Побудова трикутника із трьома сторонами
Дано:
а
в
с
Побудувати:
АВС
так, щоб
АВ = с, ВС = а ,АС = в.
А
В
С
с
а
в
Побудова:
Будуємо:
1.Пряму т і точку В, В є т.
2.Коло з центром в точці В і радіусом а, яке перетне пряму т в точці С.
3.Коло з центром в точці В і радіусом с та коло з центром в точці С і радіусом в , які перетнуться в точці А.
АВС - побудований
т
В
С
А
Аналіз
Доведення:
за побудовою
АВ = с,
ВС = а,
АС = в.
Побудова трикутника за двома сторонами і радіусом кола
Дано:
•
•
•
•
•
•
R
в
а
ПОБУДУВАТИ:
∆
АВС
так, щоб
ВС = а, АС = в, СО = R.
Аналіз:
Нехай ∆ АВС- побудовано.
•
•
•
•
АС = в, ВС = а, СО = R.
А
В
С
О
а
в
R
Побудова:
1) Коло з центром О і радіусом R= ОС.
•
О
•
С
2) Хорду СА = в.
•
А
3. Хорду СВ = а.
•
В
побудовано.
ДОВЕДЕННЯ :
За побудовою
АС = в, ВС = а, ОС = R.
∆
АВС
Побудова кута, рівного даному куту
Дано:
АВС
А
В
С
Побудувати:
В1ОС1
=
ВАС
ПОБУДОВА:
1.Будуємо пряму т і точку О, О є т.
т
●
О
2. Довільне коло з центром в точці А даного кута.
В і С – точки перетину цього кола зі сторонами кута.
●
●
3. Радіусом АВ проведемо коло з центром в точці О ,
В1- точка перетину з прямою т.
●
В1
4. Радіусом ВС з центром в точці В1 опишем коло.
С1- точка перетину двох кіл.
●
С1
В1ОС1
=
ВАС
Доведення:
ВАС
=
В1ОС1
за трьома сторонами
(АВ=ОВ; АС=ОС1;СВ=В1С1 за побудовою).
Кути ВАС і В1ОС1- відповідні,
отже
ВАС
=
В1ОС1
що й треба було довести
Побудова бісектриси кута
Дано:
А.
А
ПОБУДУВАТИ:
Бісектрису
А.
Побудова:
радіуса, В і С – точки перетину кола з сторонами кута.
●
●
В
С
2. З точок В і С тим самим радіусом опишемо кола,
точку їх перетину позначимо буквою D.
●
D
3. Проведемо півпряму АD, яка є бісектрисою кута А.
ДОВЕДЕННЯ:
АВ = АС = ВD = СD – за побудовою;
АD- спільна,
Отже,
АВD
=
АСD
- за трьома сторонами,
тоді і відповідні кути рівні:
DАВ
=
DАС,
тобто
АD - бісектриса кута А
Що й треба було довести
Поділ відрізка навпіл
Дано:
АВ - відрізок
●
●
А
В
Побудувати:
Точку О є АВ так, щоб
АО = ОВ
Побудова:
1.З точок А і В радіусом АВ проведемо кола,
які перетинаються в двох точках,
позначимо їх С і С1.
●
●
С
С1
2.Ці точки лежать в різних півплощинах відносно прямої АВ,
пряма СС1 перетинає АВ в точці О.
●
О
АО = ОВ.
Доведення:
1.АС=АС1=ВС=ВС1- за побудовою, як радіуси, СС1 – спільна,
тоді ∆САС1= ∆СВС1 за трьома сторонами, отже,<АСО= <ВСО,
як відповідні в рівних трикутників
2.∆ АСО = ∆ ВСО за двома сторонами і кутом між ними
( АС = ВС, СО- спільна, <АСО = <ВСО) тобто, відповідні сторони рівні
АО = ВО
Що й треба було довести
Побудова прямої, що проходить через дану точку і перпендикулярна до даної прямої
Дано:
Точка О лежить на прямій а.
Пряму а.
а
●
О
Побудувати:
Через точку О пряму,
перпендикулярну даній прямій а.
П о б у д о в а :
1.З точки О довільним радіусом проведемо коло,
яке перетне пряму а в точках А і В.
●
●
А
В
2. З точок А і В проведемо кола радіусом – АВ,
С – точка перетину кіл
●
С
СО
Ţ
АВ
Доведення:
∆ АСО=∆ ВСО за трьома сторонами
(АС=ВС;АО=ОВ; СО – спільна ), отже ,
<АОС = <ВОС, а вони суміжні, тобто
<АОС = <ВОС = 90°
СО
Ţ
АВ
Що й треба було довести.
Побудова прямої, що проходить через дану точку і перпендикулярна до даної прямої
Дано:
Пряму а.
Точка О не лежить на прямій а
Побудувати:
Через точку О пряму,
перпендикулярну даній прямій а.
а
●
О
П о б у д о в а :
1.З точки О довільним радіусом проведемо коло,
яке перетне пряму а в точках А і В.
●
●
А
В
2. З точок А і В проведемо кола тим самим
радіусом, О1 – точка перетину кіл, яка лежить
в тій півплощині відносно АВ, в якій не лежить
точка О.
●
О1
ОО1
Ţ
АВ
Доведення:
Нехай ОО1 перетинає АВ в точці С.
●
С
∆ АОВ = ∆ АО1В – за трьома сторонами
(ОА=ОВ=О1А=О1В;АВ- спільна, третя ознака),
тобто <ОАС = <О1АС як відповідні.
∆ ОАС=∆ О1АС за двома сторонами і кутом між ними
( АС – спільна, АО=АО1,<ОАС = <О1АС;перша ознака),
<АСО = < АСО1 як відповідні в рівних трикутниках.
<АСО=<АСО1 і вони суміжні,
отже.
<АСО = <АСО1=90°,
тобто,
АВ
ОО1
Ţ
Що й треба було довести.
Побудова рівнобедреного трикутника за бічною стороною і кутом при основі
Дано:
а – бічна сторона
α-кут при основі
•
•
а
α
Аналіз:
А
В
С
а
а
α
ПОБУДОВА :
Побудувати:
Рівнобедрений трикутник
за бічною стороною і
кутом при основі.
1.На довільній прямій від довільної точки
відкладаємо відрізок АВ = а.
т
•
А
•
В
2.Від променя АВ відкладаємо < ВАС = α.
С
3. Кола R=АС, R=ВC
4.З точки В, як з центра проведемо коло R= а
до перетину з променем п в точці С.
п
•
С
∆ АВС - шуканий
Доведення:
АВ = ВС = а - за побудовою; < ВАС= α- за побудовою,
а
а
α
отже
∆ АВС- рівнобедрений і відповідає всім умовам зщадачі