1 of 24

Fraktálok

Források:

http://info.berzsenyi.hu (Erben Péter)

http://messzejaro.atw.hu/oldpages/fractal.html

http://hu.wikipedia.org

http://vilagvege.net/tudomany/kaoszelmelet/sierpinski-szonyeg-menger-szivacs

http://index.hu/nagykep/2012/09/23/oriasfraktalok_a_vilag_korul/

2 of 24

Fraktálok

Önhasonló ábrák, alakzatok:�kisebb részüket felnagyítva hasonló a szerkezetük, mint a nagynak
Rekurzív alakzatok
A természetben sok megjelenési forma
Matematikai görbék

3 of 24

Fraktálok a természetben I.

4 of 24

Falevelek

5 of 24

Fa, mint fraktál

6 of 24

Felhők, villámok

7 of 24

Térképek: műholdkép

8 of 24

Hegygerincek, folyók, fjordok

9 of 24

Határvonal hossza

Spanyolország és Portugália határa 987 km a spanyol, 1214 km a portugál enciklopédia szerint. Ez több mint 20%-os eltérés. Hasonlót lehetett tapasztalni a belga-holland határ esetében is, itt 380, illetve 449 km volt megadva. Ha Magyarország határának a hosszára keresünk adatot, 2009 és 2442 km közötti értékeket találunk.

Az eltérések oka a mérés módjában keresendő. Richardson felfedezte, hogyan függ a határ hosszára kapott eredmény a mérőegység hosszától. A spanyolok azért kaptak nagyobb értéket a határ hosszára, mert rövidebb, a cikk-cakkokba jobban beilleszthető mérőláncot használtak. Richardson statisztikáiból Benoît B. Mandelbrot "Milyen hosszú a brit part?" címmel írt cikket, melyben feltételezte, hogy a mérés 200 km hosszúságú vonalzóval történik, és a vonalzó mindkét vége érinti a partot.

Ezt a mérést egyre rövidebb vonalzókkal megismételve egyre nagyobb hosszúságok adódnak, ahogy egyre több részletet, öblöt, félszigetet kell figyelembe venni. Azt lehetne gondolni, hogy a vonalzó hosszának csökkenésével a kapott eredmény egy véges értékhez, a partvonal "valódi hosszához" tart, de megmutatható, hogy nincs ilyen felső határ. A part hossza tetszőlegesen hosszú is lehet, ha elég rövid a méréséhez használt egység. Ennek a jelenségnek Richardson-hatás a neve.

10 of 24

Fraktálok kutatása

Felfedezés: 1800-as évek vége – nem foglalkoznak vele
Matematika fejlődése (analízis, topológia, káoszelmélet…)
XX. század eleje: néhány fraktálszerű görbe felfedezése (pl. Júlia-halmaz)
Benoit Mandelbrot

1975: fraktál elnevezés
Tudományos vizsgálat és népszerűsítés
Mandelbrot-halmaz

Az első fraktálokat az 1800-as évek utolsó évtizedeiben fedezték fel, ám ekkoriban még nem nyertek önálló elnevezést, inkább kellemetlenségnek és vitaalapnak számítottak a matematikusok számára, minthogy divergens viselkedésük miatt az analízis akkori eszköztára számára kivételes, ellentmondó eseteket, problémát és kihívást jelentettek. Néhány matematikus, mint pl. H. Poincaré egyenesen odáig ment, „szörnyetegeknek” nevezze ezeket az új alakzatokat.

Ezen vizsgálatok eredményeképp azonban továbbfejlődött az analízis tudománya (mértékelmélet, metrikus terek elmélete, absztrakt topológia. Az 1910-es évek végén a komplex függvénytan / rendszerdinamika terén elért eredmény, a Julia- és Fatou-halmazok felfedezése és tanulmányozása, újabb fraktálokkal gazdagította a tudományt. Az elmélet nehézsége miatt nem lett népszerű.

