Построение сечения многогранника плоскостью , проходящей через заданную точку , перпендикулярно заданной прямой .

Материал подготовила

Галимзянова Ю.Ш.,

учитель математики МАОУ «МЛ №1»

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, то она перпендикулярна и плоскости, определяемой этими пересекающимися прямыми. Это значит, что задача о построении сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданной прямой, может быть сведена к задаче о построении прямой, перпендикулярной заданной прямой.

Укажем один из возможных способов, основанный на применении теоремы о трех перпендикулярах. Пусть m - заданная прямая, перпендикулярно которой требуется провести α - плоскость искомого сечения. Если прямая m перпендикулярна плоскости α, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, и , в частности, она перпендикулярна основному следу плоскости α.

Но тогда и прямая m₁ - проекция прямой m на основную плоскость - также перпендикулярна основному следу плоскости α.

Алгоритм построения сечения многогранника плоскостью α, проходящей через заданную точку Р, перпендикулярно заданной прямой m.

1. В плоскости, определяемой прямой m и точкой Р, провести прямую a, перпендикулярную прямой m, через точку Р.

2. Выбрать основную плоскость β (обычно плоскость основания многогранника, но не всегда), построить проекцию прямой m на эту плоскость (прямую m₁) и точку пересечения прямой a с этой плоскостью (точку E).

3. Построить основной след плоскости α в плоскости β - прямую b, перпендикулярную m₁ и проходящую через точку Е.

4. Плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми a и b, является плоскостью α искомого сечения.

5. Используя метод следов, достроить сечение многогранника плоскостью α.

Действительно, так как прямая m перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в плоскости α, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости m перпендикулярна плоскости α.

Задачи на построение сечений многогранников плоскостью, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданной прямой

1. Точка P - точка пересечений диагоналей В₁D и ВD₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Постройте сечение куба плоскостью, перпендикулярной прямой В₁С₁ и проходящей через точку P.

2. В основании прямой призмы АВСА₁В₁С₁ лежит прямоугольный треугольник и AC=BC=АА₁. Постройте сечение призмы плоскостью, перпендикулярной прямой А₁С и проходящей через точку С₁.

3. В основании прямой призмы АВСА₁В₁С₁ лежит прямоугольный треугольник и AC=BC=АА₁. Точка М - середина ребра СС₁. Постройте сечение призмы плоскостью, перпендикулярной прямой АМ и проходящей через точку A₁.

4. На ребре АС правильной призмы АВСА₁В₁С₁, у которой АА₁=АВ, задана точка Р - середина этого ребра. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку P, перпендикулярно прямой ВС₁.

5. Боковое ребро правильной пирамиды SABCD равно диагонали основания. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой СS.

6. На ребре СМ правильного тетраэдра МАBС взята точка Р, делящая его в отношении 1:2, считая от вершины С. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку P, перпендикулярно прямой МВ.

7. На ребре МС = 2 правильного тетраэдра МАBС взята точка Р - середина этого ребра. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку P, перпендикулярно высоте ВВ₁ основания АВС.

8. (ЕГЭ -2023) Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 4 и перпендикулярны друг другу. Плоскость α перпендикулярна ребру CD и пересекает рёбра AB и CD в точках K и M соответственно, причём CM : MD = 5 : 3.

а) Докажите, что K  — середина ребра AB.

б) Найдите площадь сечении тетраэдра плоскостью α.

9. (ЕГЭ -2023) В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1:3, а точка Q  — середина ребра A₁C₁. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.

a)  Докажите, что плоскости α делит ребро AC пополам.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делить отрезок A₁C₁, считая от точки A₁, если известно, что AB = AA₁ и AB : BC = 2:7.

10. (ЕГЭ -2022) Точка M  — середина ребра AA₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B₁ перпендикулярно прямой C₁M. а)  Докажите, что одна из диагоналей грани ACC₁A₁ равна одному из ребер этой грани.

б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:3, считая от вершины A, AC  =  10, AA₁  =  12.

Спасибо за внимание!