*

1

MATEMATIKA�KELAS VIII

SEMESTER SATU/GANJIL

MATERI DAN LATIHAN

BAB II

RELASI DAN FUNGSI

*

2

A. RELASI

1. Pengertian Relasi

Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .

Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika

himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :

*

3

*

4

​

Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah

“ kurang dari “

*

5

​

2. Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan .

a. Diagram Panah

Contoh :

1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli

dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka

basket dan sepakbola . Buatlah Diagram

Panah keadaan tersebut apabila A adalah

himpunan anak dan B adalah himpunan

olahraga .

*

6

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan � Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram � panah yang menyatakan relasi dari P � dan Q dengan hubungan : � a. Setengah dari� b. Faktor dari� Jawab : a.

*

7

1

b.

*

8

b. Diagram Cartesius

Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan

B = { 1, 2, 3, …, 10 }.

Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan

hubungan :

a. Satu lebihnya dari

b. Akar kuadrat dari

*

9

Jawab :� a . Satu lebihnya dari

*

10

Jawab :� b. Akar kuadrat dari

*

11

C. Himpunan pasangan berurutan

*

12

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari

c. Satu kurangnya dari

Jawab :

*

13

a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }��b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), � (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }��c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), � (7,8), (8,9), (9,10) }

B. FUNGSI

*

14

1. Pengertian Fungsi

Sebuah fungsi f : x 🡪 y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah ini :

​

*

15

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :

1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

​

*

16

*

17

2. Notasi Fungsi

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan

dengan huruf kecil f , g , h , dan

sebagainya.

Misal :

f : x 🡪 y dibaca f memetakkan x ke y ,

maka

y = f(x) dibaca sama dengan f dari x

digunakan untuk menunjukkan bahwa y

adalah fungsi dari x .

​

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .

*

18

Contoh :

Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }

a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan

pemetaan f yang ditentukan oleh : a 🡪 1 ,

i 🡪 2 , u 🡪 1 , e 🡪 4 , o 🡪 2 .

b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius

c . Nyatakan pula f sebagai himpunan

pasangan berurutan .

*

19

Jawab :

a . Diagram panah

b. Diagram cartesius

*

20

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

*

21

c. Himpunan pasangan berurutan

Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari

himpunan A ke B adalah b^a dan

himpunan B ke A adalah a^b

*

22

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

Contoh :

Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut :

a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1}

b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}

d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }

e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}

f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}

g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}

*

23

Jawab :

a. n(A) = 1 , n(B) = 1

Banyak pemetaan 1¹ = 1

b. n(C) = 1 , n(D) = 2

Banyak pemetaan 2¹ = 2

*

24

c. n(E) = 2 , n(F) = 1

Banyak pemetaan 1² = 1

d. n(G) = 1 , n(H) = 3

Banyak pemetaan 3¹ = 3

e. n(I) = 2 , n(J) = 2

Banyak pemetaan 2² = 4

f. n(K) = 5 , n(L) = 3

Banyak pemetaan 3⁵ = 243

g. n(M) = 4 , n(N) = 5

Banyak pemetaan 5⁴ = 625

f : x 🡪 y dibaca f memetakkan x ke y dan

dapat dinyatakan dengan f(x) .

Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .

Contoh :

Diketahui suatu fungsi f : x 🡪 x + 2 dengan

daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x ∈ A}

a. Tentukan rumus fungsi !

b. Tentukan daerah asal fungsi !

c . Tentukan daerah hasil fungsi !

d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

*

25

4. Merumuskan suatu fungsi

a. Rumus fungsi f(x) = x +2

b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }

c. Daerah hasil : f(x) = x + 2

untuk x = 2 🡪 f(x) = 2 + 2 = 4

x = 3 🡪 f(x) = 3 + 2 = 5

x = 4 🡪 f(x) = 4 + 2 = 6

x = 5 🡪 f(x) = 5 + 2 = 7

Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }

d. f(x) = 15 x + 2 = 15

x = 15 – 2

x = 13 Jadi nilai x = 13

*

26

Jawab :

*

27

Uji Kompetensi 4

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }

Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka :

a. Himpunan pasangan berurutan :

{ ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) }

b. Diagram Panah

Pembahasan

*

28

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }

Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,

maka :

a. Himpunan pasangan berurutan :

{ ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) }

b. Diagram Panah

​

*

29

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan

diagram panah. Kemudian tentukan

termasuk fungsi atau bukan fungsi !

a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }

b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

Pembahasan

*

30

a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }

bukan fungsi karena ada anggota x

yang berpasangan lebih dari satu

dengan anggota y .

*

31

b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

*

32

c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

*

33

d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

*

34

3 . Fungsi f : x 🡪 x + 3 mempunyai domain

{ -2, -1, 0, 1, 2 } .

a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah .

b. Nyatakan dalam himpunan pasangan

berurutan .

c. Tulis range dari f .

