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Probabilità

Francesco Scambia, Francesco Maccà

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  • Definizione probabilità classica

​

Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili.

  • Definizione spazio campionario

Lo spazio combinatorio, indicato con il simbolo Ω, è l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio

fenomeni il cui caso non può essere previsto con certezza

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Evento

Dato uno spazio campionario Ω, si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω.

Operazioni tra eventi

​

unione

​

intersezione

​

contrario

incompatibile

A : A’ = Ω - A

= Ø

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Principio fondamentale del calcolo combinatorio

  • Se un oggetto è univocamente individuato da una sequenza di n scelte successive, tali che vi siano k1 possibilità per la prima, k2 per la seconda, …, kn per la n-esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte è il prodotto: k1 x k2 x … x kn

​

  • Esempio: Per sbloccare lo schermo di un cellulare bisogna inserire 6 numeri qualsiasi dallo 0 al 9 che non possono essere ripetuti: quante combinazioni si possono creare?

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 60480

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Teoremi sul calcolo delle probabilità

probabilità evento contrario

se A è un evento e Ā è il suo contrario, risulta:

p(Ā) = 1 - p(A)

​

probabilità dell’unione di due eventi:

Dati due eventi A e B, risulta:

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

Teoremi sul

calcolo delle probabilità

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probabilità condizionata:

la probabilità condizionata interviene ogni volta che si vuole calcolare la probabilità di un evento A, sapendo che si è verificato un evento B, e che questa informazione può modificare la probabilità di A.

​

si scrive p(A|B) ed è uguale a

​

eventi indipendenti:

due eventi A e B (con p(B)≠0) si dicono indipendenti se la probabilità condizionata dell’evento A, dato l’evento B, è uguale all’evento A.

​

p(A|B) = p(A)

p(A∩B)

p(B)

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Probabilità di morire

Il calcolo delle probabilità il calcolo delle probabilità può essere utilizzato per calcolare le probabilità di morte.

  • esso si può ritrovare ad esempio nelle tavole di mortalità, utili per mettere a confronto le probabilità di morte tra varie categorie (età, genere, luogo geografico)
  • esso può essere utilizzato anche per calcolare le probabilità di morte svolgendo determinate attività,

in tutti i casi si può facilmente calcolare la probabilità di morte:

​

​

ovviamente il numero di persone totali cambierà in base al calcolo che si vuole svolgere.

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Statistiche sulle morti

  • Tavole di mortalità:

​

fino a 4 anni

3.453

83,1%

5-9 anni

0,365

78,4%

10-14 anni

0,437

73,4%

15-19

0,994

68,4%

20-24

1,429

63,5%

25-29

1,630

58,6%

30-34

1.999

53,7%

35-39

2.861

48,8%

40-44

4.693

43,9%

45-50

7,337

39,1%

Età | Probabilità di morte ( per 1000) | speranza di vita

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M

A

G

G

I�O

R

I

​

C

A

U

S

E

​

D

I

​

M

O

R

T

E

​

U

T

I

L

I

Z

Z

O

​

S

A

N

I

T

A

R

I

O

​

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Un giorno nella vita di Francesco

​

​

  • Giorno scolastico, partenza in bici
  • rischio incidente in bici: 1 su 140845= 0,0007%
  • per evitare di arrivare ancora una volta in ritardo, Francesco deve sperare che i 3 semafori consecutivi in Via Corso Milano siano tutti verdi al suo passaggio: sapendo che il primo è verde, qual è la probabilità che lo siano tutti e tre? E se invece si sa che almeno uno è verde?
  • Ω = { (V,V,V); (V,V,R); (V,R,R); (R,R,R); (R,R,V); (R,V,V)} R= rosso, V= verde
  • Ω ‘ = { (V,V,V); (V,V,R); (V,R,R}
  • probabilità che siano tutti e tre verdi è 1 su 3 = 33%
  • Ω’’ = { (V,V,V); (V,V,R); (V,R,R); (R,R,V); (R,V,V)}
  • probabilità che siano tutti e tre verdi è 1 su 5 = 20%
  • rischio che la bici venga rubata durante scuola: nella prima mezz’ora= 8%, dopo 2 ore = 33%, dopo 4 ore = 55%

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Un giorno nella vita di Francesco

​

  • Giorno estivo, in vacanza alle Hawaii
  • Francesco, che ha il brevetto da sub, ha deciso di andare a fare una immersione nell’oceano, egli potrebbe morire sia per problemi alla bombola di ossigeno, sia per essere mangiato da uno squalo:
  • se chiamiamo A l’evento “morire per mancanza di ossigeno” e B l’evento “essere mangiati da uno squalo”, si può notare come essi siano incompatibili.

​

  • p(A)= p(B)=

​

  • la probabilità di morire in generale risulta:

p(A∪B)= p(A) + p(B) = + = ≈ 0,00003

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sitografia/bibliografia

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FINE

Grazie per la visione e arrivederci!