RUANG �DIMENSI �TIGA
MATERI:
TITIK, GARIS DAN BIDANG
LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG�
PROYEKSI
MENGGAMBAR IRISAN BANGUN RUANG
SUDUT-SUDUT DALAM RUANG
MENGGAMBAR BANGUN RUANG�
MENENTUKAN JARAK PADA BANGUN RUANG
TITIK,
GARIS,
DAN BIDANG
Titik, Garis, dan Bidang dinamakan sebagai unsur-unsur ruang
> Digambarkan dengan noktah dan ditulis dengan
huruf besar.
> Hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi
tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak
berdimensi).
TITIK
A
B
P
Q
GarIS (Garis Lurus)
> Merupakan himpunan (kumpulan) titik-titik.
> Hanya mempunyai ukuran panjang
> Garis ditulis dengan huruf kecil, misalnya
garis g, garis h, garis k, dan seterusnya.
Atau menyebutkan nama segmen garis dari
titik pangkal ke titik ujung.
g
B
A
Bidang (Bidang Datar)
> Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas. Dalam geometri, sebuah
bidang cukup digambarkan wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas yang
terletak pada bidang.
> Mempunyai ukuran panjang dan lebar.
> Nama dari wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai
huruf α, β, γ atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.
α
Q
P
S
R
bidang α
bidang PQRS
Aksioma Garis dan Bidang
Aksioma atau postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian.
Dalam geometri ruang ada tiga buah aksioma yang penting. Ketiga buah aksioma itu diperkenalkan oleh
Euclides (+ 300 SM), seorang ahli matematika dari Alexandria.
-
Aksioma-aksioma Euclides
Aksioma 1
Melalui dua buah titik sebarang (kedua titik tidak berimpit) hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
g
Aksioma 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
g
.
.
B
Aksioma 3
Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.
α
α
. A
. B
. C
. A
. B
A
MENGKONSTRUKSIKAN SEBUAH BIDANG
Sebuah bidang tertentu dibentuk oleh:
(1) Tiga buah titik yang tidak segaris.
α
Tiga buah titik A, B, C
yang tidak segaris
membentuk sebuah
bidang α
. A
. B
. C
(2) Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
β
g
Titik P ada di luar garis g.
Titik P dan garis g membentuk
bidang β
. P
(3) Dua garis yang berpotongan.
g
h
α
Garis g dan garis h berpotongan.
Garis g dan garis h membentuk bidang α
(4) Dua garis yang sejajar.
β
m
n
Garis m dan garis n sejajar.
Garis m dan garis n membentuk bidang β
Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang
Kedudukan Titik Terhadap Garis
Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan terletak pada garis g.
Titik terletak pada garis
. A
g
Titik di luar garis
Jika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B dikatakan berada di luar garis h.
. B
h
Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Titik terletak pada bidang
Titik di luar bidang
Jika titik A dapat dilalui oleh bidang α, maka dikatakan titik A terletak pada bidang α
Jika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang β, maka dikatakan titik B berada di luar bidang β.
. A
α
. B
β
.
. B
E .
. F
. G
.
D
.
A
. C
U
H .
Bidang DCGH sebagai wakil bidang U
> Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah titik-titik C, D, G, dan H.
> Titik-titik sudut kubus yang berada di luar bidang U adalah titik-titik A, B, F, dan E.
Kedudukan Dua Garis
1) Berimpit
Garis g berimpit dengan garis h jika setiap titik di garis g juga terletak di garis h, dan sebaliknya.
g
h
2) Berpotongan
Syarat untuk dua garis berimpit, cukup memiliki dua titik persekutuan.
Garis g dan h berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki tepat satu titik persekutuan, yaitu titik potong kedua garis.
Dua garis hanya dapat berpotongan jika terletak pada bidang yang sama.
g
.
A
h
3) Sejajar
Garis g dan h sejajar ( // ) jika kedua garis tak mempunyai titik persekutuan.
4) Bersilangan
Garis g dan h dikatakan bersilangan jika garis g dan h tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan terletak di dua bidang yang berbeda.
A
B
D
C
AB // DC
AD // BC
A
B
C
D
E
H
G
F
Garis AE bersilangan dengan garis BC, FG, BG, FC, FD, DC, DG, HG, DB, BH, dan FH
Aksioma Dua Garis Sejajar
Aksioma 4
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
g
.
