוא:

​

נשים לב שהסיכוי לקבל פאה לבנה ואחריה פאה שחורה �שווה לסיכוי לקבל פאה שחורה ואחריה פאה לבנה �(שאותו חישבנו בסעיף ב').

​

​

שאלה 2

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים.
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

שאלה 2 | עץ הסתברויות

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים.
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

​

פתרון

• נצייר עץ הסתברויות. נתחיל בבחירת הלחם.

שאלה 2 | עץ הסתברויות – שלב ראשון

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים.
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

​

פתרון

• נצייר עץ הסתברויות. נתחיל בבחירת הלחם.
• כיצד ניתן להוסיף לעץ את בחירת הממרח?

​

שאלה 2 | עץ הסתברויות – איך ממשיכים?

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים.
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

​

פתרון

• נצייר עץ הסתברויות. נתחיל בבחירת הלחם.
• כיצד ניתן להוסיף לעץ את בחירת הממרח?

נסמן אם ההסתברות לקניית ממרח חצילים באות p. �ההסתברות לקניית ממרח טונה היא 2p (לפי הנתון), �והיא גם 1-p (מאורע משלים לקניית ממרח חצילים); כלומר:� 1 – p = 2p ⇒ p = 1/3

​

שאלה 2 | עץ הסתברויות – שלב שני

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים.
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

​

פתרון

• נצייר עץ הסתברויות. נתחיל בבחירת הלחם.
• כיצד ניתן להוסיף לעץ את בחירת הממרח?

​

שאלה 2 | פתרון סעיף א

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים.
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

​

פתרון

1. הענף התחתון הוא הענף היחיד שמייצג

קנייה של לחם קימל וממרח חצילים. הסיכוי לכך:

שאלה 2 | פתרון סעיף ב

בחנות מונחים בערבוביה כיכרות לחם משני סוגים - לחם קימל ולחם לבן;

כמו כן מונחות בערבוביה קופסאות של ממרח טונה ושל ממרח חצילים.

בארון הלחם השכיחות היחסית של כיכרות הלחם הלבן היא 0.4; בין הממרחים השכיחות היחסית של קופסאות הטונה כפולה מזו של קופסאות ממרח חצילים. סטודנט בוחר באקראי כיכר לחם וקופסת ממרח.

חשבו את ההסתברויות של המאורעות:

1. הסטודנט יקנה לחם קימל וממרח חצילים. 0.2
2. הסטודנט יקנה לחם לבן וטונה.

​

פתרון

2. הענף העליון הוא הענף היחיד המייצג קנייה �של לחם לבן וממרח טונה. הסיכוי לכך:

שאלה 3

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

שאלה 3 | עץ הסתברויות – שלב ראשון

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

• נבנה עץ שמתאר את ההסתברויות השונות.
• ניתן להתחיל בכל אחד מהמנגנונים.

נתחיל במנגנון 1 - טלוויזיה במעגל סגור.

• האם תוכלו לעזור במציאת ההסתברויות החסרות?

שאלה 3 | עץ הסתברויות – שלב ראשון

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

• האם תוכלו לעזור במציאת ההסתברויות החסרות?
• הסיכוי להתרעה הוא 0.95.
• יש בדיוק שתי אפשרויות (התרעה או אי-התרעה);

סכום ההסתברויות שלהן הוא 1, ומכאן שהסיכוי לאי-התרעה הוא:

1 - 0.95 = 0.05

​

שאלה 3 | עץ הסתברויות – שלב שני

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

• נבנה בעץ שלב נוסף, המייצג את מנגנון 2 - גלאי הנפח.
• האם תוכלו לומר מהן ההסתברויות החסרות?

​

שאלה 3 | עץ הסתברויות – שלב שני

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

• האם תוכלו לומר מהן ההסתברויות החסרות?

​

​

​

שאלה 3 | הערת ביניים

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

נשים לב שכל ענף בעץ מתאר מאורע אחר, והמאורעות זרים לחלוטין

זה לזה.

​

​

שאלה 3 | הערת ביניים

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

נשים לב שכל ענף בעץ מתאר מאורע אחר, והמאורעות זרים לחלוטין

זה לזה.

כך למשל רק הענף השני מתאר מצב שבו ההתרעה באמצעות הטלוויזיה

הצליחה ואילו ההתרעה באמצעות גלאי הנפח כשלה.

מהו הסיכוי לכך?

​

שאלה 3 | הערת ביניים

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון

נשים לב שכל ענף בעץ מתאר מאורע אחר, והמאורעות זרים לחלוטין

זה לזה.

כך למשל רק הענף השני מתאר מצב שבו ההתרעה באמצעות הטלוויזיה

הצליחה ואילו ההתרעה באמצעות גלאי הנפח כשלה.

מהו הסיכוי לכך?

שני המאורעות בענף המסומן הם בלתי תלויים, �לכן הסתברות החיתוך שלהם היא מכפלת ההסתברויות:

0.95∙0.1=0.095

​

שאלה 3 | סעיף א

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון סעיף א

• איזה ענף בעץ מתאר את המציאות שבה שני המנגנונים יכשלו?