A káoszelmélet kialakulása, amely a fraktálképekkel kölcsönhatásban bizonyos népszerűségre és közérdeklődésre tett szert; szélesebb körben világossá tette, hogy a hagyományos geometriai alakzatok nem elegendőek minden, a műszaki életből vett probléma leírása. Számos rendkívül érdekesen viselkedő rendszer leírása önhasonló, vagy végtelenül komplex, fraktálszerű ábrákhoz vezet, olyanokhoz, amelyeket a múlt századi matematikusok még bosszantó kellemetlenségnek, esztétikátlan szabálytalanságnak tartottak.

A végső lökést a népszetrűség irányába csak 1975-ben adta Benoît Mandelbrot amerikai matematikus, aki nemcsak mélyreható vizsgálatokat végzett a fraktálokkal kapcsolatban, de tudatos népszerűsítést is. A fraktál szót a latin fractus (vagyis törött; törés) szó alapján alkotta meg; ami az ilyen alakzatok tört értékű dimenziójára utal, bár nem minden fraktál tört dimenziós (ilyenek például a síkkitöltő görbék). Ő hívta fel a témáról írt értekezéseiben és könyveiben (pl. a Nagy-Britannia partvonalának hosszáról írtban, amelyben a fraktál szót még nem használta) arra is a figyelmet, hogy számos egyszerű, köznapi természeti alakzat viselkedik bizonyos mértékig fraktálként.

Mandelbrot egy új szót is alkotott, a „fraktálgeometriát”. A gyakori tévhittel ellentétben azonban ez nem önálló matematikai tudományág, hanem multidiszciplináris ismeretterület, ahová elméleti és alkalmazott ismereteket egyaránt sorolnak, maga Mandelbrot is inkább paradigmának és szemléletmódnak, semmint szaktudománynak tekintette. A geometriának jelenleg nincs kifejezetten olyan ága, ami a fraktálok geometriájával foglalkozna, az ilyen tárgyú cikkek szétszórtan jelennek meg halmazelméleti, analitikus topológiai, rendszerdinamikai, műszaki, fizikai, népszerűsítő stb. folyóiratokban és kiadványokban.

Fraktáldimenzió A geometriában hagyományosan egy görbe egy-, egy felület két-, és egy térbeli test háromdimenziós. Az úgynevezett fraktálhalmazok esetén a dimenzió nem adható meg ilyen egyszerűen: ha közelítőleg kiszámítunk egy fraktális vonalat, akkor a kép egyre jobban kitölti a síkot, és az egy dimenziós vonal egyre közelebb kerül ahhoz, hogy kétdimenzióssá váljon.

Mandelbrot a Hausdorff-dimenziót használva megállapította, hogy a legtöbb fraktálkép dimenziója nem egész. Az általánosított dimenziónak ezt a változatát fraktáldimenziónak is nevezzük.

Ennek alapján Mandelbrot a következő definíciót adta a fraktálokra:

„A fraktál olyan halmaz, aminek a Hausdorff-dimenziója nagyobb, mint a Lebesgue-dimenziója.”

11 of 24

Fraktál elnevezés

Mandelbrot (1924-2010)
Fraktál (fractus, lat)= törés, törött
Az alakzatok „tört dimenziójára” utal

Bonyolult matematikai elmélet

Fraktálgeometria:�nem kifejezett tudományág, hanem több tudományág egymásra hatása

12 of 24

Júlia-halmaz

13 of 24

Mandelbrot-halmaz

14 of 24

Mandelbrot-halmaz részei nagyítva

15 of 24

Mandelbrot-halmaz animáció

http://hu.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-halmaz

16 of 24

Peano-görbék

Az egyik leghamarabb felfedezett fraktál

17 of 24

Cantor-halmaz

18 of 24

Koch-görbe

19 of 24

Sierpinski-szőnyeg ill. Sierpinski-háromszög

20 of 24

Térbeli Sierpinski-alakzatok �(„Menger-szivacs”)

21 of 24

Sierpinski-nyílhegy

22 of 24

Sárkány-görbe

23 of 24

Fraktálok alkalmazásai

Matematika
Informatika: �pl. tömörítő-algoritmusok képek és hangok esetén („fraktáltömörítés”)
Biológia, kémia: növekedési elvek�pl: kristályok, felhők, növények�„fürtösödés”
Gazdaság: káosz- és katasztrófamodellek
Művészet

24 of 24

Fraktálművészet