A
h
Dalil-Dalil tentang Dua Garis Sejajar
Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.
k
l
m
k // l
l // m
k // m
Jika garis k sejajar dengan garis h dan memotong garis g, garis l sejajar garis h dan juga memotong garis g, maka garis-garis k, l dan g terletak pada sebuah bidang.
k // h dan k memotong g
l // h dan l memotong g
k , l dan g terletak pada sebuah bidang
k
l
h
.
.
.
g
Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l menembus bidang α, maka garis k juga menembus bidang α.
α
k
l
P .
Q .
k // l
l menembus bidang α
k menembus bidang α
Kedudukan Garis terhadap Bidang
1) Garis terletak pada bidang
Garis g terletak pada bidang α jika setidaknya dua titik pada garis g terletak di bidang α
α
.
.
g
2) Garis sejajar bidang
Jika garis h sejajar bidang β, maka β memuat tepat sebuah garis yang sejajar dengan h.
β
h
3) Garis menembus atau memotong bidang
Garis k menembus bidang α, jika garis k tidak terletak pada bidang α dan garis k tidak sejajar bidang α.
k
Garis k dan bidang α memiliki tepat satu titik persekutuan yang disebut titik tembus (titik potong)
α
.
. B
E .
. F
. G
.
D
.
A
. C
U
H .
Bidang DCGH sebagai wakil bidang U
> Rusuk yang terletak pada bidang U ?
Rusuk-rusuk DC, CG, GH dan HD
> Rusuk yang sejajar pada bidang U ?
Rusuk-rusuk AB, BF, FE dan EA
> Rusuk yang menembus atau
memotong pada bidang U ?
Rusuk-rusuk AD, FG,BC, dan EH
Dalil-Dalil tentang Garis Sejajar Bidang
g // h
h terletak pada bidang α
g // bidang α
α melalui g
g // bidang β
(α, β) // g
α
g
h
α
g
β
(α, β)
g // h
h // bidang α
g // bidang α
α berpotongan dengan β
α // g
β // g
(α, β) // g
g
α
h
α
β
g
(α, β)
1. Berimpit
Bidang α dan bidang β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga terletak pada bidang β atau setiap titik yang terletak pada bidang β juga terletak pada bidang α.
α
β
D
A
B
C
Daerah ABCD sebagai daerah persekutuan, sehingga α dan β berimpit
2. Sejajar
Bidang α dan bidang β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.
Kedudukan Dua Bidang
Jika setiap titik di bidang α jaraknya sama ke bidang β, maka α dan β sejajar.
β
α
.
.
.
.
=
=
3. Berpotongan
Bidang α dan bidang β yang tidak sejajar akan berpotongan.
Perpotongan α dan β membentuk tepat sebuah garis potong. Garis perpotongan bidang α dan β ditulis (α,β)
α
β
(α,β)
. B
E .
. F
. G
.
D
.
A
. C
U
H .
Bidang DCGH sebagai wakil bidang U
> Bidang sisi kubus yang berimpit
dengan bidang U ?
Bidang sisi DCGH
> Bidang sisi kubus yang sejajar
dengan bidang U ?
Bidang sisi ABFE
. B
E .
. G
.
A
. C
U
H .
Bidang DCGH sebagai wakil bidang U
> Bidang sisi kubus yang berpotongan
dengan bidang U ?
Bidang sisi ABCD
Bidang sisi BCGF
Bidang sisi FGHE
Bidang sisi ADHE
. F
.
D
Perpotongan lebih dari dua bidang
Misalkan tiga bidang (α, β, dan γ) berpotongan dan mempunyai tiga buah persekutuan. Kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu dapat:
1) Berimpit
α
β
γ
(α, β)
(α, γ)
(β, γ)
2) Sejajar
(α, β)
(β, γ)
(α, γ)
3) Melalui sebuah titik
.
LATIHAN SOAL
Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Tentukan:
A
B
C
D
E
F
G
H
LATIHAN SOAL
Perhatikan prisma segitiga gambar di samping!
A
B
C
D
E
F
Perhatikan limas segilima beraturan T.ABCDE.
T
E
A
B
C
D
SELAMAT BELAJAR