​

שאלה 3 | פתרון סעיף א

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. מה הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל במקרה של ניסיון פריצה?
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון סעיף א

• איזה ענף בעץ מתאר את המציאות שבה שני המנגנונים יכשלו?
• זהו הענף התחתון בעץ.
• כיוון שהמנגנונים בלתי תלויים, הסיכוי לכך הוא מכפלת ההסתברויות

לכשל של כל אחד מהמנגנונים, כלומר: 0.05 ∙ 0.1 = 0.005

​

שאלה 3 | סעיף ב

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל: 0.005
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון סעיף ב

• באיזה ענף או ענפים מתואר מצב שבו לפחות אחד המנגנונים יפעל?

​

​

שאלה 3 | פתרון סעיף ב

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל: 0.005
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון סעיף ב

• באיזה ענף או ענפים מתואר מצב שבו לפחות אחד המנגנונים יפעל?
• המאורע "לפחות אחד המנגנונים יפעל" הוא איחוד של שלושה מאורעות�זרים, המיוצגים בשלושת הענפים העליונים: �רק גלאי הנפח יפעל – מיוצג בענף השלישי;�רק הטלוויזיה במעגל סגור תפעל – מיוצג בענף השני;�שני המנגנונים יפעלו – מיוצג בענף העליון.

​

שאלה 3 | פתרון סעיף ב

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל: 0.005
2. מה הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל במקרה של ניסיון פריצה?

פתרון סעיף ב

• כיוון שהמאורע הוא איחוד של שלושה מאורעות זרים, הסתברותו�היא סכום ההסתברויות שלהם:

​

• האם יש דרך קלה יותר?

​

שאלה 3 | פתרון סעיף ב – דרך נוספת

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל: 0.005
2. הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל: 0.995

פתרון סעיף ב

• האם יש דרך קלה יותר?
• נשים לב שהמאורע "לפחות אחד המנגנונים יפעל" הוא מאורע משלים �למאורע "אף מנגנון לא יפעל" (שאת ההסתברות שלו חישבנו בסעיף א').

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

​

שאלה 3 | פתרון סעיף ב – ועוד דרך...

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל: 0.005
2. הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל: 0.995

פתרון סעיף ב

• האם יש דרך קלה יותר?
• נשים לב שהמאורע "לפחות אחד המנגנונים יפעל" הוא מאורע משלים �למאורע "אף מנגנון לא יפעל" (שאת ההסתברות שלו חישבנו בסעיף א').

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

• גם בעזרת העץ יכולנו להגיע לתחשיב הזה: �סך ההסתברויות של כל הענפים הוא 1. המאורע בסעיף ב' מיוצג בשלושת �הענפים העליונים. ההסתברות שלהם משלימה ל-1 את הסתברות �הענף התחתון, המייצג את המאורע בסעיף א'.

שאלה 3 | דרך אחרת לבניית העץ

במפעל ביטחוני 2 מנגנוני התרעה נגד פריצה:

1. מנגנון המבוסס על טלוויזיה במעגל סגור; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 95%
2. מנגנון המבוסס על גלאי נפח; ההסתברות שיפעל בשעת פריצה: 90%

הפעולות התקינות של שני המנגנונים אינן תלויות זו בזו.

1. הסיכוי שאף אחד משני המנגנונים לא יפעל: 0.005
2. הסיכוי שלפחות אחד מהמנגנונים יפעל: 0.995

​

• אנא ציירו עץ שמתחיל במנגנון גלאי הנפח.
• ציינו את הדומה והשונה בין העץ שמוצג כאן לבין העץ שציירתם.

נתרגל עוד קצת

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

נתרגל עוד קצת

נבנה את עץ ההסתברויות

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

נתרגל עוד קצת

נבנה את עץ ההסתברויות

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

נוסיף את הההסתברות לבחירת גבר/אישה

נתרגל עוד קצת

נבנה את עץ ההסתברויות

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

נוסיף רמה לעץ, האם העובד/ת מעשן/לא מעשן.

נתרגל עוד קצת

נבנה את עץ ההסתברויות

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

נוסיף את ההסתברויות על פי הנתונים לעץ ההסתברות

נתרגל עוד קצת

האם עכשיו אפשר לענות על השאלה?

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

יש לנו 2 מסלולים בעץ שמתאימים לעובד שאינו מעשן, אישה שאינה מעשנת וגבר שאינו מעשן.

נתרגל עוד קצת

האם המאורעות בלתי תלוים?

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

במאורעות בלתי תלויים מתקיים הכלל שחיתוך המאורעות שווה למכפלת ההסתברויות ולכן נחשב ונקבל

נתרגל עוד קצת

פתרון

השאלה מתוך 'האתגר 5' מט"ח

במאורעות בלתי תלויים מתקיים הכלל שחיתוך המאורעות שווה למכפלת ההסתברויות ולכן נחשב ונקבל

סיכום – מה למדנו היום?

• עסקנו במאורעות בלתי תלויים
• הכרנו את מודל העץ לפתרון בעיות בהסתברות ופתרנו בעזרתו בעיות שונות.�

​

דיאגרמת עץ