Pembahasan

*

35

a. Fungsi f : x 🡪 x + 3 , jadi f(x) = x + 3

Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1

x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2

x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3

x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4

x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

*

36

b. Himpunan pasangan berurutan

{ (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }

​

c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

*

37

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan

daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } .

Tentukan :

a. Daerah hasil / bayangan .

b. Himpunan pasangan berurutan .

*

38

Pembahasan :

a. f(x) = ½ x + 1

f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2

f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3

f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4

f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5

f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6

Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 }

b. Himpunan pasangan berurutan

{ (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari :

a. A = {a, b, c} B = {1, 2}

b. A = {1, 2} B = {a, b, c}

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

*

39

Pembahasan

a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 2³ = 8

b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 3² = 9

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 3³ = 27

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 4³ = 64

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 4² = 16

*

40

*

41

C. Menghitung Nilai Fungsi

Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus :

f (x) = ax + b

Contoh :

1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 🡪 5x -3

Tentukan :

a. Rumus funsi .

b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .

*

42

Jawab :

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3

​

b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3

untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17

x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8

Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan

x = -1 adalah -8

*

43

*

44

2.

Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3

Tentukan :

a. g ( -2 )

b. Nilai a jika g (a) = -5

Jawab :

a. g (x) = -4x + 3

g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3

= 8 + 3

= 11

b. g (a) = - 4a + 3

- 4a + 3 = - 5

- 4a = - 5 – 3

- 4a = - 8

a = 2

*

45

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI

Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika

data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier

dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .

Contoh :

Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .

Tentukan :

a. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya

c. Bayangan dari – 3

*

46

Jawab :

a. f (x) = ax + b

f (2) = 2a + b = 10 🡪 2a + b = 10

f (-4) = -4a + b = -8 🡪 -4a + b = -8 -

6a = 18

a = 3

untuk a = 3 🡪 2a + b = 10

2 . 3 + b = 10

6 + b = 10

b = 4

Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

*

47

b. f (x) = ax + b

f (x) = 3x + 4

Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4

c. Bayangan dari – 3

f (x) = 3x + 4

f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4

= - 9 + 4

= - 5

*

48

Uji Kompetensi 5

1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1

a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) !

b. Tulislah daerah hasilnya !

c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a !

*

49

Pembahasan

a . f (x) = x + 1

f (2) = 2 + 1 = 3

f (-3) = -3 + 1 = -2

f ( ½ ) = ½ + 1 = 1 ½

b. Daerah hasil = { (2,3),(-3,½),(½, 1 ½) }

c. f (a) = a + 1

3 = a + 1

a = 2

*

50

2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x² – 4

a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) !

b. Tentukan p bila h (p) = 0 !

*

51

Pembahasan

a. h (x) = x² – 4

h (-3) = (-3)² – 4 = 9 – 4 = 5

h (5) = (5)² – 4 = 25 – 4 = 21

h (½) = (½)² – 4 = ¼ - 4 = - 3 ³/₄

b. h (p) = p² – 4

h (p) = 0

0 = p² - 4

p² = 4

p = 2

*

52

3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan

f (0) = -1 . Tentukan :

a. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya

*

53

Pembahasan

a. f (x) = ax + b

f (1) = a + b = 3 🡪 a + b = 3

f (0) = b = -1 🡪 b = -1 -

a = 4

Jadi a = 4 dan b = -1

b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x - 1

*

54

*

55

E. Menggambar Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya .

1. Grafik Fungsi Linier

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1

dengan domain {x/0 x 5 , x ∈ C}

*

56

Jawab :

f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }

*

57

Grafiknya : �f (x) = x + 1 , x ∈ c (0,1,2,3,4,5)�{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

*

58

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x 🡪 -2x + 1 dengan

daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !

b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :

(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !

(ii) himpunan pasangan berurutan !

(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada

bidang cartesius , kemudian

hubungkan titik-titik tersebut sehingga

menjadi suatu garis lurus.

*

59

Jawab :

a. g (x) = - 2x + 1

*

60

b. (i) Bayangan dari :

-2 adalah 5

0 adalah 1

2 adalah -3

(ii) Himpunan pasangan berurutan :

{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1),

(2,-3),(3,-5) }

*

61

*

62

(iii) Grafiknya :

g (x) = -2x + 1

*

63

Uji Kompetensi 6

1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk daerah asal

{ x/ -4 x < 4 , x ∈ B }.

a. Buatlah tabel fungsinya !

b. Tulislah rangenya !

c. Gambarlah grafik fungsinya !

*

64

Pembahasan

a. Tabel fungsi : f(x) = 2x

*

65

-8

x

f(x)

x, f(x)

-4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-6

6

-4

-2

0

2

4

(-2,-4)

(-4,-8)

(-3,-6)

(-1,-2)

(0,0)

(1,2)

(2,4)

(3,6)

b. Range : { -8,-6,-4,-2,0,2,4,6 }

Grafiknya :

*

66

-6